1、第7章 有限長單位沖激響應(FIR)濾波器的設計方法7.1 引言7.2 線性相位FIR濾波器的特點 7.3 用窗函數法設計FIR濾波器 7.4 用頻率采樣法設計FIR濾波器 7.6 FIR濾波器和IIR濾波器的比較7.1 引言 FIR數字濾波器的特點：(與IIR數字濾波器比較)優點： 很容易獲得嚴格的線性相位，避免被處理的信號產生相位失真，這一特點在寬頻帶信號處理,圖象處理、數據傳輸等系統中非常重要； FIR濾波器的單位抽樣響應是有限長序列，即h(n)絕對可和，故濾波器一定是穩定的; 任何一個非因果的有限長序列，總可以通過一定的延時，轉變為因果序列，所以因果性總是滿足； 結構上主要是非遞歸結構

2、，無反饋運算，運算誤差小； 可以采用快速傅里葉變換（FFT）算法來實現過濾信號，從而大大提高運算效率。 缺點： 因為沒有非零極點，要獲得好的過渡帶特性，需以較高的階數為代價； 無法利用模擬濾波器的設計結果，一般無解析設計公式，要借助計算機輔助設計程序完成。7.2 線性相位FIR濾波器的特點 （）如果FIR數字濾波器的單位脈沖響應h(n)是實數序列，而且滿足偶對稱或奇對稱的條件，即則濾波器就具有嚴格的線性相位特性。一、線性相位特性 (1) h(n)偶對稱的情況 （令m=N-1-n） h(n)=h(N-1-n) 0nN-1 其系統函數為： （等式兩邊同加H(z)，再乘1/2） （據z變換定義） 濾

3、波器的頻率響應為 上式的以內全部是標量，可將頻率響應用相位函數()及幅度函數H()表示為 其中： 標量函數，可為正值和負值嚴格的線性相位圖7-3. h(n)偶對稱時的線性相位特性 則該FIR濾波器的群延遲() 為 上式說明：當h(n)滿足偶對稱時，FIR數字濾波器具有(N-1)/2個采樣的延時， 它等于單位脈沖響應h(n)長度的一半。也就是說，FIR數字濾波器的輸出響應整體相對于輸入延時了(N-1)/2個采樣周期。相位函數：其系統函數為 因此 h(n)=-h(N-1-n) 0nN-1 (2) h(n)奇對稱的情況 同樣可以改寫成 其頻率響應為記作 即：相位函數()及幅度函數H()為 幅度函數H

4、() 可為正值或負值；相位函數既是線性相位的，又包括/2的相移，如圖7-4所示。 群延遲為：可以看出，當h(n)為奇對稱時，FIR濾波器不僅有(N-1)/2 個采樣的延時， 還產生一個90的相移。這種使所有頻率的相移皆為90的網絡，稱為90移相器，或稱正交變換網絡。 圖7-4 h(n)奇對稱時的90相移線性相位特性 h(n)有奇對稱和偶對稱兩種情況，而h(n)的點數N又有奇數、偶數兩種情況，因而h(n)可以有4種類型，分別對應于4種線性相位FIR數字濾波器。圖7-1 h(n)偶對稱 圖7-2 h(n)奇對稱(a) N為奇數；(b) N為偶數 (a) N為奇數；(b) N為偶數二、 幅度函數特點

5、 1. 第一種類型： h(n)為偶對稱，N為奇數 h(n)偶對稱的幅度函數式為： h(n)和 同時對于(N-1)/2 呈偶對稱，滿足將內兩兩相等的項合并，幅度函數就可以表示為 （令）可表示為 式中: n=1,2,3,(N-1)/2 由于cos(n)項對于=0, ,2皆為偶對稱，因此幅度函數H()對于=0, ，2也呈偶對稱。 2. 第二種類型：h(n)為偶對稱，N為偶數 （令 ）因此 由于N為偶數，因此式中無單獨項，全部可以兩兩合并得式中: n=1,2, 3, , N/2 1）當=時， ，余弦項對=呈奇對稱，因此H()=0，即H(z)在z=ej=-1 處必然有一個零點，而且H()對=呈奇對稱。

6、2）當=0或2時， 或-1，余弦項對=0, 2為偶對稱，幅度函數H()對于=0, 2也呈偶對稱。 3）如果數字濾波器在=處不為零，例如高通濾波器、帶阻濾波器，則不能用這類數字濾波器來設計。 3. 第三種類型： h(n)為奇對稱，N為奇數 h(n)奇對稱的幅度函數式如下： 分析：h(n)對于(N-1)/2 呈奇對稱，即h(n)=-h(N-1-n)，當n=(N-1)/2時， 因此，, 即h(n)奇對稱時，中間項一定為零。此外，式中 也對(N-1)/2 呈奇對稱。因此，在中第n項和第(N-1-n)項是相等的，將這兩兩相等的項合并，即 （令）可寫為 式中: n=1, 2, 3, , (N-1)/2 1

7、）由于sin(n)在=0, , 2處都為零，并對這些點呈奇對稱，因此幅度函數H()在=0,2處為零，即H(z)在z=1上都有零點，且H()對于=0,2也呈奇對稱。2）如果數字濾波器在=0, 處不為零，例如低通濾波器、 高通濾波器、帶阻濾波器，則不能用這類數字濾波器來設計， 除非不考慮這些頻率點上的值。 4. 第四種類型：h(n)為奇對稱，N為偶數由于N為偶數，式中無單獨項，全部可以兩兩合并得（令 ）因此 式中: 1）當=0, 2時， ，且對=0, 2呈奇對稱，因此H()在=0, 2處為零，即H(z)在z=1處有一個零點，且H()對=0, 2也呈奇對稱。 2）當=時， 或1，則 對=呈偶對稱，幅

8、度函數H()對于=也呈偶對稱。 3）如果數字濾波器在=0, 2處不為零，例如低通濾波器、 帶阻濾波器，則不能用這類數字濾波器來設計。 表7-1 四種線性相位FIR濾波器特性表7-1 四種線性相位FIR濾波器特性三、線性相位FIR濾波器的零點位置 線性相位FIR濾波器的系統函數為： H(z)=z-(N-1)H(z-1)1）若z=zi是H(z)的零點，即H(zi)=0，則z=1/zi=zi-1也一定是H(z)的零點(因為H(zi-1)=zi (N-1) H(zi)=0）。2）當h(n)是實數時，H(z)的零點必成共軛對出現，所以 z=zi*及z=(zi*)-1也一定是H(z)的零點。 線性相位FI

9、R濾波器零點分布特點是零點必須是互為倒數的共軛對。確定其中一個，另外三個零點也就確定了。這種互為倒數的共軛對有四種可能性。 圖 7-5 線性相位FIR濾波器的零點位置圖 由幅度響應的討論可知：1）第二種類型的線性相位濾波器 H()=0， 因此必然有單根 z=-1。2）第四種類型的線性相位濾波器 H(0)=0, 因此必然有單根 z=1。3）第三種類型的線性相位濾波器 H(0)=H(）=0， 因此必然有兩種單根 z=1 。 線性相位FIR濾波器的H(z)只可能由以上幾種情況組合而成，了解了線性相位FIR濾波器的特點，便可根據實際需要選擇合適類型的FIR濾波器，同時設計時需遵循有關的約束條件。下面討

10、論線性相位FIR濾波器的設計方法時，都要用到這些特點。 如果希望得到的濾波器的理想頻率響應為: 窗函數設計法（時域逼近） 頻率采樣法（頻域逼近） 最優化設計（等波紋逼近）那么 FIR濾波器的設計就在于尋找一個去逼近 ,逼近方法有三種：7.3 用窗函數法設計FIR濾波器 一、設計方法1.設計思想 先給定所要求的理想濾波器的頻率響應 ，要求設計一個FIR濾波器頻率響應 , 去逼近理想的頻率響應 。2. 設計過程 先用傅氏反變換求出理想濾波器的單位沖激響應hd(n)，然后加時間窗w(n)對hd(n)截斷，以求得所設計的FIR數字濾波器的單位抽樣響應h(n)。 窗函數法設計FIR數字濾波器是在時域進行

11、的, 從單位脈沖響應序列著手，使你所設計的FIR濾波器單位沖激響應序列h(n)逼近理想的單位脈沖響應序列hd(n)。因此，必須首先由理想頻率響應 的傅里葉反變換推導出對應的單位脈沖響應: （7-36） 由于許多理想化的系統均用分段恒定的或分段函數表示的頻率響應來定義，即 逐段恒定，在邊界頻率處有不連續點，因此hd(n)一定是無限長的序列，且是非因果的。 而我們要設計的是FIR濾波器，其h(n)必定是有限長的，所以要用有限長的h(n)來逼近無限長的hd(n)，最簡單且最有效的方法是截斷hd (n) 。0nN-1 其他 式中如果采用簡單截取，則窗函數為矩形窗。 通常，可以把h(n)表示為所需單位脈

12、沖響應與一個有限長的窗口函數序列w(n)的乘積，即 h(n)=hd(n)w(n) 相應的單位脈沖響應為： hd(n)是一個中心點在的偶對稱、無限長、非因果序列，為了構造一個長度為N的線性相位濾波器，只有將hd(n)截取一段，并保證截取的一段對(N-1)/2 對稱，故中心點必須取=(N-1)/2 。 例如要求設計一個線性相位FIR數字低通濾波器，假設理想低通濾波器的頻率響應為：（7-39）設截取的一段用h(n)表示，則理想低通的單位脈沖響應及矩形窗 3. 分析窗口函數法對頻響產生的影響 逼近程度 根據復卷積定理，由 可得h(n)的頻率特性 H(ej)逼近Hd(ej)的好壞，取決于窗函數的頻譜特性

13、W(ej)： （7-42）這里選用矩形窗RN(n)，其頻譜特性為 幅頻特性和相頻特性為 （7-45）式中： 其中，WR()是連續函數，主瓣寬度為4/N，兩側有許多衰減振蕩的旁瓣。通常主瓣定義為原點兩邊第一個過零點之間的區域。 若將理想濾波器的頻率響應也寫成 則其幅度函數為 將式（7-45）和式（7-47）代入式（7-42），就可以得到實際設計的FIR濾波器頻率響應為： （7-47）設 則實際設計的FIR濾波器的幅度函數為 顯然，對實際FIR濾波器的幅頻特性H()有影響的是窗函數的幅頻特性WR()。實際FIR濾波器的幅頻特性是理想低通濾波器的幅頻特性與窗函數的幅頻特性的卷積。 （7-51） 卷積

14、過程說明:（1）=0 時的響應H(0)，應該是圖中(a)和(b)兩個函數乘積的積分，即H(0)等于WR()在=-c到=+c一段的積分面積。通常c2/N，H(0)實際上近似等于WR()的全部積分（= -到=+）面積。 （2）=c時的響應H(c)，Hd()剛好與WR(-)的一半重疊，如圖(c) 。因此卷積值剛好是H(0)的一半，即H(c)/H(0)=1/2，如圖（f）。 (4)當 時， WR(-)的主瓣全部在通帶Hd() 的通帶（|c）之外，而通帶內的旁瓣負的面積大于正 的面積，因而卷積結果達到最負值，頻響出現負肩峰。(3)當 時， 的主瓣全部在 的通帶內，這時應出現正的肩峰。 (6)當 時， 的

15、右邊旁瓣將進入 的通帶，右邊旁瓣的起伏造成 值圍繞 值而波動。(5)當 時，隨 增加， 左邊旁瓣的起伏部分掃過通帶，卷積 也隨著 的旁瓣在通帶內的面積變化而變化，故 將圍繞著零值而波動。加窗處理對理想頻率響應產生以下幾點影響(P335)： （1）H()將Hd()在截止頻率處的間斷點變成了連續曲線，使理想頻率特性不連續點處邊沿加寬，形成一個過渡帶，過渡帶的寬度等于窗的頻率響應WR()的主瓣寬度=4/N，即正肩峰與負肩峰的間隔為4/N。窗函數的主瓣越寬，過渡帶也越寬。 （2）在截止頻率c的兩邊即=c(2/N)的地方，H()出現最大的肩峰值，肩峰的兩側形成起伏振蕩，其振蕩幅度取決于旁瓣的相對幅度，而

16、振蕩的多少，則取決于旁瓣的多少。 （3）改變截取長度N，只能改變窗譜函數的主瓣寬度和WR()的絕對值大小。例如，在矩形窗情況下 式中，x=N/2。 當截取長度N增加時，只會減小過渡帶寬度（4/N），但不能改變主瓣與旁瓣幅值的相對比例; 同樣，也不會改變肩峰的相對值。這個相對比例是由窗函數形狀決定的，與N無關。換句話說，增加截取窗函數的長度N只能相應的減少過渡帶，而不能改變肩峰值。 增加截取窗函數的長度N只能相應的減少過渡帶寬度，而不能改變肩峰值。例如在矩形窗情況下，最大相對肩峰值為8.95%，該值不會隨著N的增加而增加，最大相對肩峰值則總是8.95%，這種現象稱為吉布斯效應。 由于肩峰值的大小

17、直接影響通帶的平穩和阻帶的衰減，所以對濾波器的性能影響較大。例如矩形窗截斷造成的肩峰值為8.95%，則阻帶最小衰減為20 lg(8.95%)=-21 dB, 這個衰減量在工程上常常是不夠大的。 為了加大阻帶衰減， 只能改變窗函數的形狀。二、 各種窗函數由頻域周期卷積式看出，只有當窗譜逼近沖激函數時，也就是絕大部分能量集中于頻譜中點時，H()才會逼近Hd()。這相當于窗的寬度為無限長，等于不加窗口截斷，這沒有實際意義。 但我們可以使窗譜盡量接近沖激函數的特性，從以上討論中看出，窗函數序列的形狀及長度的選擇很關鍵，一般希望窗函數滿足兩項要求： （1）窗譜主瓣盡可能地窄，以獲取較陡的過渡帶。 （2）

18、盡量減少窗譜的最大旁瓣的相對幅度。也就是能量盡量集中于主瓣，這樣使肩峰和波紋減小，就可增大阻帶的衰減。 但是這兩項要求是不能同時都滿足的。當選用主瓣寬度較窄的窗函數時，雖然能得到較陡的過渡帶，但通帶和阻帶的波動較明顯；當選用的窗函數有最小的旁瓣幅度時，雖能得到平坦的幅度響應和較小的阻帶波紋，但過渡帶較寬，也即主瓣較寬。因此, 實際選用窗函數時往往要折衷考慮，在保證主瓣寬度達到一定要求的前提下，適當犧牲主瓣寬度以換取相對旁瓣的抑制。 以上是從幅頻特性的改善對窗函數提出的要求。實際上設計的FIR濾波器往往要求具有線性相位： h(n)=hd(n)w(n) 因此，除了要求hd(n)滿足線性相位條件外，

19、對w(n)也要求長度N有限，且以(N-1)/2為其對稱中心，即w(n)=w(N-1-n)綜上所述，窗函數不僅起截斷作用，還能起平滑作用，在很多領域都得到廣泛應用。因此, 設計一個特性良好的窗函數有著重要的實際意義。 1. 矩形窗 0nN-1 其他 2. 巴特列特（Bartlett）窗（又稱三角形窗） w(n)的頻響為 近似結果在N1 時成立。此時，主瓣寬度為8/N, 比矩形窗主瓣寬度增加一倍， 但旁瓣卻小很多。另外，三角形窗的頻譜密度函數永遠是正值。 3. 漢寧（Hanning）窗(又稱升余弦窗) 其頻響為 當N1 時，N-1N, 所以窗函數的幅度函數為 這三部分之和，使旁瓣互相抵消，能量更集

20、中在主瓣，但是代價是主瓣寬度比矩形窗的主瓣寬度增加一倍，即為 8/N。 4. 海明（Hamming）窗（又稱改進的升余弦窗）w(n)的頻率響應的幅度特性為 與漢寧窗相比,主瓣寬度相同為 8/N,但旁瓣又被進一步壓低, 結果可將99.963%的能量集中在窗譜的主瓣內. 5. 布拉克曼（Blackman）窗(又稱二階升余弦窗)w(n)的頻率響應的幅度特性為 主瓣寬度是矩形窗的主瓣寬度的3倍（12/N） 為了進一步抑制旁瓣，對升余弦窗函數再加上一個二次諧波的余弦分量， 變成布拉克曼窗。 圖 7-10 五種常用的窗函數 圖 7-11 圖 7-10 的各種窗函數的傅里葉變換（N=51）(a) 矩形窗;

21、(b) 巴特利特窗（三角形窗）; (c) 漢寧窗; (d) 海明窗; (e) 布拉克曼窗 旁瓣衰減逐步提高同時主瓣寬度增加圖 7-12 理想低通濾波器加窗后的幅度響應（N=51）(a) 矩形窗; (b) 巴特利特窗（三角形窗）; (c) 漢寧窗; (d) 海明窗; (e) 布拉克曼窗 6. 凱澤（Kaiser）窗 這是一種適應性較強的窗，其窗函數的表示式為 0nN-1 式中，I0(x)是第一類變形零階貝塞爾函數，是一個可自由選擇的參數。圖7-13 凱塞窗函數 表7-2 凱澤窗的性能表7-3 六種窗函數基本參數的比較（） 窗函數窗譜性能指標加窗后濾波器性能指標旁瓣峰值/dB主瓣寬度/ （2/N）

22、過渡帶寬/ （2/N）阻帶最小衰減/dB矩形窗巴特列特漢寧窗海明窗布拉克曼窗凱澤窗（=7.865）-13-25-31-41-57244460.92.13.13.35.55-21-25-44-53-74-80（）阻帶最小衰減只由窗形狀決定，不受窗寬N的影響；而過渡帶的寬度既和窗形狀有關，且隨窗寬N的增加而減小。三、窗函數法的設計步驟（1） 給定希望逼近的頻率響應函數Hd(ej)。 （2） 求單位脈沖響應hd(n)=IDTFTHd(ej) ，即 如果Hd(ej)很復雜或不能直接計算積分，則必須用求和代替積分，以便在計算機上計算，也就是要計算離散傅里葉反變換， 一般都采用FFT來計算。 （3）由過渡

23、帶寬及阻帶最小衰減的要求，利用表7-3可選定窗形狀w(n)，并估計窗口長度N。 設待求濾波器的過渡帶用表示，它近似等于窗函數主瓣寬度。因過渡帶近似與窗口長度成反比， NA/，A決定于窗口形式。例如，矩形窗A=1.8，海明窗A=6.6等，A參數選擇參考表7-3。按照過渡帶及阻帶衰減情況，選擇窗函數形式。原則是在保證阻帶衰減滿足要求的情況下， 盡量選擇主瓣窄的窗函數。（5）由h(n)求FIR濾波器的系統函數H(z)或頻率響應H(ej)=DTFTh(n)，檢查是否滿足設計要求，如不滿足，則需重新設計。 通常整個設計過程可利用計算機編程來實現，可多選擇幾種窗函數來試探，從而設計出性能良好的FIR濾波器

24、。 （4） 求得所設計的FIR濾波器的單位脈沖響應 h(n)=hd(n)w(n) 0nN-1 【例7-1】()：根據下列技術指標，設計一個線性相位FIR低通濾波器。 抽樣頻率為 s=2*1.5*104(rad/sec) 通帶截止頻率為 p=2*1.5*103(rad/sec) 阻帶截止頻率為st=2*3*103(rad/sec) 阻帶衰減不小于50dB。解: (1) 求對應的數字頻率通帶截止頻率：p=pT= p / fs=2p /s=0.2阻帶截止頻率：st=stT= st / fs=2st /s=0.4阻帶最小衰減：2=50dB (2) 求hd(n)。設Hd(ej)為理想線性相位低通濾波器頻

25、響由此可得理想單位脈沖響應為： 由所需低通濾波器的過渡帶求理想低通濾波器的截止頻率c :圖7-14 要求的低通濾波器特性(3) 求窗函數。 由阻帶最小衰減2確定窗形狀，由過渡帶寬度確定N。查表7-3可知，海明窗和布拉克曼窗均可提供大于50dB的衰減。但海明窗具有較小的主瓣寬度，故選擇海明窗作為窗口函數。由表7-3可知，利用海明窗設計的濾波器的過渡帶寬=6.6/N，所以所設計的低通濾波器單位脈沖響應序列h(n)的長度為 確定N：根據題意，所要設計的濾波器的過渡帶為 確定:(4) 求h(n)。海明窗為 則所設計的濾波器的單位脈沖響應為 所設計的濾波器的頻率響應為 設計結果如P345. 圖7-15

26、所示，滿足要求 。（5）由h(n)求FIR濾波器的H (ej)=DTFTh(n)。檢查是否滿足設計要求。 如不滿足要求，則要改變N，或改變窗形狀，或兩者都改變，然后重新計算 。一、設計方法基本思想：使所設計的FIR數字濾波器的頻率特性在某些離散頻率點上的值準確地等于所需（理想）濾波器在這些頻率點處的值，在其它頻率處的特性則要有較好的逼近。內插公式7.4 頻率采樣設計法內插函數:二、 線性相位的約束 設計線性相位的FIR濾波器，則其采樣值H(k)的幅度和相位一定要滿足前面所討論的四類線性相位濾波器的約束條件。 （7-91）1. 第一類線性相位濾波器(即h(n)偶對稱,長度N為奇數時)其中幅度函數

27、H() 為偶對稱，即 （7-92）第一類線性相位濾波器的頻響為H(ej)在=02之間的N點等間隔采樣值為： 其中： 表示采樣值H(k)的幅值（純標量）； 表示其相角。第一類線性相位FIR濾波器采樣點的幅值和相位滿足：2. 第二類線性相位濾波器(即h(n)偶對稱,長度N為偶數時)3. 第三類線性相位濾波器(即h(n)奇對稱,長度N為奇數時)4. 第四類線性相位濾波器(即h(n)奇對稱,長度N為偶數時)三、逼近誤差及其改進措施 頻率采樣法是比較簡單的，但是我們還應該進一步考察，如此設計所得到的頻響H(ej)與要求的理想頻響Hd(ej)會有怎樣的差別？ 在各頻率采樣點上，濾波器的實際頻率響應是嚴格地

28、和理想頻率響應數值相等的。但是在采樣點之間的頻響則是由各采樣點的加權內插函數的延伸疊加而成的, 因而有一定的逼近誤差，誤差大小取決于理想頻率響應曲線形狀。圖 7-16 頻率采樣的響應 2）如果抽樣點之間的理想頻率特性變化越陡，則內插值與理想值之誤差就越大，因而在理想頻率特性的不連續點附近，就會產生肩峰和波紋。 1）理想頻率響應特性變化越平緩，則內插值越接近理想值，逼近誤差越小； 在FIR濾波器的設計中，經常需要逼近理想的矩形特性，如低通、高通、帶通濾波器等都是如此。這些理想的矩形特性經過采樣，在通帶的邊緣，都會由于采樣點之間的驟然變化而引起頻響發生很大的起伏振蕩，這種起伏振蕩使得阻帶的最小衰減變小。那么，如何提高逼近質量，使逼近誤差變小呢？可采用如下方法： 1）在理想頻率響應的不連續點