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文檔簡介

1、平面向量的數量積秦皇島市職業技術學校 李天樂一、引入：一個物體在力F 的作用下產生的位移s，那么力F 所做的功應當怎樣計算？SF力做的功：W = |F|s|cos，是F與s的夾角向量的數量積1兩個非零向量夾角的概念說明：（1）當0時，a與同向；（2）當時，a與反向；（3）當/2時，a與垂直， 記a；（4）注意在兩向量的夾角定義中，兩向量必 須是同起點的.范圍0180baOabO已知非零向量a與，作 a， ，則（0）叫a與的夾角.平面向量數量積（內積）的定義：已知兩個非零向量a與，它們的夾角是，則數量|a|b|cos叫a與的數量積，記作ab，即有 ab =|a|b|cos，（）.規定0與任何向量

2、的數量積為0。探究：兩個向量的數量積與向量同實數積有很大區別（1）兩個向量的數量積是一個實數，不是向量，符號由cos的符號所決定。（2）兩個向量的數量積稱為內積，寫成ab；符號“ ”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“”代替.（3）在實數中，若a0，且ab=0，則b=0；在數量積中，若a0，且ab=0，能不能推出b=0？為什么？（4）由ab = bc 能否推出a = c ？(5)在實數中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c a(bc) 顯然，這是因為左端是與c共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線。3“投影”的概念：定義：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影

3、。投影也是一個數量，不是向量；當為銳角時投影為正值；當為鈍角時投影為負值；當為直角時投影為0；當 = 0時投影為 |b|；當 = 180時投影為 |b|。4向量的數量積的幾何意義：數量積ab等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos的乘積。5兩個向量的數量積的性質：設a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量。1 ea = ae =|a|cos2 ab ab = 03 當a與b同向時，ab = |a|b|；當a與b反向時， ab = |a|b|。特例：aa = |a|2或4 cos =5 |ab| |a|b|例1 判斷正誤，并簡要說明理由.a00； 0a0；0 ； aa；若a0，則對任一非零有a0；a0，則a與中至少有一個為0；對任意向量a，都有（a）a(）；a與是兩個單位向量，則a.例2 已知a3，6，當a，a，a與的夾角是60時，分別求a.例3 判斷下列命題的真假：在ABC中，若 ，則ABC是銳角三角形；在ABC中，若 ,則ABC是鈍角三角形；ABC為直角三角形的充要條件是例3 判斷下列命題的真假：在ABC中，若 ，則ABC是銳角三角形；在ABC中，若 ,則ABC是鈍角三角形；ABC為直角三角形的充要條件是例4 試證明：若四邊形ABCD滿足

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