1、經濟數學基礎函數的極值衡陽電大信息網絡工程學院 沈玲芝教學目的 了解函數的極值概念掌握函數極值的必要條件掌握函數極值的第一充分條件掌握求函數極值的方法與步驟教學重點函數的極值概念求函數極值的方法與步驟教學難點函數極值的必要條件函數極值的第一充分條件教學方法探究交流式教學手段多媒體教學.x3教學過程之一:創設情境、導入新課abx4x2x5x6x1yx. 觀察上述圖形，圖像在x1 左邊上升（函數遞增），經過x1 點，改變了升降性，圖像在x1 右邊改為下降（函數遞減），即（ x1， f(x1)）處在曲線的“峰頂”，而點（ x3， f(x3)）、 （ x5， f(x5)）也具有同樣特點。 而圖像在x2

2、 左邊下降（函數遞減），經過x2 點，改在了升降性，圖像在x2 右邊改為上升（函數遞增），即（ x2， f(x2)）處在曲線的“谷底”，而點（ x4， f(x4)）、 （ x6， f(x6)）也具有同樣特點。教學過程之一:創設情境、導入新課 具有這些特點的點在應用上有著重要意義，給出定義： 定義：設函數f(x)在點x0的某鄰域內有定義，如果對該鄰域內的所有的點,都有f(x)=f(x0),則稱f(x0)是函數f(x)的極小值，稱 x0 為函數的極小值點。教學過程之二:合作交流、探究新知函數的極大值與極小值統稱為函數的極值極大值點與極小值點統稱為極值點注意：1、函數的極值是局部概念，只是極值點附近

3、的局部的最大或最小值，并不一定是整個定義域上的最大或最小值。2、極值不能在區間的端點取得。 教學過程之二:合作交流、探究新知.x3教學過程之二:合作交流、探究新知abx4x2x5x6x1yx.教學過程之二:合作交流、探究新知xy0Y=x .觀察前面兩個圖形發現：第一個圖 在極值點處曲線都有水平的切線，由此得出：函數的極值在導數為0的點取得第二圖形 極值點為尖點（導數不存在點），由此得出：函數的極值在不可導點取得因此想到：函數的極值在導數為0的點或導數不存在的點取得 教學過程之二:合作交流、探究新知使f(x)=0的點稱為函數f(x)的駐點定理3.2 （極值的必要條件）如果點x0是函數的極值點,且

4、f(x0)存在,則f(x0)=0即：可導函數的極值點必定是它的駐點但反過來，函數的駐點不一定是極值點 教學過程之二:合作交流、探究新知結論：函數的極值在它的駐點及導數不存在的點取得，但是駐點和導數不存在的點不一定就是函數的極值點。如何判斷一個函數的駐點和導數不存在的點是不是極值點呢？ 教學過程之二:合作交流、探究新知定理3.3(極值的第一充分條件):設f (x)在點x0的鄰域內連續并且可導(f(x0)可以不存在)1.如果在點x0的左鄰域內f(x)0,在x0的右鄰域 f(x)0,那么X0是f (x)的極大值點,f(x0)是f (x)極大值. 2.如果在點x0的左鄰域內f(x)0,那么X0是f (

5、x)的極小值點,f(x0)是f (x)極小值. 教學過程之二:合作交流、探究新知3.如果在點x0的左右鄰域內f(x)不變號,那么點x0不是f (x)的極值點左正右負（左增右減）為極大教學過程之二:合作交流、探究新知左負右正（左減右增）為極小教學過程之二:合作交流、探究新知求極值的步驟： 1.確定函數的定義域,并求導數f(x)；2.解方程f(x)=0,求出f(x)在其定義域內的所有駐點；4.討論f(x)在所有駐點及不可導點左、右兩側附近符號變化的情況,確定函數的極值點； 教學過程之二:合作交流、探究新知3.找出f(x)連續但導數不存在的所有點；5.求出函數的極值。解:函數的定義域為(-,+) y

6、=-4x3+8x2-4x=-4x(x-1)2令y=0,得x1=0.x2=1, 列表討論如下xy (-,0)0(0 , 1)1(1,+)+00y2極大值非極值遞增遞減遞減教學過程之三:應用遷移、鞏固提高例1、求函數f(x)=-x4+8/3x3-2x2+2的極值當x=0時，y有極大值，y極大值2 注意:x=1函數的駐點，但不是函數的極值點教學過程之三:應用遷移、鞏固提高學生隨堂練習(教材134頁）：求函數f(x)=x3-3x2-9x+1的極值教學過程之三:應用遷移、鞏固提高答案：當x=-1時,函數有極大值f(-1)=6，當x=3時,函數有極小值f(3)=-26 （1）本節從函數圖象出發闡述了函數的極大 值、極小值、極大值點、極小值點的意義； （2）本節講述了函數極值的必要條件，函數極值的第一充分條件； （3）本節歸納了利用導數求函數的極大值和極小值的一般步驟與方法。教學過程之四:小結反思、拓展升華重申： 對于可導函數，其一點是極值點的必要條件是這點的導數為0；其一點是極值點的充分條件是這點兩側的導