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1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請(qǐng)注意:1答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1下列不等式成立的是( )ABCD2已知隨機(jī)變量滿(mǎn)足,.若,則( )A,B,C,D,3已知集合,則為( )ABCD4某個(gè)命題與自然數(shù)有關(guān),且已證得“假設(shè)時(shí)該命題成立,則時(shí)該命題也成立”現(xiàn)
2、已知當(dāng)時(shí),該命題不成立,那么( )A當(dāng)時(shí),該命題不成立B當(dāng)時(shí),該命題成立C當(dāng)時(shí),該命題不成立D當(dāng)時(shí),該命題成立5已知平面向量,滿(mǎn)足且,若對(duì)每一個(gè)確定的向量,記的最小值為,則當(dāng)變化時(shí),的最大值為( )ABCD16已知函數(shù)的最大值為,若存在實(shí)數(shù),使得對(duì)任意實(shí)數(shù)總有成立,則的最小值為( )ABCD7已知函數(shù),則( )A函數(shù)在上單調(diào)遞增B函數(shù)在上單調(diào)遞減C函數(shù)圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng)D函數(shù)圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng)8已知復(fù)數(shù)z=2i1-i,則z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限9已知為銳角,且,則等于( )ABCD10設(shè)是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,則下列命題正確的是( )A若,
3、則B若,則C若,則D若,則11已知實(shí)數(shù),滿(mǎn)足約束條件,則的取值范圍是( )ABCD12復(fù)數(shù)滿(mǎn)足,則復(fù)數(shù)等于()ABC2D-2二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13在的展開(kāi)式中,常數(shù)項(xiàng)為_(kāi).(用數(shù)字作答)14將2個(gè)相同的紅球和2個(gè)相同的黑球全部放入甲、乙、丙、丁四個(gè)盒子里,其中甲、乙盒子均最多可放入2個(gè)球,丙、丁盒子均最多可放入1個(gè)球,且不同顏色的球不能放入同一個(gè)盒子里,共有_種不同的放法.15已知實(shí)數(shù) 滿(mǎn)足,則的最大值為_(kāi).16雙曲線的焦距為_(kāi),漸近線方程為_(kāi)三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以
4、坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.已知點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,過(guò)的直線與曲線相交于,兩點(diǎn).(1)若的斜率為2,求的極坐標(biāo)方程和曲線的普通方程;(2)求的值.18(12分)已知傾斜角為的直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn),與拋物線相交于、兩點(diǎn),且.(1)求拋物線的方程;(2)設(shè)為拋物線上任意一點(diǎn)(異于頂點(diǎn)),過(guò)做傾斜角互補(bǔ)的兩條直線、,交拋物線于另兩點(diǎn)、,記拋物線在點(diǎn)的切線的傾斜角為,直線的傾斜角為,求證:與互補(bǔ).19(12分)分別為的內(nèi)角的對(duì)邊.已知.(1)若,求;(2)已知,當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí),求的周長(zhǎng).20(12分)已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到軸的距離多.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;(2)設(shè),是軌跡在上
5、異于原點(diǎn)的兩個(gè)不同點(diǎn),直線和的傾斜角分別為和,當(dāng),變化且時(shí),證明:直線恒過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).21(12分)已知函數(shù),.(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù);(2)記函數(shù)在區(qū)間上的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為、,求證:.22(10分)已知函數(shù),當(dāng)時(shí),有極大值3;(1)求,的值;(2)求函數(shù)的極小值及單調(diào)區(qū)間.參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1D【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性和正余弦函數(shù)的圖象可確定各個(gè)選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于,錯(cuò)誤;對(duì)于,在上單調(diào)遞減,錯(cuò)誤;對(duì)于,錯(cuò)誤;對(duì)于,在上單調(diào)遞增,正確.故選:.【點(diǎn)睛
6、】本題考查根據(jù)初等函數(shù)的單調(diào)性比較大小的問(wèn)題;關(guān)鍵是熟練掌握正余弦函數(shù)圖象、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性.2B【解析】根據(jù)二項(xiàng)分布的性質(zhì)可得:,再根據(jù)和二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量滿(mǎn)足,.所以服從二項(xiàng)分布,由二項(xiàng)分布的性質(zhì)可得:,因?yàn)椋裕啥魏瘮?shù)的性質(zhì)可得:,在上單調(diào)遞減,所以.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)分布的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,還考查了理解辨析的能力,屬于中檔題.3C【解析】分別求解出集合的具體范圍,由集合的交集運(yùn)算即可求得答案.【詳解】因?yàn)榧希怨蔬x:C【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域求法、一元二次不等式的解法及集合的交集運(yùn)算,考查基本運(yùn)算能力.4
7、C【解析】寫(xiě)出命題“假設(shè)時(shí)該命題成立,則時(shí)該命題也成立”的逆否命題,結(jié)合原命題與逆否命題的真假性一致進(jìn)行判斷.【詳解】由逆否命題可知,命題“假設(shè)時(shí)該命題成立,則時(shí)該命題也成立”的逆否命題為“假設(shè)當(dāng)時(shí)該命題不成立,則當(dāng)時(shí)該命題也不成立”,由于當(dāng)時(shí),該命題不成立,則當(dāng)時(shí),該命題也不成立,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查逆否命題與原命題等價(jià)性的應(yīng)用,解題時(shí)要寫(xiě)出原命題的逆否命題,結(jié)合逆否命題的等價(jià)性進(jìn)行判斷,考查邏輯推理能力,屬于中等題.5B【解析】根據(jù)題意,建立平面直角坐標(biāo)系.令.為中點(diǎn).由即可求得點(diǎn)的軌跡方程.將變形,結(jié)合及平面向量基本定理可知三點(diǎn)共線.由圓切線的性質(zhì)可知的最小值即為到直線的距離最小值
8、,且當(dāng)與圓相切時(shí),有最大值.利用圓的切線性質(zhì)及點(diǎn)到直線距離公式即可求得直線方程,進(jìn)而求得原點(diǎn)到直線的距離,即為的最大值.【詳解】根據(jù)題意,設(shè),則由代入可得即點(diǎn)的軌跡方程為又因?yàn)?變形可得,即,且所以由平面向量基本定理可知三點(diǎn)共線,如下圖所示:所以的最小值即為到直線的距離最小值根據(jù)圓的切線性質(zhì)可知,當(dāng)與圓相切時(shí),有最大值設(shè)切線的方程為,化簡(jiǎn)可得由切線性質(zhì)及點(diǎn)到直線距離公式可得,化簡(jiǎn)可得 即 所以切線方程為或所以當(dāng)變化時(shí), 到直線的最大值為 即的最大值為故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的坐標(biāo)應(yīng)用,平面向量基本定理的應(yīng)用, 圓的軌跡方程問(wèn)題,圓的切線性質(zhì)及點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用,綜合性強(qiáng),屬于難題
9、.6B【解析】根據(jù)三角函數(shù)的兩角和差公式得到,進(jìn)而可以得到函數(shù)的最值,區(qū)間(m,n)長(zhǎng)度要大于等于半個(gè)周期,最終得到結(jié)果.【詳解】函數(shù) 則函數(shù)的最大值為2,存在實(shí)數(shù),使得對(duì)任意實(shí)數(shù)總有成立,則區(qū)間(m,n)長(zhǎng)度要大于等于半個(gè)周期,即 故答案為:B.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了三角函數(shù)的兩角和差的正余弦公式的應(yīng)用,以及三角函數(shù)的圖像的性質(zhì)的應(yīng)用,題目比較綜合.7C【解析】依題意可得,即函數(shù)圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng),再求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),即可判斷函數(shù)的單調(diào)性;【詳解】解:由,所以函數(shù)圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng),又,在上不單調(diào).故正確的只有C,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性的判定,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.8C【解
10、析】分析:根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算,求得復(fù)數(shù)z,再利用復(fù)數(shù)的表示,即可得到復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn),得到答案詳解:由題意,復(fù)數(shù)z=2i1-i=2i1+i1-i1+i=-1+i,則z=-1-i所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,-1),位于復(fù)平面內(nèi)的第三象限,故選C點(diǎn)睛:本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)的表示,其中根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求解復(fù)數(shù)z是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力9C【解析】由可得,再利用計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋裕?故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式的應(yīng)用,考查學(xué)生對(duì)三角函數(shù)式化簡(jiǎn)求值公式的靈活運(yùn)用的能力,屬于基礎(chǔ)題.10C【解析】根據(jù)空間中直線與平面、平面與平面位置關(guān)系相關(guān)定理依
11、次判斷各個(gè)選項(xiàng)可得結(jié)果.【詳解】對(duì)于,當(dāng)為內(nèi)與垂直的直線時(shí),不滿(mǎn)足,錯(cuò)誤;對(duì)于,設(shè),則當(dāng)為內(nèi)與平行的直線時(shí),但,錯(cuò)誤;對(duì)于,由,知:,又,正確;對(duì)于,設(shè),則當(dāng)為內(nèi)與平行的直線時(shí),錯(cuò)誤.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中線面關(guān)系、面面關(guān)系有關(guān)命題的辨析,考查學(xué)生對(duì)于平行與垂直相關(guān)定理的掌握情況,屬于基礎(chǔ)題.11B【解析】畫(huà)出可行域,根據(jù)可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離,求得的取值范圍.【詳解】由約束條件作出可行域是由,三點(diǎn)所圍成的三角形及其內(nèi)部,如圖中陰影部分,而可理解為可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方,顯然原點(diǎn)到所在的直線的距離是可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值,此時(shí),點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的
12、最大值,此時(shí).所以的取值范圍是.故選:B【點(diǎn)睛】本小題考查線性規(guī)劃,兩點(diǎn)間距離公式等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力,數(shù)形結(jié)合思想,應(yīng)用意識(shí).12B【解析】通過(guò)復(fù)數(shù)的模以及復(fù)數(shù)的代數(shù)形式混合運(yùn)算,化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】復(fù)數(shù)滿(mǎn)足,故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算,復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的概念,屬于基礎(chǔ)題二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13【解析】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為,取計(jì)算得到答案.【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為:,取得到常數(shù)項(xiàng).故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.14【解析】討論裝球盒子的個(gè)數(shù),計(jì)算得到答案.【詳解】當(dāng)四個(gè)盒子有球時(shí):種;當(dāng)三個(gè)盒子有球時(shí):種;當(dāng)兩個(gè)盒
13、子有球時(shí):種.故共有種,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合的綜合應(yīng)用,意在考查學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力.15【解析】作出不等式組所表示的平面區(qū)域,將目標(biāo)函數(shù)看作點(diǎn)與可行域的點(diǎn)所構(gòu)成的直線的斜率,當(dāng)直線過(guò)時(shí),直線的斜率取得最大值,代入點(diǎn)A的坐標(biāo)可得答案.【詳解】畫(huà)出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域,如下圖所示,由得點(diǎn),目標(biāo)函數(shù)表示點(diǎn)與可行域的點(diǎn)所構(gòu)成的直線的斜率,當(dāng)直線過(guò)時(shí),直線的斜率取得最大值,此時(shí)的最大值為.故答案為:. 【點(diǎn)睛】本題考查求目標(biāo)函數(shù)的最值,關(guān)鍵在于明確目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,屬于中檔題.166 【解析】由題得 所以焦距,故第一個(gè)空填6.由題得漸近線方程為.故第二個(gè)空填.三、解
14、答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17(1):,:;(2)【解析】(1)根據(jù)點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線的直角坐標(biāo)方程,并轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程,利用,將曲線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程.(2)將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程,結(jié)合直線參數(shù)的幾何意義以及根與系數(shù)關(guān)系,求得的值.【詳解】(1)的直角坐標(biāo)方程為,即,則的極坐標(biāo)方程為.曲線的普通方程為.(2)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),為的傾斜角),代入曲線的普通方程,得. 設(shè),對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為,所以,在的兩側(cè).則.【點(diǎn)睛】本小題主要考查直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo),考查參數(shù)方程化為普通方程,考查直線參數(shù)方程,考查直線參數(shù)的幾何意義,屬于中檔題.18(1)(2
15、)證明見(jiàn)解析【解析】(1)根據(jù)題意,設(shè)直線方程為,聯(lián)立方程,根據(jù)拋物線的定義即可得到結(jié)論;(2)根據(jù)題意,設(shè)的方程為,聯(lián)立方程得,同理可得,進(jìn)而得到,再利用點(diǎn)差法得直線的斜率,利用切線與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系得直線的斜率,進(jìn)而可得與互補(bǔ).【詳解】(1)由題意設(shè)直線的方程為,令、,聯(lián)立,得,根據(jù)拋物線的定義得,又,故所求拋物線方程為.(2)依題意,設(shè),設(shè)的方程為,與聯(lián)立消去得,同理,直線的斜率=切線的斜率,由,即與互補(bǔ).【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,直線斜率的應(yīng)用,考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題19(1)(2)【解析】(1)根據(jù)正弦定理,將,化角為邊,即可求出,再利用正弦定理即可
16、求出;(2)根據(jù),選擇,所以當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí),最大,結(jié)合(1)中條件,即可求出最大時(shí),對(duì)應(yīng)的的值,再根據(jù)余弦定理求出邊,進(jìn)而得到的周長(zhǎng)【詳解】(1)由,得,即.因?yàn)椋?由,得.(2)因?yàn)椋裕?dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.因?yàn)榈拿娣e.所以當(dāng)時(shí),的面積取得最大值,此時(shí),則,所以的周長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形,涉及到基本不等式的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力20(1)或;(2)證明見(jiàn)解析,定點(diǎn)【解析】(1)設(shè),由題意可知,對(duì)的正負(fù)分情況討論,從而求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;(2)設(shè)其方程為,與拋物線方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理得到,所以,所以直線的方程可表示為,即,
17、所以直線恒過(guò)定點(diǎn)【詳解】(1)設(shè),動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到軸的距離多,時(shí),解得,時(shí),解得.動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為或(2)證明:如圖,設(shè),由題意得(否則)且,所以直線的斜率存在,設(shè)其方程為,將與聯(lián)立消去,得,由韋達(dá)定理知,顯然,將式代入上式整理化簡(jiǎn)可得:,所以,此時(shí),直線的方程可表示為,即,所以直線恒過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)軌跡,考查了直線與拋物線的綜合,是中檔題21(1);(2)見(jiàn)解析.【解析】(1)利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性與極值,結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得出結(jié)論;(2)設(shè)函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)分別為、,由(1)知,且滿(mǎn)足,于是得出,由得,利用正切函數(shù)的單調(diào)性推導(dǎo)出,再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可得出結(jié)論.【詳解】(1),當(dāng)時(shí),則函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),則函數(shù)在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),則函數(shù)在上單調(diào)遞增.,.所以,函數(shù)在與不存在零點(diǎn),在區(qū)間和上各存在一個(gè)零點(diǎn).綜上所述,函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為;(2),.由(1)得,在區(qū)間與上存在零點(diǎn),所以,函數(shù)在區(qū)間與上各存在一個(gè)極值點(diǎn)、,且,且滿(mǎn)足即,又,即,由在上單調(diào)遞增,得,再由在上單調(diào)遞減,得,即.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題,同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,屬于難題.22(1);(2)極小值為,遞減區(qū)間為:,遞增區(qū)間為
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