1、人教版 數(shù)學(xué) 八年級(jí)（下）第18章 平行四邊形18.2.3 正方形第1課時(shí) 正方形的性質(zhì)1.理解并掌握正方形的概念和性質(zhì)。2.能熟練運(yùn)用正方形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算和證明。學(xué)習(xí)目標(biāo)四個(gè)角都是直角對(duì)角線相等軸對(duì)稱(chēng)圖形，有兩條對(duì)稱(chēng)軸.矩形的特殊性質(zhì)有哪些？回顧舊知四條邊都相等兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.軸對(duì)稱(chēng)圖形，有兩條對(duì)稱(chēng)軸.菱形的特殊性質(zhì)有哪些？正方形是日常生活中常見(jiàn)的圖形，你有注意到嗎？導(dǎo)入新知 新知 正方形的定義及其性質(zhì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言： 平行四邊形ABCD中，AB=BC，A=90四邊形ABCD是正方形ABDC定義： 有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形.合作探究除了

2、矩形、菱形之外，正方形也是特殊的平行四邊形，那么它們之間有什么關(guān)系嗎？有一個(gè)直角一組鄰邊相等矩形？正方形菱形平行四邊形正方形的四個(gè)角都是直角，說(shuō)明正方形是特殊的矩形.正方形的四條邊都相等，說(shuō)明正方形是特殊的菱形.正方形是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎？它的對(duì)稱(chēng)軸是什么？請(qǐng)同學(xué)們用正方形紙片折一折，看一看你能發(fā)現(xiàn)什么？ABDC是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有四條對(duì)稱(chēng)軸，分別是對(duì)邊中點(diǎn)的連線以及兩條對(duì)角線所在的直線.例5 求證: 正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形.已知：如圖，四邊形ABCD是正方形，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O.ABDCO求證：ABO，BCO，CDO，DAO是全等的等腰直角三角形.證明：四邊

3、形ABCD是正方形，AC=BD，ACBD，AO=BO=CO=DO.ABO，BCO，CDO，DAO都是等腰直角三角形，并且ABOBCOCDODAO.ABDCO思考 正方形是不是具有矩形和菱形的一切性質(zhì)呢？平行四邊形矩形菱形正方形性質(zhì)：正方形=平行四邊形+矩形+菱形.正方形的性質(zhì)邊對(duì)角線對(duì)邊平行四個(gè)角都是直角角四邊相等相等互相垂直平分每條對(duì)角線平分一組對(duì)角ABDCO對(duì)稱(chēng)性軸對(duì)稱(chēng)圖形，有四條對(duì)稱(chēng)軸1.正方形具有而菱形不具有的性質(zhì)是（ ）.BA.對(duì)角線互相垂直平分B.對(duì)角線相等C.對(duì)角線平分一組對(duì)角D.四邊相等鞏固新知2.正方形具有而矩形不具有的性質(zhì)是（ ）.DA.對(duì)角互補(bǔ)B.對(duì)角線相等C.四個(gè)角相等

4、D.對(duì)角線互相垂直3.如圖，ABCD是一塊正方形場(chǎng)地.小華和小芳在AB邊上取定了一點(diǎn) E，測(cè)量知，EC=30m，EB=10m. 這塊場(chǎng)地的面積和對(duì)角線分別是多少？在RtEBC中解：ABCD是正方形 B=904.如圖，正方形ABCD的對(duì)角線長(zhǎng)為8，E是BC邊上一點(diǎn)，且EFOB，EGOC，求EF+EG的長(zhǎng)度.解析：利用已知條件來(lái)判斷四邊形EFOG是矩形，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)，將EF轉(zhuǎn)化為BF，EG轉(zhuǎn)化為OF.則EF+EG=BF+OF=OB.ABDCOEFG證明： 四邊形ABCD是正方形OBC=45，BOC=90EFOB，EGOC，BOC=90四邊形EFOG是矩形，EG=FOEFOB， OBC=45

5、 BF=EF EF+EG=BF+OF=OB 正方形ABCD的對(duì)角線長(zhǎng)為8 OB=4，則EF+EG=4 ABDCOEFG正方形定義性質(zhì)有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形.邊：對(duì)邊平行，四邊相等.角：四個(gè)角都是直角.對(duì)角線：兩條對(duì)角線互相垂直平分且相等，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角.對(duì)稱(chēng)性：軸對(duì)稱(chēng)圖形，有四條對(duì)稱(chēng)軸.歸納新知1矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)是( )A對(duì)角線相等 B對(duì)角線互相平分C對(duì)角線平分一組對(duì)角 D對(duì)角線互相垂直2正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是( )A對(duì)角線互相平分 B對(duì)角線相等C對(duì)角線互相垂直 D對(duì)角線平分一組對(duì)角BB課堂練習(xí)3(2020天津)如圖，四邊形OBCD

6、是正方形，O，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0，0)，(0，6)，點(diǎn)C在第一象限，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是( )A(6，3) B(3，6)C(0，6) D(6，6)D4(2020鎮(zhèn)江)如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)位于對(duì)角線AC下方的一點(diǎn)，12，則BPC的度數(shù)為_(kāi).1355如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)F為CD上一點(diǎn)，BF與AC交于點(diǎn)E，若CBF20，則AED等于_度656(2020呼倫貝爾)已知：如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且EOF90.求證：CEDF.證明：四邊形ABCD為正方形，ODOC，ODFOCE45，COD90，EOF90，即COECOF90，D

7、OFCOF90，COEDOF，COEDOF(ASA)，CEDF7兩條對(duì)角線相等且互相垂直平分的四邊形是( )A平行四邊形 B矩形C菱形 D正方形D8(2020臺(tái)州)下列是關(guān)于某個(gè)四邊形的三個(gè)結(jié)論：它的對(duì)角線相等；它是一個(gè)正方形；它是一個(gè)矩形下列推理過(guò)程正確的是( )A由推出，由推出B由推出，由推出C由推出，由推出D由推出，由推出A9如圖，在ABC中，ABAC，D為BC邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DEAB，DFAC，垂足分別為E，F(xiàn).(1)求證：BEDCFD；(2)若A90，求證：四邊形DFAE是正方形證明：(1)ABAC，BC，DEAB，DFAC，BEDCFD90，D為中點(diǎn)，BDCD，BEDCFD(2)

8、ADEADFA90，四邊形DFAE是矩形，由(1)知DEDF，四邊形DFAE是正方形B 11(天水中考)如圖，將正方形OEFG放在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2，3)，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為_(kāi)(1，5)12(2020包頭)如圖，在正方形ABCD中，E是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線交CD于點(diǎn)F，連接CE.若BAE56，則CEF_.2213如圖為某城市部分街道示意圖，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)G在對(duì)角線BD上，GECD，GFBC，AD1500 m，小敏行走的路線為BAGE，小聰行走的路線為BADEF.若小敏行走的路程為3100 m，則小聰行走的路程為_(kāi)m.460014(2020湘西州)

9、如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊三角形ADE，連接BE，CE.(1)求證：BAECDE；(2)求AEB的度數(shù)C菱形 D正方形1矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)是( )C(0，6) D(6，6)對(duì)稱(chēng)性：軸對(duì)稱(chēng)圖形，有四條對(duì)稱(chēng)軸.四邊形ABCD是正方形證明：四邊形ABCD為正方形，ODOC，ODFOCE45，COD90，EOF90，即COECOF90，DOFCOF90，COEDOF，COEDOF(ASA)，CEDF證明：(1)ABAC，BC，DEAB，DFAC，BEDCFD90，D為中點(diǎn)，BDCD，BEDCFD(3)當(dāng)A45時(shí)，四邊形BECD是正方形，理由：ACB90，A45，ABCA45，AC

10、BC.正方形具有而菱形不具有的性質(zhì)是（ ）.矩形的特殊性質(zhì)有哪些？正方形的四條邊都相等，說(shuō)明正方形是特殊的菱形.15如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，E，F(xiàn)分別是AB，BC邊上的點(diǎn)，且EDF45，將DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，得到DCM.13如圖為某城市部分街道示意圖，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)G在對(duì)角線BD上，GECD，GFBC，AD1500 m，小敏行走的路線為BAGE，小聰行走的路線為BADEF.性質(zhì)：正方形=平行四邊形+矩形+菱形.13如圖為某城市部分街道示意圖，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)G在對(duì)角線BD上，GECD，GFBC，AD1500 m，小敏行走的路線為BAGE，小聰行走的路線為B

11、ADEF.B由推出，由推出(2)當(dāng)D為AB中點(diǎn)時(shí)，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說(shuō)明你的理由；人教版 數(shù)學(xué) 八年級(jí)（下）OBC=45，BOC=90正方形具有而菱形不具有的性質(zhì)是（ ）.A平行四邊形 B矩形對(duì)角線：兩條對(duì)角線互相垂直平分且相等，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角.12(2020包頭)如圖，在正方形ABCD中，E是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線交CD于點(diǎn)F，連接CE.A對(duì)角線互相平分 B對(duì)角線相等15如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，E，F(xiàn)分別是AB，BC邊上的點(diǎn)，且EDF45，將DAE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，得到DCM.(1)求證：EFFM；(2)當(dāng)AE1時(shí)，求EF的長(zhǎng)16如圖，在RtABC中

12、，ACB90，過(guò)點(diǎn)C的直線MNAB，點(diǎn)D為AB邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DEBC，交直線MN于點(diǎn)E，垂足為F，連接CD，BE.(1)求證：CEAD；(2)當(dāng)D為AB中點(diǎn)時(shí)，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說(shuō)明你的理由；(3)若D為AB中點(diǎn)，則當(dāng)A的大小滿足什么條件時(shí)，四邊形BECD是正方形？請(qǐng)說(shuō)明你的理由能熟練運(yùn)用正方形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算和證明。對(duì)角線：兩條對(duì)角線互相垂直平分且相等，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角.C由推出，由推出如圖，正方形ABCD的對(duì)角線長(zhǎng)為8，E是BC邊上一點(diǎn)，且EFOB，EGOC，求EF+EG的長(zhǎng)度.2正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是( )對(duì)角線：兩條對(duì)角線互相垂直平分且相等，每條對(duì)角線

13、平分一組對(duì)角.四邊形ABCD是正方形對(duì)稱(chēng)性：軸對(duì)稱(chēng)圖形，有四條對(duì)稱(chēng)軸.又ACB90，ACBDFB，ACDE.若BAE56，則CEF_.證明：四邊形ABCD是正方形，(2)當(dāng)D為AB中點(diǎn)時(shí)，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說(shuō)明你的理由；四邊形ABCD是正方形若小敏行走的路程為3100 m，則小聰行走的路程為_(kāi)m.C對(duì)角線平分一組對(duì)角 D對(duì)角線互相垂直A對(duì)角線互相平分 B對(duì)角線相等A(6，3) B(3，6)性質(zhì)：正方形=平行四邊形+矩形+菱形.若小敏行走的路程為3100 m，則小聰行走的路程為_(kāi)m.解：(1)DEBC，DFB90.正方形具有而矩形不具有的性質(zhì)是（ ）.4(2020鎮(zhèn)江)如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)位于對(duì)角線AC下方的一點(diǎn)，12，則BPC的度數(shù)為_(kāi).求證：ABO，BCO，CDO，DAO是全等的等腰直角三角形.正方形具有而矩形不具有的性質(zhì)是（ ）.解：(1)DEBC，DFB90.又ACB90，