1、曲線積分與曲面積分 1第一型線面積分2222 .例1 求f(xy+yz + zx)ds,其中L是球面x十y+z = a與平面x+y十z = 0的交線。L1 .解法 1 (xy yz zx)ds 2(xy yz zx)dsL2 l解法2求曲線L的參數方程。由 x2+y2+z2=a2, x + y+ z = 0消去y ,得2即(x -)2 =a-(1-3z2)222a2令 z = J|asin t ,則于是得到兩組參數方程我們可任選一組，例如第一組。顯然，被積函數和L都具有輪換對稱性，則解法3作坐標旋轉。就坐標是 (x, y),新坐標是(X,Y),旋轉角為e ,則旋轉變換的一般公式為x = X c

2、os日-Y sin 8 , y = X sin 8 +Y cos81因為平面x+y+z=0的單位法矢為n =1,1,1,則它與z軸的夾角余弦為31cos4 =尸。下面分兩步進行旋轉，先將Oxy平面旋轉一，得新坐標系Ou vz；再將Ozu平, 34面旋轉巾，得新坐標系 Ouvw。即由旋轉公式得于是得 x1 ,.:(u c o s -v ws i n )在這組變換曲線 L： x2+y2+z2=a2, x + y+ z =0 變為 u2 +v2 + w2 = a2 , w = 0,3故 (xy + yz +zx)ds =3 xyds = 一 f(u cos4 v)(ucos4 +v)dsLL2l注1

3、三種解法各具特點：解法1技巧性強，直接利用了幾何意義，而不必化為定積分。解法2常規的方法，即寫出參數方程套公式計算定積分這里主要難在第一步，寫參數方程。通過解法2,給出了一種求參數方程的方法。解法3先通過坐標旋轉，將問題轉化為另一個與之等價的問題，再按常規的方法計算。Oxyz坐標系下的線積分 O u v彼標系下的線積分寫出參數方程一套公式一計算定積分在新的坐標下，曲線有簡單的參數方程。這個解法表明，可以適當地轉化問題，例如作 坐標旋轉，從而獲得簡單的參數方程。 2第二型線面積分例1計算曲線積分I = J(y2 -z2)dx + (z2 -x2)dy+ (x2 _y2)dz,LL是球面三角形x2

4、+y2+z2=1, x0, y0, z a 0的邊界線，從球的外側看去，L的方向為逆時針方向； TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark11 o Current Document 222222L是球面x +y +z =a和枉面x +y = ax(a a 0)的交線位于 Oxy平面上萬的部分，從x軸上(b,0,0)(b a)點看去，L是順時針方向。解 (1)顯然，L具有輪換對稱性，且被積表達式也具有輪換對稱性，將L分為三段22L1 ： x+y =1,z=0 (x0,y 0).22L2 ： y+z =1,x=0 (y0,z 0).22L3： x+z =1,y=0 (x0

5、,z 0)貝UI= (y2-z2)dx(z2 - x2)dy (x2- y2)dzL或I= (y2z2)dx(z2 x2)dy (x2-y2)dzL注1這里利用輪換對稱性使計算化簡，都是寫為某積分的3倍。它們的區別在于第一種方法：積分表達式不變，積分化為L1上的積分的3倍。 TOC o 1-5 h z 第二種方法：積分曲線 L不變，積分化為表達式中第一項積分的3倍。問題1是否可化為既是 L1上的積分的3倍，又是表達式中第一項積分的3倍，即(2)曲線關于 Ozx平面對稱，且方向相反同理(x2 - y2)dz =(x2 一 y2)dz = (x2 一 y2)dz = 0lL,y 0L,yi0222

6、22222、.故 I = (y z )dx (z x )dy (x -y )dz = (z -x )dyLL下面求曲線 L的參數方程。方法1利用球面的參數方程x=acos8sine, y = asinHsine, z=acose,代入柱面方程 x2+y2 = ax得sine=cos日，于是得 L的參數方程 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark2 o Current Document x = a cos 0 , y = asin a cos6 , z = a | sine |, e 從:至U -a aa萬法2 利用柱面的參數萬程 x = 十 cos日，y = sine ,代入球面方程 HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 2 222222x +y +z =a，得L的參數方程a a. a .x = 十cosH,y= sine, z = a|sin|, 日從 2n 至 U 0 HYPERLINK l bookmark8 o Current Document 2 222不妨取方法1中的參數方程進行計算，注2這里利用對稱性（不是輪換對稱性），立即可知前兩項的積分為0。值得注意的是第二