1、 Lecture 12非慣性參考系下的動力學：質點在地球參考系下的運動現象3D剛體動力學質點在地球參考系下的運動地心參考系：假設地球相對地心參考系做勻速定軸轉動。考慮地球存在自轉角速度的情況下，觀測物理現象：鉛垂線不過地球中心自由落體偏東現象傅科擺發生的進動現象其它，鉛垂線不過地球中心考慮地球表面上一個靜止的單擺，并考慮地球自轉引起的離心慣性力的作用。存在如下的平衡方程。萬有引力加速度；W = mg0地球自轉所引起的牽連慣性力為考慮F相對比較小, Fmg0表觀重力加速度：T=mgO赤道FWTij鉛垂線自由落體偏東現象（科氏力）地心參考系地表東北天坐標系xyz切平面質點Axyz地球自轉角速度在O

2、,x,y,z中可表示為高度為h處質點A的動力學方程為其中:g 為表觀重力加速度，即考慮了離心慣性力的影響。自由落體偏東現象（科氏力）自由落體的質點的初始條件為動力學方程在坐標系O, x,y,z中的分量形式以上是一組非線性微分方程組，考慮是小參數，可以采用對小參數進行逐次逼近的方法求解。即認為微分方程組的解是如下關于小參數逐次函數數列的展開函數式1， ， 2， 3，.方程解的結構可表示為自由落體偏東現象（科氏力）僅考慮方程解中關于小參數的零次和一次項，并將解的結構代入質點動力學方程中比較關于小參數的次數，關于零次項的微分方程為根據初始條件，可得關于小參數一次項的微分方程為初始條件為自由落體偏東現

3、象（科氏力）將關于零次項的解代入，并利用初始條件 所以，考慮地球自轉效應后質點自由落體運動的近似解為落體偏東的距離計算：落地時間在該時間段內，自由落體向東偏移的距離為Comments:逐次逼近方法是攝動理論求解非線性微分方程近似解析解的有效方法。前提是必須找到小參數，確定小參數的收殮序列，確定解的結構，最后，利用逐次逼近確定半解析解。求解非線性微分方程還有很多其它方法，如多尺度方法，WKB方法，同倫方法等。落體偏東現象的其它解釋ABmgv0OOxz物體自高度h處落下，在慣性參考系下的初始條件為落地時的弧長利用初始條件，以上微分方程的解為在慣性參考系下質點的動力學方程可表示為設表觀加速度大小不變

4、，其與OZ軸的夾角為，當hR時，地面上的對應點O東移的距離傅科擺傅科擺：法國物理學家，在1650年設計了長擺繩的單擺，發現了單擺由于地球自轉作用引起的單擺的進動現象。傅科擺l-zyzmgxzl質點在非慣性系下的動力學方程為繩中的拉力在三個坐標軸上的分量可近似表示為可以近似認為：ddotz = 0, 則其它兩項的微分方程為令傅科擺（1）* i+(2)該微分方程的通解為由如下特征方程確定n忽略關于高于一次的項，方程的解可表示為當不考慮地球自轉時 （1）傅科擺方程的通解（1）可表示為因此可以看出，單擺的運動存在兩種周期性運動其運動軌跡同一般的單擺運動。其運動軌跡為一橢圓, 也可以是一條直線。另一運動

5、的周期為橢圓的長短軸以角速度sin做順時方向旋轉。傅科擺也可以采用極坐標系建立水平面內的動力學方程水平面內的速度極坐標系下的動力學方程為求出平衡狀態的解：徑向運動的解（忽略高階項）：其它現象科氏力引起的其它現象:大氣科學軌道動力學河流與海洋科氏力在很多自然現象中都有所體現。等壓線高壓低壓理想情況沿等壓線形成環流考慮空氣的粘滯阻力效應后，風不會沿精確的等壓線運動。低壓區形成的氣旋衛星上的拋射體運動假定空間飛行器的運行軌道是半徑為R的圓，周期為T。宇航員以相對速度v0垂直地球表面投射一伴隨衛星。如果不計r/R的高階項（r為衛星與拋射物之間的距離），并忽略地球自轉對g的影響。求證投射物相對衛星的軌跡

6、為一橢圓，周期也是T.xyR地心Or衛星上的拋射體運動飛行器相對地球做回轉運動，在其上建立非慣性參考系o,x,y。由于飛行器做圓周運動，則其相對地心慣性參考系為勻速轉動，設其角速度為。且有其中，g為地球表面的重力加速度。設投射體的質量為m，其所受到的地球萬有引力可表示為線性化xyR地心Or在非慣性參考系中的牽連慣性力為在非慣性參考系中的科氏慣性力為衛星上的拋射體運動質點在非慣性系中的動力學方程為xyR地心Or初始條件為方程的解為拋射體相對飛行器的運動軌跡是一個橢圓。周期為T.剛體動力學研究的內容本章研究的主要內容：單個剛體的經典動力學的相關理論和分析方法。剛體的定點運動幾種可積的情形剛體的一般

7、運動采用的基本物理原則：動量定理動量矩定理能量定理新的物理量的引入：剛體的慣性張量慣量橢球主慣量應用的新的數學描述工具張量的基本概念及張量的性質非線性微分方程的分析方法數學基礎：矢量與張量寫成矩陣的形式設某一個矢量V, 其在坐標系O, i1,i2,i3中的分量形式為該矢量V同樣也可以在另一坐標系O, e1, e2, e3 中表示出其分量的形式（1）與（2）表示的是同一個矢量，如果兩個坐標系為單位正交坐標系，則（1）（2）數學基礎：矢量與張量則矢量V在不同坐標系中的分量之間的關系可表示為稱矢量為一階張量。當某些物理量可以用矢量（一階張量）表達后，可以直觀的反映客觀存在的物理定律。如：利用矢量的性

8、質可以簡潔的反映客觀存在的物理定律，而不需要依賴于坐標系。將坐標變換矩陣中的元素定義為aij二階張量某些客觀存在的物理量需要更多的參數來參入表達，這就出現了高階張量。其中，應用最多的就是二階張量。其結構在某一個坐標系中可表示如下：該物理量在另一個坐標系中可表示為二階張量也可以看做由兩個一階張量共同相互作用所構成的物理量，并矢。設存在U和V兩個矢量，二階張量定義如下的結構如果改變相乘的次序并矢便構成了一個二階張量。由九個元素組成。可表示為坐標變換矩陣為一個二階張量xyyrrdrx如果坐標O,x,y與O,x,y存在坐標變換矩陣T. 如果將這一轉動作用在空間中的矢量r上，將產生一個新的矢量r。兩個矢

9、量之間的關系為該坐標變換矩陣包含9個獨立的參數，反映了兩個坐標系之間變換的客觀 物理規律，是一個二階張量。同時可以看出，當將二階張量作用在矢量上時，將產生一個新的矢量。還可以看出，二階張量也反映了兩個矢量相除的結果。（二階張量的商法則）矢量與二階張量則有定理：如果一個量具有將一個矢量變換為另外一個矢量的能力，那么，這個量一定是一個二階張量。Proof:設這個量在兩個坐標系中的表示分別為S和S。兩個坐標系之間的坐標變換矩陣為P。將S作用在矢量a上產生一個新的矢量在另外一個坐標系中有由于a, a, b, b均為矢量，顯然存在張量代數相等：同樣階數的張量，如果在某一個坐標系中相等，則在任意一個坐標系也相等（因為張量是獨立于坐標系的）。張量的加減：同階張量可以進行加減，每個對應元素進行加減，并得到同階張量張量和標量相乘每個元素均與該標量相乘，并得到同階張量。張量的縮并如同二階張量作用在一個矢量上，得到一階張量。張量的階數在運算中可以變化。張量的指標表示與運算矢量的點積和矢量積自由指標：式中只出現一次亞指標：出現兩次張量代數采用指標運算證明如下的矢量關系重要的關系式因為Proof: