1、重慶(zhn qn)三峽學院畢業設計(shj)（論文(lnwn)）題目：歸結不定積分的求解方法專 業：數學與應用數學年 級：2010級學 號：201006034208作 者：林相群指導老師：吳艷秋（講師）完成時間：2014年5月目 錄 TOC o 1-3 u 摘要(zhiyo) PAGEREF _Toc387268672 h IAbstract PAGEREF _Toc387268673 h II1 引言(ynyn) PAGEREF _Toc387268674 h 12 不定積分(b dn j fn)的求解方法 PAGEREF _Toc387268675 h 12.1 基本公式法 PAGERE

2、F _Toc387268676 h 12.2 分項積分法、因式分解法 PAGEREF _Toc387268677 h 22.3 “湊”微分法（第一類換元積分法） PAGEREF _Toc387268678 h 32.4第二類換元積分法 PAGEREF _Toc387268679 h 42.5分部積分法 PAGEREF _Toc387268680 h 42.6有理函數的積分 PAGEREF _Toc387268681 h 53 各種方法所對應的題型 PAGEREF _Toc387268682 h 53.1 基本公式法 PAGEREF _Toc387268683 h 53.2 分項積分法、因式分解

3、法 PAGEREF _Toc387268684 h 63.3 “湊”微分法（第一類換元積分法） PAGEREF _Toc387268685 h 73.4第二類換元積分法 PAGEREF _Toc387268686 h 83.5分部積分法 PAGEREF _Toc387268687 h 83.6有理函數的積分 PAGEREF _Toc387268688 h 94 解決不定積分的一般步驟 PAGEREF _Toc387268689 h 10致 謝 PAGEREF _Toc387268690 h 11參考文獻 PAGEREF _Toc387268691 h 11IIPAGE II歸結不定積分的求解(

4、qi ji)方法林相群（重慶(zhn qn)三峽學院數學與統計(tngj)學院數學與應用數學專業2010級 重慶萬州 404000）摘要：不定積分的求解方法在本科階段可以歸為六大類：基本公式法、分項積分法+因式分解法、“湊”微分法（第一類換元積分法）、第二類換元積分法、分部積分法、有理函數的積分法。當我們看到所求不定積分已經對應了公式表中的某一條時，我們便用“公式法”求解。但實際問題一般較為復雜，所以我們都需將原題通過其他方法進行變換，使其滿足公式再計算。“分項積分法+因式分解法”通過把多項式分解成單項式求積分，但結合三角恒等式，我們可以將高次三角函數降冪，化成容易積分的形式。當被積函數為復合

5、函數時，我們多考慮換元積分法。“第一類換元積分法”通過為復合函數的中間變量“湊微分”達到解題目的。“第二類換元積分法”多用于當第一類無法實行時，但“第二類換元積分法”的換元形式比較不容易看出來，真正做到靈活運用需要累積許多經驗。當被積函數是冪函數、三角函數、指數函數、對數函數中任意兩個的乘積時，我們多考慮用“分部積分法”。“分部積分法”有著明顯特征，并十分容易上手，是一種很好的解題方法。而“有理函數的積分法”與“第二類換元積分法”一樣，沒有特別固定的套路，多憑借經驗和靈活運用。所以一般拿到題目可先考慮用別的方法。在拿到不定積分的題目時，我們要分析題目屬于上述六種解題類型的哪一類。排除掉不可能的

6、類型，再在可能的類型中進行進一步篩選，直到留下兩種或兩種以下的解題方法后，再進行嘗試。若用某種方法解題時，無論怎么解都解不出答案，那么可先檢查自己有沒有運算的錯誤，或者是否選錯了方法。總之，不定積分雖然有很多題型，但是解題的方法離不開上述六種，只要掌握了上述六種任何不定積分都不再是難題！ 關鍵詞：不定積分；基本公式法；換元積分法；分部積分法；有理函數的積分法The method of calculating the indefinite integralLIN Xiang-qun (Grade 2007, Mathematics and Applied Mathematics, College

7、 of Mathematics and Computer Science, Chongqing Three Gorges University, Wanzhou, Chongqing 404000 )Abstract: The method of indefinite integral in the undergraduate stage can be classified into six categories: basic formula method, component integration method & factorization method, collect differe

8、ntial method (the first kind of change of variable in an indefinite integral), the second kind of change of variable in an indefinite integral, integration by parts method, primitives of rational functions method. When we see for indefinite integral has corresponding formula in the table, we use for

9、mula method. But the actual problem is more complicated, so we all shall transfer the indefinite integral through other methods to make it meet the formula in the end. component integration method & factorization method using for the polynomial into monomial then find indefinite integral respectivel

10、y, and combined with trigonometric identity, we can handle high time trigonometric function to drop power, thus easy to integrate. When the integrand is composite function, we consider changing the variable. The first kind of change the variable working by the given the middle variable of the compos

11、ite function to solving the problem. The second kind of change of variable in an indefinite integral is working when the first kind of failing to solve the problem. But the second is less likely to see immediately because that question is truly flexible and need to accumulate many experiences. When

12、the integrand is mixing by power function, trigonometric function, exponential function and logarithmic function of any two, we consider using the integration by parts method .Integration by parts method” has obvious characteristic and is very easy to use, is a kind of good method to solve problems.

13、 And primitives of rational functions method is similar to the second kind of change of variable in an indefinite integral method: there is no special characteristic, all we need is more experiences and flexible insights. So we can consider to use other methods first when we get the problem, then an

14、alysis the kind of the six types to find which type is not helpful and which is until leaves one or two possible methods for further trying. If no matter how to solve the question all was fail, we can check if the first operation is error or if we choose the wrong way. All in all, indefinite integra

15、l question although have many type, the problem solving method is not far away from these method above. As long as to master the six kinds, any indefinite integral is no longer a problem!Keywords: Indefinite Integral; Basic Formula Method; Change the Variable; Integration by Parts; Primitives of Rat

16、ional Functions林相群：歸結不定積分的求解方法2014屆數學與應用數學專業畢業設計（論文）第 PAGE 10 頁 共 11 頁第 PAGE 15 頁 共 11頁1 引言(ynyn) 函數(hnsh)在區間上的全體(qunt)原函數稱為在上的不定積分，記作 (1.1)其中稱為積分號，為被積表達式，為積分變量。若是的某一個原函數，則不定積分可記為 (1.2)其中為任意常數。 定積分的思想在古代就已萌芽，但是17世紀下半葉之前，有關定積分的完整理論還未形成。直到牛頓-萊布尼茨公式建立以后，計算問題得以解決，定積分才迅速建立發展起來，并對數學的進程做出了巨大的貢獻。在初學定積分時，學生容

17、易有困難，所以先引進求導的逆運算求不定積分，為學生的學習提供了方便，拓展了學生的思維。20世紀以來，隨著大量的邊緣科學諸如電磁流體力學、化學流體力學、動力氣象學、海洋動力學、地下水動力學等等的產生和發展，相繼出現各種各樣的微分方程，通過不定積分我們得出這些問題的解，從而處理各種科學問題，促進社會發展。所以不定積分的求解不僅是學校對我們的要求，也是適應社會發展的學習趨勢。不定積分是一元微積分中非常重要的內容之一，是積分學中最基本的問題之一，又是求定積分的基礎，牢固掌握不定積分的理論和運算方法，可以使學生進一步鞏固所學的導數和微分學及其它相關的數學知識，掌握好不定積分的方法是非常重要的。現下學生們

18、解決不定積分的題目普遍覺得困難，即便最后解決了題目，可能也走了許多彎路，最后若能從“彎路”中總結不定積分的求解方法，那么那些“彎路”都是有價值的，但是若只求結題，事后不總結，那么就是在浪費時間，也逐漸減少了學生對數學的學習熱情。本文針對一些常見的函數不定積分的方法進行歸納，希望能提供一種簡便的有效途徑使得大學生具備解決不定積分題目的便捷能力和基本素質。2 不定積分的求解方法 常見的不定積分求解方法有基本公式法、分項積分法、因式分解法、“湊”微分法（第一類換元積分法）、第二類換元積分法、分部積分法、有理函數的積分法等。2.1 基本公式法我們將一些常見函數的積分歸納成一個積分公式表，如下：（是常數

19、），（），；， ，；（），（），。2.2 分項積分法、因式分解(yn sh fn ji)法分項積分法和因式分解(yn sh fn ji)法是基于(jy)不定積分兩大性質而得。根據不定積分的定義，可以推得它有如下兩個性質：性質1設函數及的原函數存在，則 (2.2.1)性質2設函數的原函數存在，為非零常數，則 (2.2.2)利用不定積分的這兩個性質，可以將復雜積分分解為幾項，通過求出每一項的不定積分達到解題的效果。如：2.3 “湊”微分(wi fn)法（第一類換元積分法）如果(rgu)函數可以(ky)化為的形式，那么有 (2.3.1)其中是的原函數。這種第一類換元積分法即通過變量代換，將積分化為積

20、分進行計算。若復合函數中間變量的微分顯然存在于被積函數中，如的被積函數中，“”是一個復合函數，“”恰好是中間變量“”的微分，那么就有 若復合函數中間變量的微分并沒有存在于被積函數中，但可以添加，我們就可以通過“湊”微分的方式進行換元積分。如中間變量的微分為，但并沒有作為因式存在于被積函數中，這時我們可以乘進一個，再通過乘以一個的方法求解：第一類換元積分法又叫做“湊”微分法的原因為是，我們總是在解題過程中，為被積復合函數的中間變量湊一個微分，從而達到換元解題的目的。2.4第二類換元積分法將積分(jfn)中的適當(shdng)地選擇變量代換(di hun)為，則有 (2.4.1)其中師的原函數。這

21、公式的成立是需要一定條件的。首先，有原函數；其次，求出后必須用的反函數代回去，為了保證這反函數存在而且是可導的，我們假定直接函效在的某一個區間（這區間和所考慮的的積分區間相對應）上是單調的、可導的，并且。第二類換元積分法與第一類不同的是，我們換的元通常沒有那么明顯的邏輯性，換元的選擇需要憑借個人的經驗。例2.4：求解：令，則2.5分部積分法分部積分法是一種經常用到的積分法。設函數及具有連續導數，那么 (2.5.1)例2.5：求。解：（將看作(kn zu)，看作(kn zu)）2.6有理函數(yu l hn sh)的積分利用多項式的除法，總可以將一個假分式化成一個多項式與一個真分式之和的形式，例

22、如對子真分式，如果分母可分解為兩個多頂式的乘積且與沒有公因式，那么它可分拆成兩個真分式之和如果多項式還可再分拆成更簡單的部分分式，就按上述方法繼續分。最后，有理函數的分解式中只出現多項式、等三類函數（這里，為小于次的多項式，為小于次的多項式），根據(2.2.1)和(2.2.2)，多項式的積分可容易求得。3 各種方法所對應的題型3.1 基本公式法當我們看到所求不定積分已經對應了公式表中的某一條（如可以化成用公式（）求解，可以用公式求解），此時我們便用公式法求解。在實際問題中，一般并不如此簡單，都需將原題通過其他方法進行變換，從而滿足公式表再計算。例3.1：求。解：3.2 分項積分法、因式分解(y

23、n sh fn ji)法這一方法(fngf)通過把多項式分解成單項式求積分，如將分解(fnji)成為。不過這一方法的更高價值在于對帶有三角函數的積分求解，借助三角恒等式，可以將高次三角函數降冪，化成容易積分的形式。所以我們在碰到兩個因式相乘除、高次三角函數積分時，就要考慮用這種方法。例3.2.1：求。解：例3.2.2：求。解：先利用三角恒等式化成表中所列類型的積分，然后再逐項求積分： 一般(ybn)的，對于（、）型函數，總可利用(lyng)三角恒等式：，化成cos2x的多項式，進而(jn r)得出積分結果。3.3 “湊”微分法（第一類換元積分法）當被積函數為復合函數時，首先考慮這種方法，因為我

24、們可以為復合函數的中間變量“湊微分”達到解題目的。一般我們都是根據構成被積函數的復合函數中的中間變量，“湊”一個微分，從而達到解題的目的。下面介紹幾種常見的“湊”微分題型：，；，。上述幾個題型只是將比較常見的“湊”微分題型進行展現，不難看出這些題型都是中間變量的微分已經存在于被積函數中的類型，但是有時也需進行一定變形才能發現，如對于中間變量的微分未存在于題干中的題目，我們(w men)可以通過乘以因式。再除以因式的方法“湊”出微分(wi fn)，如2.3中的。3.4第二類換元積分法在我們(w men)碰到被積函數是復合函數時，有很大一部分的中間變量的微分是無法用用第一類換元積分法“湊”出來的，

25、這時我們就要用第二類換元積分法。第二類換元積分法的換元形式十分多變，真正做到靈活運用需要累積許多經驗。當我們碰到下面這些情況時，要先想到用第二類換元積分法：當被積函數中含有時，令；當被積函數中含有時，令；當被積函數中含有時，令。（注意：當進行完三角函數換元后，通常要畫一個如例2.4般的三角形，方便將“元”換回來）當被積函數中含有無理函數時，轉換為有理函數，如令。第二類換元積分法相較于第一類換元積分法用到較少，只要找準代換關系，題目便會迎刃而解。例3.4.1：求。解：被積函數中出現了兩個根式及。為了能同時消去這兩個根式，可以令。于是，從而所求積分為3.5分部積分法當被積函數是冪函數、三角函數、指

26、數函數、對數函數中任意兩個的乘積時，首先考慮用分部積分法。選擇(xunz)、時要注意(zh y)，要使相對(xingdu)于較為好求。下面對常見的、選擇進行呈現：、 、 、上述關系可以理解為，在選擇時的考慮順序為：對反三冪三指。例3.5.1：求。解：設，那么3.6有理函數的積分有理函數的積分與第二類換元積分法一樣，沒有固定的套路，多憑借經驗和靈活運用。一般來說，這種方法較前5種用到的比較少，所以拿到題目可先考慮用別的方法。雖然如此，但是還是有些特別類型的題目需要用到這種方法，當遇到類似下面的題目時，即用有理函數的積分方法。例3.6.1：求。解：被積函數的分母分解成，故可設其中、為待定系數。上式兩端去分母后，得即 比較上式兩端同次冪的系數，即有從而(cng r)解得 于是(ysh) 例3.6.2：求。解：被積函數分母(fnm)的兩個因式與有公因式，故需再分解成。設則 即 有 解得于是4 解決不定積分的一般步驟在拿到不定積分的題目時，我們要分析題目屬于上述六種解題類型的哪一類。排除掉不可能的類型，再在可能的類型中進行進一步篩選，直到留下兩種或兩種以下的解題方法后，再進行嘗試。若用某種方法解題時，無論怎么解都解不出答案，那么可先檢查自己有沒有運算的錯誤，或者是否選錯了