1、排列與組合經(jīng)典專題(附詳解)45 排列與組合經(jīng)典專題一、知識(shí)點(diǎn)歸納二、基本題型講解三、排列組合解題備忘錄分類討論的思想等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想容斥原理與計(jì)數(shù)模型構(gòu)造思想四、排列組合中的8大典型錯(cuò)誤1沒(méi)有理解兩個(gè)基本原理出錯(cuò)判斷不出是排列還是組合出錯(cuò)重復(fù)計(jì)算出錯(cuò)遺漏計(jì)算出錯(cuò)忽視題設(shè)條件出錯(cuò)未考慮特殊情況出錯(cuò)7題意的理解偏差出錯(cuò)8.解題策略的選擇不當(dāng)出錯(cuò)五、排列組合24種解題技巧1排序問(wèn)題相鄰問(wèn)題捆綁法相離問(wèn)題插空排定序問(wèn)題縮倍法（插空法）定位問(wèn)題優(yōu)先法多排問(wèn)題單排法圓排問(wèn)題單排法可重復(fù)的排列求冪法全錯(cuò)位排列問(wèn)題公式法2分組分配問(wèn)題平均分堆問(wèn)題去除重復(fù)法（平均分配問(wèn)題）相同物品分配的隔板法全員分配問(wèn)題分組法

2、有序分配問(wèn)題逐分法3排列組合中的解題技巧至多至少間接法染色問(wèn)題合并單元格法交叉問(wèn)題容斥原理法構(gòu)造遞推數(shù)列法六排列組合中的基本模型分組模型（分堆模型）錯(cuò)排模型染色問(wèn)題一知識(shí)點(diǎn)歸納1排列的概念：從n個(gè)不同元素中，任取m(mn)個(gè)元素(這里的被取元素各不相同)按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.2排列數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中，任取m(mn)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)元素中取出m元素的排列數(shù)，用符號(hào)Am表示.n3排列數(shù)公式：Am=n(n-l)(n-2)(n-m+1)(m,neN*,mn)n4介乘：n!表示正整數(shù)1到n的連乘積，叫做n的階乘+規(guī)定0!=15排列數(shù)的

3、另一個(gè)計(jì)算公式：Am=.n(n-m)!6組合的概念：一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合+7組合數(shù)的概念：從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù).用符號(hào)Cm表示n8組合數(shù)公式：Cm=A=n(n-1)(n2)(n-m+DnAmm!m或Cm=(n,meN*,且mn)“nm!(n-m)!9組合數(shù)的性質(zhì)1：Cm=Cnm規(guī)定：C0=1;TOC o 1-5 h znnn10組合數(shù)的性質(zhì)2：Cm=Cm+Cm-1.n+1nnC0+C2+C4+=C1+C3+C5+=2n-1;C0+C1+Cn=2n

4、nnnnnnnnn11.“16字方針”是解決排列組合問(wèn)題的基本規(guī)律，即：分類相加，分步相乘；有序排列，無(wú)序組合7。12.“24個(gè)技巧”是迅速解決排列組合的捷徑二基本題型講解例1分別求出符合下列要求的不同排法的種數(shù),6名學(xué)生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；(2)6名學(xué)生排成一排，甲不在排頭也不在排尾；(3)從6名運(yùn)動(dòng)員中選出4人參加4X100米接力賽，甲不跑第一棒，乙不跑第四棒；(4)6人排成一排，甲、乙必須相鄰；6人排成一排，甲、乙不相鄰；6人排成一排，限定甲要排在乙的左邊，乙要排在丙的左邊(甲、乙、丙可以不相鄰)解：(1)分排坐法與直排坐法一一對(duì)應(yīng)，故排法種數(shù)為A6=7206甲不能排頭

5、尾，讓受特殊限制的甲先選位置，有A1種選法，然后其他5人選，有A5種選法,故排法種數(shù)為AiA5二48045（3）有兩棒受限制，以第一棒的人選來(lái)分類：乙跑第一棒，其余棒次則不受限制，排法數(shù)為A3；5乙不跑第一棒，則跑第一棒的人有Ai種選法，第四棒除了乙和第一棒選定的人外，也有Ai種選44法，其余兩棒次不受限制，故有AiAiA2種排法，442由分類計(jì)數(shù)原理，共有A3+AiAiA2二252種排法5444（4）將甲乙“捆綁”成“一個(gè)元”與其他4人一起作全排列共有A2A5二240種排法25（5）甲乙不相鄰，第一步除甲乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙選擇已排好的4人的左、右及之間的空擋插位，共有A4A

6、2（或用6人的排列數(shù)減去問(wèn)題（2）后排列數(shù)為A6-240二480）456（6）三人的順序定，實(shí)質(zhì)是從6個(gè)位置中選出三個(gè)位置，然后排按規(guī)定的順序放置這三人，其余3人在3個(gè)位置上全排列，故有排法C3A3二120種63點(diǎn)評(píng)：排隊(duì)問(wèn)題是一類典型的排列問(wèn)題，常見(jiàn)的附加條件是定位與限位、相鄰與不相鄰例2假設(shè)在100件產(chǎn)品中有3件是次品，從中任意抽取5件，求下列抽取方法各多少種？（1）沒(méi)有次品；（2）恰有兩件是次品；（3）至少有兩件是次品解：（I）沒(méi)有次品的抽法就是從97件正品中抽取5件的抽法，共有C5二64446024種97（2）恰有2件是次品的抽法就是從97件正品中抽取3件，并從3件次品中抽2件的抽法，

7、共有C3C2二442320種973（3）至少有2件次品的抽法，按次品件數(shù)來(lái)分有二類：第一類，從97件正品中抽取3件，并從3件次品中抽取2件，有C3C2種973第二類從97件正品中抽取2件，并將3件次品全部抽取，有C2C3種973按分類計(jì)數(shù)原理有C3C2+C2C3二446976種TOC o 1-5 h z973973點(diǎn)評(píng)：此題是只選“元”而不排“序”的典型的組合問(wèn)題，附加的條件是從不同種類的元素中抽取應(yīng)當(dāng)注意：如果第（3）題采用先從3件次品抽取2件（以保證至少有2件是次品），再?gòu)挠嘞碌?8件產(chǎn)品中任意抽取3件的抽法，那么所得結(jié)果是C2C3二466288種，其結(jié)論是錯(cuò)誤的，錯(cuò)在“重復(fù)”：假398設(shè)

8、3件次品是A、B、C，第一步先抽A、B第二步再抽C和其余2件正品，與第一步先抽A、C（或B、C）,第二步再抽B（或A）和其余2件正品是同一種抽法，但在算式C2C3中算作3種不同抽法398例3求證：Am+mAm-I=Am:Cm+I+Cm-i+2Cm=Cm+in-in-innnnn+2證明：利用排列數(shù)公式排列與組合經(jīng)典專題（附詳解）排列與組合經(jīng)典專題（附詳解）排列與組合經(jīng)典專題(附詳解) 左_(n1)(nm1)!(nm)!(nm)(n1)!+m(n1)!n!.=()=Am=右(nm)!(nm)!n另一種證法：(利用排列的定義理解)從n個(gè)元素中取m個(gè)元素排列可以分成兩類：第一類不含某特殊元素a的排列

9、有Amn1第二類含元素a的排列則先從(n1)個(gè)元素中取出(m1)個(gè)元素排列有Am1種，然后將a插入，共n1有m個(gè)空檔，故有mAm1種，n1TOC o 1-5 h z因此Am+Amn1n1n利用組合數(shù)公式左n!+n!+2n!(m+1)!(nm1)(m1)(nm+1)!m(n-m)!=nKn-m)C-m+1)+m(m+1)+2(m+1)C-m+1)(m+1)!(nm+1)!十昇y(n+2)C+1)十十Cm+1(m+1)!(nm+1)!(m+1)!(nm+1)!n+2m+Cm1)=Cm+1+Cn=Cm+1另法：利用公式Cm=Cm+Cm-1推得nn1n1m+1+Cm)+nnnnn+1n+1n+2點(diǎn)評(píng)：

10、證明排列、組合恒等式通常利用排列數(shù)、組合數(shù)公式及組合數(shù)基本性質(zhì)例4已知f是集合A=L,b,c,d到集合B=),1,2的映射不同的映射f有多少個(gè)？若要求f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=4則不同的映射f有多少個(gè)?分析：(1)確定一個(gè)映射f，需要確定a,b,c,d的像(2)a,b,c,d的象元之和為4，則加數(shù)可能出現(xiàn)多種情況，即4有多種分析方案，各方案獨(dú)立且并列需要分類計(jì)算解：(1)A中每個(gè)元都可選0,1,2三者之一為像，由分步計(jì)數(shù)原理，共有3333=34個(gè)不同映射(2)根據(jù)a,b,c,d對(duì)應(yīng)的像為2的個(gè)數(shù)來(lái)分類，可分為三類：第一類：沒(méi)有元素的像為2,其和又為4,必然其像均為1,這樣的映射只

11、有一個(gè)；第二類：一個(gè)元素的像是2,其余三個(gè)元素的像必為0,1,1，這樣的映射有CiP1二12個(gè);43第三類：二個(gè)元素的像是2,另兩個(gè)元素的像必為0,這樣的映射有C2二6個(gè)4由分類計(jì)數(shù)原理共有1+12+6=19（個(gè)）點(diǎn)評(píng)：?jiǎn)栴}（1）可套用投信模型：n封不同的信投入m個(gè)不同的信箱，有mn種方法；問(wèn)題（2）的關(guān)鍵結(jié)合映射概念恰當(dāng)確定分類標(biāo)準(zhǔn)，做到不重、不漏例5四面體的頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)（1）設(shè)一個(gè)頂點(diǎn)為A,從其他9點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn)，使它們和點(diǎn)A在同一平面上，不同的取法有多少種？（2）在這10點(diǎn)中取4個(gè)不共面的點(diǎn),不同的取法有多少種？解：（1）如圖，含頂點(diǎn)A的四面體的三個(gè)面上，除點(diǎn)A外都有5個(gè)點(diǎn)，

12、從中取出3點(diǎn)必與點(diǎn)A共BMC面，共有3C3種取法5含頂點(diǎn)A的棱有三條，每條棱上有3個(gè)點(diǎn),它們與所對(duì)棱的中點(diǎn)共面,共有3種取法根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理和點(diǎn)A共面三點(diǎn)取法共有3C3+3二33種5（2）取出的4點(diǎn)不共面比取出的4點(diǎn)共面的情形要復(fù)雜，故采用間接法：先不加限制任取4點(diǎn)（C4種取法）減去4點(diǎn)共面的取法10取出的4點(diǎn)共面有三類：第一類：從四面體的同一個(gè)面上的6點(diǎn)取出4點(diǎn)共面，有4C4種取法6第二類：每條棱上的3個(gè)點(diǎn)與所對(duì)棱的中點(diǎn)共面，有6種取法第三類：從6條棱的中點(diǎn)取4個(gè)點(diǎn)共面，有3種取法根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理4點(diǎn)共面取法共有4C4+6+3二696故取4個(gè)點(diǎn)不共面的不同取法有C4-（4C4+6+3）=14

13、1（種）106點(diǎn)評(píng)：由點(diǎn)構(gòu)成直線、平面、幾何體等圖形是一類典型的組合問(wèn)題，附加的條件是點(diǎn)共線與不共線點(diǎn)共面與不共面，線共面與不共面等三、排列組合解題備忘錄：（l）m個(gè)不同的元素必須相鄰，有Pm種“捆綁”方法.mm個(gè)不同元素互不相鄰，分別“插入”到n個(gè)“間隙”中的m個(gè)位置有Pm種不同的“插入”n方法*m個(gè)相同的元素互不相鄰，分別“插入”到n個(gè)“間隙”中的m個(gè)位置，有Cm種不同的“插n入”方法+若干個(gè)不同的元素“等分”為m個(gè)組，要將選取出每一個(gè)組的組合數(shù)的乘積除以Pm（去除重m復(fù)數(shù)）四排列組合問(wèn)題中的數(shù)學(xué)思想方法（一）分類討論的思想：許多“數(shù)數(shù)”問(wèn)題往往情境復(fù)雜，層次多，視角廣，這就需要我們?cè)诜治?/p>

14、問(wèn)題時(shí)，選擇恰當(dāng)?shù)那腥朦c(diǎn)，從不同的側(cè)面，把原問(wèn)題變成幾個(gè)小問(wèn)題，分而治之，各種擊破。例.已知集合A和集合B各含有12個(gè)元素，AB含有4個(gè)元素，求同時(shí)滿足下列條件的集合C的個(gè)數(shù)：A1）CuAB且C中含有3個(gè)元素，2）CA豐解：如圖,U因?yàn)锳,B各含有12個(gè)元素，AB含有4個(gè)元素，所以AB中的元素有12+12-4=20個(gè)，其中屬于A的有12個(gè)，屬于A而不屬于B的有8個(gè)，要使CAHQ，則C中的元素至少含在A中，集合C的個(gè)數(shù)是：1）只含A中1個(gè)元素的有C1C2；2）含A中2個(gè)元素的有C2C1；3）含A中3個(gè)元素的有C3C0，故所求的128128128集合C的個(gè)數(shù)共有CiC2+C2Ci+C3C0=108

15、4個(gè)128128128（二）等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想：很多“數(shù)數(shù)”問(wèn)題的解決,如果能跳出題沒(méi)有限定的“圈子”,根據(jù)題目的特征構(gòu)思設(shè)計(jì)出一個(gè)等價(jià)轉(zhuǎn)化的途徑,可使問(wèn)題的解決呈現(xiàn)出“要柳暗花明”的格局。1.具體與抽象的轉(zhuǎn)化例.某人射擊7槍,擊中5槍,問(wèn)擊中和末擊中的不同順序情況有多少種？分析：沒(méi)擊中用“1”表示，擊中的用“0”表示，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化不下列問(wèn)題：數(shù)列a,a,a,a,a,a,a1234567有兩項(xiàng)為0,5項(xiàng)是1,不同的數(shù)列個(gè)數(shù)有多少個(gè)？解：1）兩個(gè)0不相鄰的情況有C2種，2）兩個(gè)0相鄰的情況有Ci種，所以擊中和末擊中的不同順66序情況有C2+Ci=21種。662）不同的數(shù)學(xué)概念之間的轉(zhuǎn)化例.連結(jié)正方體

16、8個(gè)頂點(diǎn)的直線中,為異面直線有多少對(duì)？分析：正面求解或反面求解（利用補(bǔ)集,雖可行,但容易遺漏或重復(fù),注意這樣一個(gè)事實(shí),每一個(gè)三棱錐對(duì)應(yīng)著三對(duì)異面直線,因而轉(zhuǎn)化為計(jì)算以正方體頂點(diǎn),可以構(gòu)成多少個(gè)三棱錐）解：從正文體珠8個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)，有C4種，其中4點(diǎn)共面的有12種，（6個(gè)表面和6個(gè)對(duì)角面）8將不共面的4點(diǎn)可構(gòu)一個(gè)三棱錐，共有C4-12個(gè)三棱錐，因而共有3（C4-12）=174對(duì)異面直線。88綜上所述,有以上幾種解排列組合的方法,此外,當(dāng)然也還有其他的方法要靠我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)和積累,我們要掌握好這些方法,并且能夠靈活運(yùn)用,這樣,在日常生活中,我們們能輕易解決很多問(wèn)題。教師點(diǎn)評(píng)：對(duì)排列組合問(wèn)題的處理方

17、法總結(jié)得很細(xì)、很全面,而且挖掘出其中所蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)思想方法,對(duì)學(xué)習(xí)排列組合有一定的指導(dǎo)性。（三）容斥原理與計(jì)數(shù)1、文氏圖：在文氏圖中，以下圖形的含義如下：矩形：其內(nèi)部的點(diǎn)表示全集的所有元素；排列與組合經(jīng)典專題（附詳解）排列與組合經(jīng)典專題（附詳解）排列與組合經(jīng)典專題（附詳解） 2 11 矩形內(nèi)的圓（或其它閉曲線）：表示不同的集合；圓（或閉曲線）內(nèi)部的點(diǎn)：表示相應(yīng)集合的元素。2、三交集公式：a+b+c=aubuc+anB+Bnc+Anc-AnBnc（AUBUC指的是e,AnBnc指的是D）（四）模型構(gòu)造例1.4名同學(xué)各寫一張賀卡，先集中起來(lái)，然后每人從中拿出一張別人寫的賀卡，則四張賀卡的不同分配方式

18、共有種.例2.將編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)小球分別放入編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)盒子中，要求每個(gè)盒子放一個(gè)小球，且小球的編號(hào)與盒子的編號(hào)不能相同，則共有種不同的放法.這兩個(gè)問(wèn)題的本質(zhì)都是每個(gè)元素都不在自己編號(hào)的位置上的排列問(wèn)題，我們把這種限制條件的排列問(wèn)題叫做全錯(cuò)位排列問(wèn)題.例3.五位同學(xué)坐在一排，現(xiàn)讓五位同學(xué)重新坐，至多有兩位同學(xué)坐自己原來(lái)的位置，則不同的坐法有種.解析：可以分類解決：第一類，所有同學(xué)都不坐自己原來(lái)的位置；第二類，恰有一位同學(xué)坐自己原來(lái)的位置；第三類，恰有兩位同學(xué)坐自己原來(lái)的位置.對(duì)于第一類，就是上面講的全錯(cuò)位排列問(wèn)題；對(duì)于第二、第三類有部分元素還占有原來(lái)的位置，其余元素可以

19、歸結(jié)為全錯(cuò)位排列問(wèn)題，我們稱這種排列問(wèn)題為部分錯(cuò)位排列問(wèn)題.設(shè)n個(gè)元素全錯(cuò)位排列的排列數(shù)為Tn，則對(duì)于例3,第一類排列數(shù)為T5，第二類先確定一個(gè)排原來(lái)位置的同學(xué)有5種可能，其余四個(gè)同學(xué)全錯(cuò)位排列，所以第二類的排列數(shù)為5T4,第三類先確定兩個(gè)排原位的同學(xué)，有C2=10種，所以第三類的排列數(shù)為10T3，因此例3的答案為：T5+5T4+10T3.例4、把8個(gè)相同的球放入4個(gè)不同的盒子，有多少種不同方法？解：取3塊相同隔板，連同8個(gè)相同的小球排成一排，共11個(gè)位置。由隔板法知，在11個(gè)位置中任取3個(gè)位置排上隔板，共有C3種排法。=165（種）11X10X9C3=113X2X1所以，把8個(gè)相同的球放入4

20、個(gè)不同的盒子，有165種不同方法。點(diǎn)評(píng)：相同的球放入不同的盒子，每個(gè)盒子放球數(shù)不限，適合隔板法。隔板的塊數(shù)要比盒子數(shù)少1。五排列組合中的易錯(cuò)題1沒(méi)有理解兩個(gè)基本原理出錯(cuò)排列組合問(wèn)題基于兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分類用加、分步用乘”是解決排列組合問(wèn)題的前提.例1（1995年上海高考題）從6臺(tái)原裝計(jì)算機(jī)和5臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)中任意選取5臺(tái),其中至少有原裝與組裝計(jì)算機(jī)各兩臺(tái)，則不同的取法有_種.誤解：因?yàn)榭梢匀?臺(tái)原裝與3臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)或是3臺(tái)原裝與2臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)，所以只有2種取法.錯(cuò)因分析：誤解的原因在于沒(méi)有意識(shí)到“選取2臺(tái)原裝與3臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)或是3臺(tái)原裝與2臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)”是完成任務(wù)

21、的兩“類”辦法，每類辦法中都還有不同的取法.正解：由分析，完成第一類辦法還可以分成兩步：第一步在原裝計(jì)算機(jī)中任意選取2臺(tái)，有C2種方6法；第二步是在組裝計(jì)算機(jī)任意選取3臺(tái)，有C3種方法，據(jù)乘法原理共有C2C3種方法同理，完成第565二類辦法中有C3C2種方法據(jù)加法原理完成全部的選取過(guò)程共有種方法.656565例2在一次運(yùn)動(dòng)會(huì)上有四項(xiàng)比賽的冠軍在甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，那么不同的奪冠情況共有（）種.（A）A3（B）43（C）34（D）C344誤解：把四個(gè)冠軍，排在甲、乙、丙三個(gè)位置上，選A.錯(cuò)因分析：誤解是沒(méi)有理解乘法原理的概念，盲目地套用公式.正解：四項(xiàng)比賽的冠軍依次在甲、乙、丙三人中選取，每項(xiàng)

22、冠軍都有3種選取方法，由乘法原理共有3x3x3x3=34種.說(shuō)明：本題還有同學(xué)這樣誤解，甲乙丙奪冠均有四種情況，由乘法原理得43.這是由于沒(méi)有考慮到某項(xiàng)冠軍一旦被一人奪得后，其他人就不再有4種奪冠可能.在判斷一個(gè)問(wèn)題是排列還是組合問(wèn)題時(shí)，主要看元素的組成有沒(méi)有順序性，有順序的是排列，無(wú)順序的是組合.例3有大小形狀相同的3個(gè)紅色小球和5個(gè)白色小球，排成一排，共有多少種不同的排列方法？誤解：因?yàn)槭?個(gè)小球的全排列，所以共有A8種方法.8錯(cuò)因分析：誤解中沒(méi)有考慮3個(gè)紅色小球是完全相同的，5個(gè)白色小球也是完全相同的，同色球之間互換位置是同一種排法.正解：8個(gè)小球排好后對(duì)應(yīng)著8個(gè)位置，題中的排法相當(dāng)于在

23、8個(gè)位置中選出3個(gè)位置給紅球，剩下的位置給白球，由于這3個(gè)紅球完全相同，所以沒(méi)有順序，是組合問(wèn)題這樣共有：C3=56排法.83重復(fù)計(jì)算出錯(cuò)在排列組合中常會(huì)遇到元素分配問(wèn)題、平均分組問(wèn)題等，這些問(wèn)題要注意避免重復(fù)計(jì)數(shù)，產(chǎn)生錯(cuò)誤。例4（2002年北京文科高考題）5本不同的書全部分給4個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為（）（A）480種（B）240種（C）120種（D）96種誤解：先從5本書中取4本分給4個(gè)人，有a4種方法，剩下的1本書可以給任意一個(gè)人有4種分法,5共有4xA4=480種不同的分法，選A.5錯(cuò)因分析：設(shè)5本書為a、b、c、d、e，四個(gè)人為甲、乙、丙、丁按照上述分法可能如下的表

24、1和表2：甲乙丙丁abcde甲乙丙丁ebcda表1表2表1是甲首先分得a、乙分得b、丙分得c、丁分得d，最后一本書e給甲的情況；表2是甲首先分得e、乙分得b、丙分得c、丁分得d，最后一本書a給甲的情況這兩種情況是完全相同的，而在誤解中計(jì)算成了不同的情況。正好重復(fù)了一次.正解：首先把5本書轉(zhuǎn)化成4本書，然后分給4個(gè)人.第一步：從5本書中任意取出2本捆綁成一本書，有C2種方法；第二步：再把4本書分給4個(gè)學(xué)生，有a4種方法由乘法原理，共有c2.a4=240種方5454法，故選B.例5某交通崗共有3人，從周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（）種（A）5040（B）1

25、260（C）210（D）630誤解：第一個(gè)人先挑選2天，第二個(gè)人再挑選2天，剩下的3天給第三個(gè)人，這三個(gè)人再進(jìn)行全排列共有：C2墾A3=1260，選B.錯(cuò)因分析：這里是均勻分組問(wèn)題.比如：第一人挑選的是周一、周二，第二人挑選的是周三、周四；也可能是第一個(gè)人挑選的是周三、周四，第二人挑選的是周一、周二，所以在全排列的過(guò)程中就重復(fù)計(jì)算了.正解：5碼=630種.4遺漏計(jì)算出錯(cuò)在排列組合問(wèn)題中還可能由于考慮問(wèn)題不夠全面，因?yàn)檫z漏某些情況，而出錯(cuò)。例6用數(shù)字0，1，2，3，4組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的比1000大的奇數(shù)共有（）（A）36個(gè)（B）48個(gè)（C）66個(gè)（D）72個(gè)71，3誤解：如右圖，最后一位只能是1

26、或3有兩種取法又因?yàn)榈?位不能是0在最后一位取定后只有3種取法，剩下3個(gè)數(shù)排中間兩個(gè)位置有a2種排法，共有33錯(cuò)因分析：誤解只考慮了四位數(shù)的情況，而比1000大的奇數(shù)還可能是五位數(shù).正解：任一個(gè)五位的奇數(shù)都符合要求，共有2X3XA3=36個(gè)，再由前面分析四位數(shù)個(gè)數(shù)和五位數(shù)個(gè)數(shù)3之和共有72個(gè)，選D.5忽視題設(shè)條件出錯(cuò)在解決排列組合問(wèn)題時(shí)一定要注意題目中的每一句話甚至每一個(gè)字和符號(hào)，不然就可能多解或者漏解.例7（2003全國(guó)高考題）如圖，一地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種.（以數(shù)字作答）誤解：先著色第一區(qū)域，有4種方法，

27、剩下3種顏色涂四個(gè)區(qū)域，即有一種顏色涂相對(duì)的兩塊區(qū)域,有C3-2-役=12種，由乘法原理共有：4X12=48種.錯(cuò)因分析：據(jù)報(bào)導(dǎo)，在高考中有很多考生填了48種.這主要是沒(méi)有看清題設(shè)“有4種顏色可供選擇”，不一定需要4種顏色全部使用，用3種也可以完成任務(wù).正解：當(dāng)使用四種顏色時(shí)，由前面的誤解知有48種著色方法；當(dāng)僅使用三種顏色時(shí)：從4種顏色中選取3種有c3種方法，先著色第一區(qū)域，有3種方法，剩下2種顏色涂四個(gè)區(qū)域，只能是一種顏色涂4第2、4區(qū)域，另一種顏色涂第3、5區(qū)域，有2種著色方法，由乘法原理有C3X3X2=24種綜上共有：448+24=72種.例8已知ax2-b=0是關(guān)于x的一元二次方程，

28、其中a、be1,2,3,4，求解集不同的一元二次方程的排列與組合經(jīng)典專題（附詳解）排列與組合經(jīng)典專題（附詳解） 個(gè)數(shù).誤解：從集合123,4中任意取兩個(gè)元素作為a、b，方程有A2個(gè)，當(dāng)a、b取同一個(gè)數(shù)時(shí)方程有1個(gè)，共有A2+1=13個(gè).錯(cuò)因分析：誤解中沒(méi)有注意到題設(shè)中“求解集不同的”所以在上述解法中要去掉同解情況，由于a=1和s=2同解、Ja=2和S=4同解，故要減去2個(gè)。b=2b=4b=1b=2正解：由分析，共有13-2=11個(gè)解集不同的一元二次方程.6未考慮特殊情況出錯(cuò)在排列組合中要特別注意一些特殊情況，一有疏漏就會(huì)出錯(cuò).例9現(xiàn)有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、20元、50元人

29、民幣各一張，100元人民幣2張，從中至少取一張，共可組成不同的幣值種數(shù)是（）（A）1024種（B）1023種（C）1536種（D）1535種誤解：因?yàn)楣灿腥嗣駧?1張，每張人民幣都有取和不取2種情況，減去全不取的1種情況，共有2101=1023種.錯(cuò)因分析：這里100元面值比較特殊有兩張，在誤解中被計(jì)算成4種情況，實(shí)際上只有不取、取一張和取二張3種情況.正解：除100元人民幣以外每張均有取和不取2種情況，100元人民幣的取法有3種情況，再減去全不取的1種情況，所以共有29x3-1=1535種.7題意的理解偏差出錯(cuò)例10現(xiàn)有8個(gè)人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相鄰的排法有（）種.（A）A

30、3.A5（B）A8A6.A3（C）A3.A36586353（D）A8A486誤解：除了甲、乙、丙三人以外的5人先排，有AS種排法，5人非好后產(chǎn)生6個(gè)空檔，插入甲、乙、丙三人有A3種方法，這樣共有A3A5種排法，選A.665錯(cuò)因分析：誤解中沒(méi)有理解“甲、乙、丙三人不能相鄰”的含義，得到的結(jié)果是“甲、乙、丙三人互不相鄰”的情況.“甲、乙、丙三人不能相鄰”是指甲、乙、丙三人不能同時(shí)相鄰，但允許其中有兩人相鄰.正解：在8個(gè)人全排列的方法數(shù)中減去甲、乙、丙全相鄰的方法數(shù)，就得到甲、乙、丙三人不相鄰的方法數(shù)，即A8A6.A3，故選B.8638解題策略的選擇不當(dāng)出錯(cuò)有些排列組合問(wèn)題用直接法或分類討論比較困難

31、，要采取適當(dāng)?shù)慕鉀Q策略，如間接法、插入法、捆綁法、概率法等，有助于問(wèn)題的解決.例10高三年級(jí)的三個(gè)班到甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，其中工廠甲必須有班級(jí)去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有（）.（A）16種（B）18種（C）37種（D）48種誤解：甲工廠先派一個(gè)班去，有3種選派方法，剩下的2個(gè)班均有4種選擇，這樣共有3X4X4=48種錯(cuò)因分析：顯然這里有重復(fù)計(jì)算如：a班先派去了甲工廠，b班選擇時(shí)也去了甲工廠，這與b班先派去了甲工廠，a班選擇時(shí)也去了甲工廠是同一種情況，而在上述解法中當(dāng)作了不一樣的情況，并且這種重復(fù)很難排除.正解：用間接法.先計(jì)算3個(gè)班自由選擇去何工廠的總數(shù)，再扣

32、除甲工廠無(wú)人去的情況，即：4x4x4-3x3x3=37種方案.排列組合問(wèn)題雖然種類繁多，但只要能把握住最常見(jiàn)的原理和方法，即：“分步用乘、分類用加、有序排列、無(wú)序組合”，留心容易出錯(cuò)的地方就能夠以不變應(yīng)萬(wàn)變，把排列組合學(xué)好.六學(xué)生練習(xí)1五個(gè)工程隊(duì)承建某項(xiàng)工程的五個(gè)不同的子項(xiàng)目，每個(gè)工程隊(duì)承建1項(xiàng)，其中甲工程隊(duì)不能承建1號(hào)子項(xiàng)目，則不同的承建方案共有（B）AC1C4種BCiA4種CC4種DA4種TOC o 1-5 h z444442在由數(shù)字0，1，2,3,4,5所組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，不能被5整除的數(shù)共有192有12個(gè)座位，現(xiàn)安排2人就座并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是_110

33、_4某校高三年級(jí)舉行一次演講賽共有10位同學(xué)參賽，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位,若采用抽簽的方式確定他們的演講順序，則一班有3位同學(xué)恰好被排在一起（指演講序號(hào)相連，不管人的順序），而二班的2位同學(xué)沒(méi)有被排在一起的概率為：（B）A.-10B.丄20C.丄40D.11205用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求1和2相鄰，3與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰，這樣的八位數(shù)共有576個(gè)6把一同排6張座位編號(hào)為1,2,3,4,5,6的電影票全部分給4個(gè)人，每人至少分1張，至多分2張，且這兩張票具有連續(xù)的編號(hào)，那么不同的分法種數(shù)（D）A.168B.96C.72D.1

34、447將標(biāo)號(hào)為1,2,，10的10個(gè)球放入標(biāo)號(hào)為1,2,，10的10個(gè)盒子里，每個(gè)盒內(nèi)放一個(gè)球,恰好3個(gè)球的標(biāo)號(hào)與其在盒子的標(biāo)號(hào)不一致的放入方法種數(shù)為（B）A.120B.240C.360D.7208從5位男教師和4位女教師中選出3位教師，派到3個(gè)班擔(dān)任班主任（每班1位班主任），要求這3位班主任中男、女教師都要有，則不同的選派方案共（B）種A.210種B.420種C.630種D.840從集合P,Q,R,S與0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中各任選2個(gè)元素排成一排（字母和數(shù)字均不能重復(fù)）每排中字母Q和數(shù)字0至多只能出現(xiàn)一個(gè)的不同排法種數(shù)是_5832（用數(shù)字作答）.10從6人中選出4人分別到巴

35、黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個(gè)城市游覽，要求每個(gè)城市有一人游覽，每人只游覽一個(gè)城市,且這6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽,則不同的選擇方案共有（B）A.300種B.240種C.144種D.96種題示：C4A4+2C3-3-A3+C2-2-A3TOC o 1-5 h z44434311四棱錐的8條棱代表8種不同的化工產(chǎn)品，有公共點(diǎn)的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉(cāng)庫(kù)是危險(xiǎn)的，沒(méi)有公共頂點(diǎn)的兩條棱多代表的化工產(chǎn)品放在同一倉(cāng)庫(kù)是安全的，現(xiàn)打算用編號(hào)為、的4個(gè)倉(cāng)庫(kù)存放這8種化工產(chǎn)品,那么安全存放的不同方法種數(shù)為（B）A96B48C24D0124棵柳樹和4棵楊樹栽成一行，柳樹、楊樹逐一相間的栽法有種.解析：2A4

36、A4=1152種44答案：115213某餐廳供應(yīng)客飯，每位顧客可以在餐廳提供的菜肴中任選2菜2素共4種不同的品種現(xiàn)在餐廳準(zhǔn)備了5種不同的葷菜,若要保證每位顧客有200種以上的不同選擇,則餐廳至少還需要不同的素菜品種種，（結(jié)果用數(shù)值表示）解析：設(shè)素菜n種，則C2C2200=n（n1）240，所以n的最小值為75n答案：714設(shè)有編號(hào)為1,2,3,4,5的五個(gè)球和編號(hào)為1,2,3,4,5的五個(gè)盒子現(xiàn)將這五個(gè)球投放入這五個(gè)盒子內(nèi),要求每個(gè)盒子內(nèi)投放一球,并且恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同,則這樣的投放方法有多少種?分析：五個(gè)球分別投放到五個(gè)盒子內(nèi),恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同,則其他三個(gè)球

37、必不能投放到與球的編號(hào)相同的盒子內(nèi),此時(shí),這三個(gè)球與對(duì)應(yīng)的三個(gè)盒子,就成了受限的特殊元素與特殊位置解：先在五個(gè)球中任選兩個(gè)球投放到與球編號(hào)相同的盒子內(nèi)，有C2種；剩下的三個(gè)球，不失一般5性，不妨設(shè)編號(hào)為3,4,5,投放3號(hào)球的方法數(shù)為C1，則投放4,5號(hào)球的方法只有一種，根據(jù)分步2計(jì)數(shù)原理共有C2C1=20種2點(diǎn)評(píng)：本題投放球有兩種方法,一種是投入到與編號(hào)相同的盒子內(nèi),另一種是投入到與編號(hào)不同的盒子內(nèi)，故應(yīng)分步完成15球臺(tái)上有4個(gè)黃球，6個(gè)紅球，擊黃球入袋記2分，擊紅球入袋記1分，如果4個(gè)黃球之間沒(méi)有差別，6個(gè)黃球之間也沒(méi)有差別。那么欲將此十球中的4球擊入袋中，且總分不低于5分，擊球方法有幾種

38、？解：設(shè)擊入黃球x個(gè)，紅球y個(gè)符合要求，則有x+y=4,2x+y5（x、yN）,得1WxW4x=1,x=2,x=3,2)個(gè)扇形，同色，有多少種染色方法？解：設(shè)分成n個(gè)扇形時(shí)染色方法為a種n當(dāng)n=2時(shí)A、A有A2=12種，即a=121242當(dāng)分成n個(gè)扇形，如圖，A與A不同色，A與A1223色，An1與A不同色，共有4x3n-1種染色方法，但由于A與Ann鄰，所以應(yīng)排除A與A同色的情形；A與A同色時(shí)，可把A、n1n1n個(gè)扇形，此時(shí)有a種染色法，故有如下遞推關(guān)系：n1a=4x3n1ann1AAAA=a+4x3n1=(an1n2=a4x3n2+4x3n1=an21A看成一個(gè)扇形，與前n-2個(gè)扇形加在一

39、起為n-11+4x3n3一4x3n2+4x3“1n一3=(1)nx3+3n+4x3n-2)+4x3n-1=4x3n-13n-2+(1)nx3排列與組合經(jīng)典專題(附詳解)排列與組合經(jīng)典專題(附詳解)排列與組合經(jīng)典專題（附詳解）2 2 二.點(diǎn)的涂色問(wèn)題方法有：（1）可根據(jù)共用了多少種顏色分類討論，（2）根據(jù)相對(duì)頂點(diǎn)是否同色分類討論，（3）將空間問(wèn)題平面化，轉(zhuǎn)化成區(qū)域涂色問(wèn)題。例6、將一個(gè)四棱錐S-ABCD的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點(diǎn)異色，如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法的總數(shù)是多少？解法一：滿足題設(shè)條件的染色至少要用三種顏色。（1）若恰用三種顏色，可先從五種顏色中任選一

40、種染頂點(diǎn)S,再?gòu)挠嘞碌乃姆N顏色中任選兩種涂A、B、C、D四點(diǎn)，此時(shí)只能A與C、B與D分別同色，故有C1A2二60種方法。54（2）若恰用四種顏色染色，可以先從五種顏色中任選一種顏色染頂點(diǎn)S,再?gòu)挠嘞碌乃姆N顏色中任選兩種染A與B,由于A、B顏色可以交換，故有A2種染法；再?gòu)挠嘞碌膬煞N顏色中任選一種染D或C,而D與C,而D與C4中另一個(gè)只需染與其相對(duì)頂點(diǎn)同色即可，故有CiA2C1C1二240種方法。422（3）若恰用五種顏色染色，有A5=120種染色法5綜上所知，滿足題意的染色方法數(shù)為60+240+120=420種。解法二：設(shè)想染色按SABCD的順序進(jìn)行，對(duì)S、A、B染色，有5x4x3二60種染色

41、方法。由于C點(diǎn)的顏色可能與A同色或不同色，這影響到D點(diǎn)顏色的選取方法數(shù)，故分類討論：C與A同色時(shí)（此時(shí)C對(duì)顏色的選取方法唯一），D應(yīng)與A（C）、S不同色，有3種選擇；C與A不同色時(shí)，C有2種選擇的顏色，D也有2種顏色可供選擇，從而對(duì)C、D染色有l(wèi)x3+2x2二7種染色方法。由乘法原理，總的染色方法是60 x7=420解法三：可把這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成相鄰區(qū)域不同色問(wèn)題：如圖，對(duì)這五個(gè)區(qū)域用5種顏色涂色，有多少種不同的涂色方法？二.線段涂色問(wèn)題對(duì)線段涂色問(wèn)題，要注意對(duì)各條線段依次涂色，主要方法有：a）根據(jù)共用了多少顏色分類討論b）根據(jù)相對(duì)線段是否同色分類討論。例7、用紅、黃、藍(lán)、白四種顏色涂矩形ABCD

42、的四條邊，每條邊只涂一種顏色，且使相鄰兩邊涂不同的顏色，如果顏色可以反復(fù)使用，共有多少種不同的涂色方法？解法一：（1）使用四顏色共有A4種；4（2）使用三種顏色涂色，則必須將一組對(duì)邊染成同色，故有C1C1A2種，423（3）使用二種顏色時(shí)，則兩組對(duì)邊必須分別同色，有A2種4因此，所求的染色方法數(shù)為A4+C1C1A2+A2二84種44234解法二：涂色按AB-BC-CD-DA的順序進(jìn)行，對(duì)AB、BC涂色有4x3二12種涂色方法。由于CD的顏色可能與AB同色或不同色，這影響到DA顏色的選取方法數(shù)，故分類討論：當(dāng)CD與AB同色時(shí)，這時(shí)CD對(duì)顏色的選取方法唯一，則DA有3種顏色可供選擇CD與AB不同色

43、時(shí)，CD有兩種可供選擇的顏色，DA也有兩種可供選擇的顏色，從而對(duì)CD、DA涂色有1x3+2x2=7種涂色方法。由乘法原理，總的涂色方法數(shù)為12x7=84種例8、用六種顏色給正四面體A-BCD的每條棱染色，要求每條棱只染一種顏色且共頂點(diǎn)的棱涂不同的顏色,問(wèn)有多少種不同的涂色方法？解：（1）若恰用三種顏色涂色，則每組對(duì)棱必須涂同一顏色，而這三組間的顏色不同，故有A3種方法。6（2）若恰用四種顏色涂色，則三組對(duì)棱中有二組對(duì)棱的組內(nèi)對(duì)棱涂同色，但組與組之間不同色，故有C3A4種方法。66（3）若恰用五種顏色涂色，則三組對(duì)棱中有一組對(duì)棱涂同一種顏色，故有C1A5種方法。36（4）若恰用六種顏色涂色，則有

44、A6種不同的方法。6綜上，滿足題意的總的染色方法數(shù)為A3+C2A4+C1A5+A6二4080種。36366三.面涂色問(wèn)題例9、從給定的六種不同顏色中選用若干種顏色，將一個(gè)正方體的6個(gè)面涂色，每?jī)蓚€(gè)具有公共棱的面涂成不同的顏色則不同的涂色方案共有多少種？分析：顯然，至少需要3三種顏色，由于有多種不同情況，仍應(yīng)考慮利用加法原理分類、乘法原理分步進(jìn)行討論解：根據(jù)共用多少種不同的顏色分類討論(1)用了六種顏色，確定某種顏色所涂面為下底面，則上底顏色可有5種選擇，在上、下底已涂好后，再確定其余4種顏色中的某一種所涂面為左側(cè)面，則其余3個(gè)面有3!種涂色方案，根據(jù)乘法原理ni=5x3!=30(2)共用五種顏

45、色，選定五種顏色有C5=6種方法，必有兩面同色(必為相對(duì)面)，確定為上、下底面，其顏色可有5種選擇，再確定一種顏色為左側(cè)面，此時(shí)的方法數(shù)取決于右側(cè)面的顏色，有3種選擇(前后面可通過(guò)翻轉(zhuǎn)交換)n=C5x5x過(guò)點(diǎn)P的每一條棱上的3點(diǎn)和與這條棱異面的棱的中點(diǎn)也共面，共有4C1二8種不同取法,故共有40+8+8=56=90；(3)共用四種顏色，仿上分析可得26n=C4C2=90；(4)共用三種顏色,n=C3=2036446例10、四棱錐P-ABCD，用4種不同的顏色涂在四棱錐的各個(gè)面上，要求相鄰不同色，有多少種涂法？解：這種面的涂色問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為區(qū)域涂色問(wèn)題，如右圖，區(qū)域1、2、3、4相當(dāng)于四個(gè)側(cè)面，區(qū)

46、域5相當(dāng)于底面；根據(jù)共用顏色多少分類：最少要用3種顏色，即1與3同色、2與4同色，此時(shí)有A:種;此時(shí)有C1A4；故滿足題意總的涂色方242)當(dāng)用4種顏色時(shí)，1與3同色、2與4兩組中只能有一組同色，法總方法交總數(shù)為A3+CiA4二72求(D)424例11.用三種不同的顏色填涂如右圖3x3方格中的9個(gè)區(qū)域，要每行、每列的三個(gè)區(qū)域都不同色，則不同的填涂方法種數(shù)共有A、48、B、24C、12D、6四、染色模型在“立幾”中的計(jì)數(shù)問(wèn)題應(yīng)用在近幾年的高考試題和各地模擬試題中頻繁出現(xiàn)以“立幾”中的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系為背景的計(jì)數(shù)問(wèn)題，這類問(wèn)題題型新穎、解法靈活、多個(gè)知識(shí)點(diǎn)交織在一起，綜合性強(qiáng)，能力要求高，有一

47、定的難度，它不僅考查相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)，而且注重對(duì)數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)能力的考查?，F(xiàn)結(jié)合具體例子談?wù)勥@種問(wèn)題的求解策略。直接求解w.w.w.k.s.5.u.c.o.m例1：從平面a上取6個(gè)點(diǎn)，從平面卩上取4個(gè)點(diǎn)，這10個(gè)點(diǎn)最多可以確定多少個(gè)三棱錐？解析：利用三棱錐的形成將問(wèn)題分成平面上有1個(gè)點(diǎn)、2個(gè)點(diǎn)、3個(gè)點(diǎn)三類直接求解共有C1C3+Cc2+C3C1二194646464個(gè)三棱錐例2:在四棱錐P-ABCD中，頂點(diǎn)為P,從其它的頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)中取3個(gè)，使它們和點(diǎn)P在同一平面上，不同的取法有()A.40B.48C.56D.62種解析:滿足題設(shè)的取法可以分成三類在四棱錐的每一個(gè)側(cè)面上除P點(diǎn)外取三點(diǎn)有4C3

48、二40種不同取法；5在兩個(gè)對(duì)角面上除點(diǎn)P外任取3點(diǎn)，共有2C3二8種不同取法；4排列與組合經(jīng)典專題（附詳解）排列與組合經(jīng)典專題（附詳解） 種評(píng)注：這類問(wèn)題應(yīng)根據(jù)立體圖形的幾何特點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，做到分類不重復(fù)、不遺漏。結(jié)合“立幾”概念求解例3:空間10個(gè)點(diǎn)無(wú)三點(diǎn)共線，其中有6個(gè)點(diǎn)共面，此外沒(méi)有任何四個(gè)點(diǎn)共面，則這些點(diǎn)可以組成多少個(gè)四棱錐？解析：C4C1=6064）：結(jié)合“立幾”圖形求解例4如果把兩條異面直線看作“一對(duì)”，那么六棱錐的棱和底面所有的12條直線中，異面直線有（A.12B.24C.36D.48解析：B例5用正五棱柱的10個(gè)頂點(diǎn)中的5個(gè)頂點(diǎn)作四棱錐的5個(gè)頂點(diǎn)，共可得多少個(gè)四棱錐？

49、解析：分類：以棱柱的底面為棱錐的底面2C4C1;55以棱柱的側(cè)面為棱錐的底面C1C156以棱柱的對(duì)角面為棱錐的底面CC156以圖中ACB（梯形）為棱錐的底面2C1C156構(gòu)造幾何模型求解例6在正方體的8個(gè)頂點(diǎn)的所有連線中，有多少對(duì)異面直線？與空間不共面的四點(diǎn)距離相等的平面有多少個(gè)？（05年湖北）以平面六面體ABCD-ABCD的任意三個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，從中隨機(jī)取出兩個(gè)三角形，則這兩個(gè)三角形不共面的概率為111136737619218A.B.C.D.A385385385385在知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)初設(shè)計(jì)命題是近幾年高考命題改革強(qiáng)調(diào)的重要觀念之一，在復(fù)習(xí)備考中，要把握好知識(shí)間的縱橫聯(lián)系和綜合，使所學(xué)

50、知識(shí)真正融會(huì)貫通，運(yùn)用自如，形成有序的網(wǎng)絡(luò)化知識(shí)體系。對(duì)于已知直線a,如果直線b同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：與直線a異面;與直線a所成的角為定值:與直線a的距離為定值d.那么這樣的直線b有A.1條B.2條C.3條D.無(wú)數(shù)條如果一條直線與一個(gè)平面垂直,那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”.在一個(gè)正方體中,由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是A.48B.36C.24D.18設(shè)四棱錐P-ABCD的底面不是平行四邊形,用平面去截這個(gè)四棱錐，使得截面四邊形是平行四邊形,則這樣的平面aTOC o 1-5 h zA.不存在B.只有1個(gè)C.恰有4個(gè)D.有無(wú)窮多個(gè)（、如圖，點(diǎn)P,P

51、,P分別是四面體的頂點(diǎn)或棱的中點(diǎn),那么在同一平面上的四點(diǎn)組（P,P,P,P）共有個(gè)12101ijk在正方體的一個(gè)面所在的平面內(nèi)，任意畫一條直線,則與它異面的正方體的棱的條數(shù)是正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)不在同一平面上的頂點(diǎn)P,Q,M,N組成的二面角為P-MN-Q的大小可能值有個(gè).答案D2.B3.D4.335.4或6或7或86.8個(gè)附錄排列組合題型總結(jié)排列組合問(wèn)題千變?nèi)f化，解法靈活，條件隱晦，思維抽象，難以找到解題的突破口。因而在求解排列組合應(yīng)用題時(shí)，除做到：排列組合分清，加乘原理辯明，避免重復(fù)遺漏外，還應(yīng)注意積累排列組合問(wèn)題得以快速準(zhǔn)確求解。一直接法1特殊元素優(yōu)先法例1用1，2，3，4，5，6這

52、6個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)的四位數(shù)，試求滿足下列條件的四位數(shù)各有多少個(gè)（1）數(shù)字1不排在個(gè)位和千位（2）數(shù)字1不在個(gè)位，數(shù)字6不在千位。分析：（1）個(gè)位和千位有5個(gè)數(shù)字可供選擇盤，其余2位有四個(gè)可供選擇翅，由乘法原理：盤翅=2402特殊位置法（2）當(dāng)1在千位時(shí)余下三位有話=60,1不在千位時(shí)，千位有屈種選法，個(gè)位有站種，余下的有jiji金，共有耳金金=192所以總共有192+60=252二.間接法當(dāng)直接法求解類別比較大時(shí)，應(yīng)采用間接法。如上例中（2）可用間接法兔斗凡=252例2有五張卡片，它的正反面分別寫0與1，2與3，4與5，6與7，8與9，將它們?nèi)我馊龔埐⑴欧旁谝黄鸾M成三位數(shù)，共可組成多少個(gè)不同的

53、三位數(shù)？分析：此例正面求解需考慮0與1卡片用與不用，且用此卡片又分使用0與使用1,類別較復(fù)雜，因而可使用間接計(jì)算：任取三張卡片可以組成不同的三位數(shù)點(diǎn)汪*漢屈個(gè)，其中0在百位的有個(gè)，這是不合題意的。故共可組成不同的三位數(shù)空乂23漢起-鳶顯翅=432（個(gè)）三插空法當(dāng)需排元素中有不能相鄰的元素時(shí)，宜用插空法。例3在一個(gè)含有8個(gè)節(jié)目的節(jié)目單中，臨時(shí)插入兩個(gè)歌唱節(jié)目，且保持原節(jié)目順序，有多少中插入方法？分析：原有的8個(gè)節(jié)目中含有9個(gè)空檔，插入一個(gè)節(jié)目后，空檔變?yōu)?0個(gè)，故有PiXPi=90中910插入方法。四捆綁法當(dāng)需排元素中有必須相鄰的元素時(shí)，宜用捆綁法。例4有4名男生和3名女生共坐一排，男生必須排在

54、一起的坐法有多少種？排列與組合經(jīng)典專題（附詳解）排列與組合經(jīng)典專題（附詳解）排列與組合經(jīng)典專題（附詳解） 1818 分析：先將男生捆綁在一起看成一個(gè)大元素與女生全排列有P4種排法，而男生之間又有P4種排法，44又乘法原理滿足條件的排法有：P4XP4=57644練習(xí)1.四個(gè)不同的小球全部放入三個(gè)不同的盒子中，若使每個(gè)盒子不空，則不同的放法有種（C2P3=36）43練習(xí)2某市植物園要在30天內(nèi)接待20所學(xué)校的學(xué)生參觀，但每天只能安排一所學(xué)校，其中有一所學(xué)校人數(shù)較多，要安排連續(xù)參觀2天，其余只參觀一天，則植物園30天內(nèi)不同的安排方法有（C1X29P19）.28（注意連續(xù)參觀2天，即需把30天中的連續(xù)

55、兩天捆綁看成一天作為一個(gè)整體來(lái)選有Ci其余的就是1929所學(xué)校選28天進(jìn)行排列）五隔板法名額分配或相同物品的分配問(wèn)題，適宜采隔板用法例5某校準(zhǔn)備組建一個(gè)由12人組成籃球隊(duì)，這12個(gè)人由8個(gè)班的學(xué)生組成，每班至少一人，名額分配方案共種。分析：此例的實(shí)質(zhì)是12個(gè)名額分配給8個(gè)班，每班至少一個(gè)名額，可在12個(gè)名額種的11個(gè)空當(dāng)中插入7塊閘板，一種插法對(duì)應(yīng)一種名額的分配方式，故有C7=330種11練習(xí)1.（a+b+c+d）15有多少項(xiàng)？解析1：當(dāng)項(xiàng)中只有一個(gè)字母時(shí)，有Ci種（即a.b.c.d而指數(shù)只有15故Ci-Co。TOC o 1-5 h z4414當(dāng)項(xiàng)中有2個(gè)字母時(shí)，有C2,而指數(shù)和為15,即將1

56、5分配給2個(gè)字母時(shí)，由隔板法一分為2,得Ci即414C2C1414當(dāng)項(xiàng)中有3個(gè)字母時(shí)，字母組合數(shù)為C3，指數(shù)15分三組給字母即可，從而得不同組合數(shù)為：妃4當(dāng)項(xiàng)中4個(gè)字母都在時(shí)V常四者都相加即可.C1C0+C2C1+C3C2+C4C3=816。TOC o 1-5 h z414414414414解析2：用15個(gè)相同的小球代表冪指數(shù)15,用4個(gè)標(biāo)有x、x、x的4個(gè)不同的盒子表示數(shù)x、x、12412x，將15個(gè)相同的小球放入4個(gè)不同的盒子中，把標(biāo)有x（i=l,2,：4）每個(gè)盒子得到的小球數(shù)k（i=1，4ii2，-，4;keN），記作x的k次方。這樣，將15個(gè)相同的小球放入4個(gè)不同的盒子中的每一種放法,

57、iii就對(duì)應(yīng)著展開式中的每一項(xiàng)。由隔板法知，這樣的放法共有C3種，故（x+x+x）15的展開式中共18124有C3項(xiàng)。C3=18x17x163x2x1=816（種）。所以，（x+x+x）15展開式中共有816項(xiàng)。124練習(xí)2有20個(gè)不加區(qū)別的小球放入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子里，要求每個(gè)盒子內(nèi)的球數(shù)不少于編號(hào)數(shù)，問(wèn)有多少種不同的方法？（C2=120）16練習(xí)3.不定方程X+X+X+-+X=100中不同的正整數(shù)解有（C49）；不定方程X+X+X+-+X=100中123509912350不同的非負(fù)整數(shù)解有（C49）；149六.平均分堆問(wèn)題例6.（2020年）把6本不同的書平均分成三堆，有多少種不同

58、的方法？分析：分出三堆書（a,a）,（a,a）,（a,a）由于順序不同可以有P3=6種，而這6種分法只算一1234563種分堆方式，故6本不同的書平均分成三堆方式有C2C2C264匸=15種P33練習(xí)：1.6本書分三份，2份1本，1份4本，則有不同分法？（15種）某年級(jí)6個(gè)班的數(shù)學(xué)課，分配給甲乙丙三名數(shù)學(xué)教師任教，每人教兩個(gè)班，則不同的分派方法的種數(shù)有（90）。七.合并單元格解決染色問(wèn)題例7（全國(guó)卷（文、理）如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得14使用同一顏色，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種（以數(shù)字作答）。分析：顏色相同的區(qū)域可能是2、3、4、5.2下面

59、分情況討論:（i）當(dāng)2、4顏色相同且3、5顏色不同時(shí)，將2、4合并成一個(gè)單元格，此時(shí)不同的著色方法相當(dāng)于4個(gè)元素的全排列數(shù)P；4（ii）當(dāng)2、4顏色不同且3、5顏色相同時(shí)，與情形（i）類似同理可得P4種著色法.4（iii）當(dāng)2、4與3、5分別同色時(shí)，將2、4；3、5分別合并，這樣僅有三個(gè)單元格2435，從4種顏色中選3種來(lái)著色這三個(gè)單元格，計(jì)有P3種方法.4由加法原理知：不同著色方法共有2P4+P3=48+24=72（種）44練習(xí)1（天津卷（文）將3種作物種植在如圖的5塊試驗(yàn)田里，每快種植一種作物且相鄰的試驗(yàn)田不能種植同一作物，不同的種植方法共種（以數(shù)字作答）（72）排列與組合經(jīng)典專題（附詳解

60、）排列與組合經(jīng)典專題（附詳解）排列與組合經(jīng)典專題（附詳解）991 991 7 2.（江蘇、遼寧、天津卷（理）某城市中心廣場(chǎng)建造一個(gè)花圃，花圃6分為個(gè)部分（如圖3），現(xiàn)要栽種4種顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，不同的栽種方法有種（以數(shù)字作答）.（120）面分情況討論:（i）當(dāng)6、4顏色相同,5有2種顏色可以選擇，將2、3顏色一定相異，此時(shí)不同的著色方法為000P2；4322（ii）當(dāng)6、4顏色不同，此時(shí)5只有一種顏色可選，此時(shí)考慮2、3著色。2著的顏色與4同色，則3有二種顏色可以選擇；2著的顏色與4不同色，則3只有一種顏色可以選擇。故此時(shí)不同的著色方法為CiCiCi（2+