1、極限定理是概率論的基本理論，在理論研究和應用中起著重要的作用，其中最重要的為“大數定律”與“中心極限定理”。大數定律描述了隨機變量序列的前一些項的算術平均值按某種前置條件下收斂于這些項所希望的平均值；中心極限定理則是確定在什么條件下，大量隨機變量之和的概率分布近似于正態分布。本章僅就這些定理的一些最基本的內容進行簡要介紹。序言01大數定律第一章曾講過，大量試驗證實，隨機事件A發生的頻率 當重復試驗的次數n增大時總會穩定在某一個常數附近。這個常數就稱為隨機事件A發生的概率。頻率的穩定性是概率定義的客觀基礎。本節對頻率的穩定性做出理論說明。弱大數定理（辛欽大數定理） 設X1, X2, , Xn是相

2、互獨立、服從同一分布的隨機變量序列，且具有數學期望。 作前n個變量的算術平均值 ，則對于任意，有（5-1）證我們只在隨機變量的方差存在這一條件下證明上述結果。因為又由獨立性得由切比雪夫不等式得在上式中令為即得弱大數定理（辛欽大數定理） 設X1, X2, , Xn相互獨立、服從同一分布，且具有數學期望 。則序列依概率收斂于 。 伯努利大數定理 設fA是n次獨立重復試驗中事件A發生的次數，p是事件A在每次試驗中發生的概率，則對于任意正數 0，有證 因為設隨機變量則由式（5-1）得上式也可表示成02中心極限定理在第二章中曾經提過，現實生活中有大量的實例符合正態分布。正態分布是一種十分常見的分布那為什

3、么正態分布會具有如此特別的重要性呢？大量的實際操作經驗表明，許許多多微小的、彼此沒有什么相依關系的偶然因素共同作用的結果必然導致正態分布。序言例如，影響某大學學生成績分布的因素有很多，如學生的情緒波動、學生的健康、考卷印刷清晰程度、考試當天天氣情況等，其中每一個因素在總的影響中所起的作用都是微小的，然而學生成績的分布往往呈現近似地正態分布。為了說明這種現實結果，概率論中，把研究在什么條件下大量獨立隨機變量和的分布以正態分布為極限的這一類定理稱為中心極限定理。序言定理1（列維林德伯格中心極限定理） 設X1, X2, , Xn相互獨立、服從同一分布，且具有數學期望 ，則隨機變量之和 的標準化變量的

4、分布函數Fn(x)對于任意x滿足（5-2）此定理還可稱為獨立同分布的中心極限定理.這就是說，均值為、方差為2 0的獨立同分布的隨機變量X1, X2, , Xn之和的標準化變量，當n充分大時，有可以表示為，當n充分大時，將定理1應用到n重伯努利試驗，定理2（棣莫弗拉普拉斯定理） 設隨機變量 服從服從參數為n, p (0p1)的二項分布，則對于任意x，有（5-2）定理2說明，當n充分大時，可以用式（5-3）來近似計算二項分布的概率實際上，定理2可以寫成如下更實用的形式：當n充分大時，對于任意ab，有例1 某大學舉行籃球三分球大賽，總共有100名男生參加，每名男生投籃若干次，其在比賽中投籃命中的次數

5、為一個隨機變量，其數學期望是2，方差是1.69，求這100名男生參加完比賽后，總共投籃命中180次到220次的概率。解 設每名男生投籃命中次數為Xi，則100名男生總共投籃命中次數為且則例2 某學生開了家淘寶店，店內有120件相互無關的商品。若每件商品在一個小時內平均每3分鐘就有一個顧客點擊查看，問：（1）在任一時刻至少有10名顧客點擊查看店內商品的概率；（2）在任一時刻有8到10名顧客點擊查看店內商品的概率解 （1）設在任一時刻，訪問店內商品的顧客數為X，易知這里選用棣莫弗拉普拉斯定理來解題：例2 某學生開了家淘寶店，店內有120件相互無關的商品。若每件商品在一個小時內平均每3分鐘就有一個顧

6、客點擊查看，問：（1）在任一時刻至少有10名顧客點擊查看店內商品的概率；（2）在任一時刻有8到10名顧客點擊查看店內商品的概率解 （2）例3 對于一個學生而言，來參加家長會的家長人數是一個隨機變量，設一個學生無家長、1名家長、2名家長來參加會議的概率分別為0.05，0.8，0.15若學校共有400名學生，設各學生參加會議的家長人數相互獨立，且服從同一分布。（1）求參加會議的家長人數X超過450的概率；（2）求有1名家長來參加會議的學生人數不多于340的概率。解 （1）以Xk(k=1, 2, ，400)記第k個學生來參加會議的家長人數Xk的分布律如表所示。Xk012pk0.050.80.15例3 對于一個學生而言，來參加家長會的家長人數是一個隨機變量，設一個學生無家長、1名家長、2名家長來參加會議的概率分別為0.05，0.8，0.15若學校共有400名學生，設各學生參加會議的家長人數相互獨立，且服從同一分布。（1）求參加會議的家長人數X超過450的概率；（2）求有1名家長來參加會議的學生人數不多于340的概率。易知由定理1可知，隨機變量于是例3 對于一個學生而言，來參加家長會的家長人數是一個隨機變量，設一個學生無家長、1名家長、2名家長來參加會議的概率分別為0.05，0.8，0.15若學校共有400名學生，設