1、PAGE 淮北(Huibi)師范大學2011屆學士學位論文(lnwn)概率統計理論(lln)解釋投資風險與收益問題學院、專業 ： 數學科學學院 數學與應用數學 研 究 方 向： 概率統計 學 生 姓 名： 郭 龍 學 號： 20071441069 指導教師姓名： 馬建華 指導教師職稱： 副教授 2011年4月10日概率統計理論解釋投資(tu z)風險與收益問題郭 龍（淮北師范大學數學(shxu)科學學院，淮北，235000）摘 要本文主要從兩個(lin )部分講述概率統計理論解釋投資風險與收益問題.第一部分，通過對概率統計理論中的期望的定義、計算以及應用來解釋投資收益的問題,并且給出相關的例題

2、進一步解釋該問題.第二部分，首先分別分析投資收益在服從正太分布以及隨機分布的情況下利用概率統計理論知識中的方差計算風險，解釋投資風險問題.然后分析投資收益與投資風險的聯系,即投資風險與投資收益兩者之間怎么變化.最后給出計算投資風險的例子進一步解釋投資風險及其相關問題. 關鍵詞: 概率統計，投資風險，投資收益 The Problem of Investment Risk and Investment Profit are explained by Probability and Statistics Guo Long（School of Mathematical Sciences of Huai

3、bei Normal University，Huaibei，235000）Abstract This article mainly explains the problem of investment profit and investment risk by probability and statistics theories from two parts. In the first part, it explains investment profit through the definition, calculation and application of expectations

4、from the probability and statistics theories, and gives a further related explanation by some examples of this problem. In the second part, firstly, use the variance in probability and statistics theories to calculate the investment risk from two situations: when it obeys the normal distribution and

5、 random distribution .Then analyzes the connections between investment profit and investment risk, how changes the connections between investment risk and investment profit. Finally it gives some examples to calculate investment risk and its related problems. Key words: probability and statistics, i

6、nvestment risk, investment profit目錄(ml) TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc292150820 引言(ynyn) PAGEREF _Toc292150820 h 1 HYPERLINK l _Toc292150821 一、概率統計理論(lln)解釋投資收益問題 PAGEREF _Toc292150821 h 1 HYPERLINK l _Toc292150822 （一）投資收益 PAGEREF _Toc292150822 h 1 HYPERLINK l _Toc292150823 （二）投資收益率 PAGEREF _Toc29

7、2150823 h 1 HYPERLINK l _Toc292150824 （三）概率 PAGEREF _Toc292150824 h 1 HYPERLINK l _Toc292150825 （四）資產組合的預期收益率 PAGEREF _Toc292150825 h 2 HYPERLINK l _Toc292150826 （五）平均收益 PAGEREF _Toc292150826 h 2 HYPERLINK l _Toc292150827 二、概率統計理論解釋投資風險問題 PAGEREF _Toc292150827 h 3 HYPERLINK l _Toc292150828 （一）投資風險 P

8、AGEREF _Toc292150828 h 3 HYPERLINK l _Toc292150829 （二）用概率論表示投資風險 PAGEREF _Toc292150829 h 4 HYPERLINK l _Toc292150830 （三）投資風險的測定 PAGEREF _Toc292150830 h 5 HYPERLINK l _Toc292150834 結 論 PAGEREF _Toc292150834 h 10 HYPERLINK l _Toc292150835 參考文獻 PAGEREF _Toc292150835 h 11 HYPERLINK l _Toc292150842 致 謝 P

9、AGEREF _Toc292150842 h 12PAGE 14引言(ynyn)概率統計理論在整個數學領域是一個相當重要的分支，并且為經濟中投資學的發展奠定了基礎，它能夠極其(jq)方便的解決投資中的很多問題.本文就以概率(gil)統計理論為基礎解釋投資收益與風險問題并給出實例方便讀者理解.一、概率統計理論解釋投資收益問題（一）投資收益投資者進行投資的目的是獲取一定的收益，由于投資行為而獲得的收益即收入或資本的增益，稱之為投資收益.（二）投資收益率投資收益總額占投資總額的百分比.投資收益率（三）概率在經濟活動中，某一事件在相同的條件下可能發生也可能不發生，這類事件稱為隨機事件.概率就是用來表示

10、隨機事件發生可能性大小的數值.投資的收益并不是穩定的，由于投資市場是不確定的，故投資也存在著不確定性.這時引入某種收益率發生的概率，即某種投資的收益率在市場上發生的可能性及其大小.在引入概率統計理論之后來定義期望收益率投資(tu z)期望收益率 是第種可能(knng)的收益率 是收益率發生(fshng)的概率 是可能性的數目（四）資產組合的預期收益率表示第期的投資收益率 是收益率發生的概率（五）平均收益（收益率滿足隨機分布，并且是等概率事件）1.算術平均數表示第期的投資收益率，n表示持有期數.2.幾何平均數（收益率滿足隨機分布，并且是等概率事件）表示第期的投資收益率某公司正在考慮以下三個投資項

11、目，其中A和B是兩只不同公司的股票而C項目是投資于一家新成立的高科技公司，預測的未來可能的收益率情況如表所示.表1 項目投資收益表經濟形勢概率項目A收益率項目B收益率項目C收益率很不好0.1-22.0%-10.0%-100%不太好0.2-2.0%0.0%-10%正常0.420.0%7.0%10%比較好0.235.0%30.0%40%很好0.150.0%45.0%120%計算(j sun)每個項目投資(tu z)的預期(yq)收益率，即概率分布的期望值如下：例2 某企業正在考慮的A、B投資項目，項目數據如下表2 項目投資收益表經 濟 狀 況發 生 概 率預 期 報 酬 率A項目B項目繁 榮0.2

12、40%70%一 般0.620%20%衰 退0.20%-30%合 計1例3 某公司股票的歷史收益率數據如表所示，試用算術平均值估計其預期收益率. 表3 股票收益率表年度123456收益率21115272132預期收益率二、概率統計理論解釋投資風險問題風險按新華字典的解釋是：做某件事有遭到損害或失敗的可能性.(風險：可能發生的危險.危險：有遭到損害或失敗的可能.)n 根據這個解釋，風險應該是做某件事有遭到損害或失敗的概率.（一）投資(tu z)風險(fngxin)投資者進行投資是為獲取一定(ydng)的收益，但是投資發生在現在，收益是未來的事，受時間等因素的影響，未來的收益可大可小，甚至受損失，這

13、種收益的不確定性即是風險.投資風險主要有市場風險，利率風險，購買力風險，違約風險，財務風險，經營風險等.（二）用概率論表示投資風險1. 投資收益是正態分布隨機變量的情況當投資收益是正態分布隨機變量時，投資風險的表示.設某項投資的收益是服從正態分布的隨機變量，.按照投資風險的本義，它是發生虧本即負收益的概率用數學符號表示即：.由正態分布的理論知，(其中是標準正態分布的分布數)因為嚴格單調上升，因此，當固定時，的值：，關于嚴格單調上升即的大小由的值確定，越大，就越大，風險越大；越小，越小，風險越小由此可見，用的大小來描述風險大小與用描述風險是等價的而是正態分布隨機變量，的標準差，即方差的算術根：

14、，所以風險的大小等價于方差的大小2. 投資收益是一般的隨機變量(任意分布)的情況當投資收益是一般的隨機變量(任意分布)時，投資風險的表示.以上我們對收益是正態分布的隨機變量其風險大小和方差大小的等價性給出了證明下面我們將證明投資收益是一般的隨機變量其風險大小和方差大小的等價性為此，假設投資收益隨機變量的分布函數是，方差, ，期望收益是標準化隨機變量的分布函數顯然(xinrn)，對于給定的,總存在充分(chngfn)大的正數使，此時(c sh)表示投資該項目虧本的概率，即該項目的投資風險而對于任意的正數，因是單調非降函數，所以，當固定時，是的單調不降函數因此，投資風險投資虧本的概率：是的單調不降

15、函數，即的大小由的值確定，越大，越大，風險越大；越小，越小，風險越小由此可見，用的大小來描述風險大小與用描述風險是等價的這就說明了，對于投資收益是任意分布的隨機變量，其風險大小也是由其方差確定的（三）投資風險的測定1.方差方差是統計學上一種基本量，它表示一組變量與其平均值的偏差平方和的平均數，是測定離散程度的一種統計量，記為，在投資學上，方差表示收益的各種可能性值與其期望值的偏離程度.其基本公式為為各期收益的期望值.方差大，表明收益與其期望值的偏離程度大，即收益的不確定程度大，因而風險大，反之，風險也小.2.標準差標準差即方差(fn ch)的平方根，用表示(biosh)：方差(fn ch)大，

16、標準差也大，方差小，標準差也小.例4 （屬于已知未來收益率發生的概率以及未來收益率的可能值時） 以A項目為例：表4 投資項目未來可能的收益率情況表經濟形勢概率項目A收益率項目B收益率項目C收益率很不好0.1-22.0%-10.0%-100%不太好0.2-2.0%0.0%-10%正常0.420.0%7.0%10%比較好0.235.0%30.0%40%很好0.150.0%45.0%120%A項目方差 表5 相關數據計算表經濟形式概率很不好0.1-22%-17.4%=-39.4%不太好0.2-2%-17.4%=-19.4%正常0.420%-17.4%2.6%比較好0.235%-17.4%=17.6%

17、很好0.150%-17.4%=32.6%合計1401.21%A項目(xingm)標準差： B項目(xingm)標準差：A項目標準(biozhn)離差率：B項目標準離差率：結論：從標準差的計算可以看出，項目A的標準差20%大于項目B的標準差16.15%，似乎項目A的風險比項目B的風險大，然而從標準離差率的計算來看，由于項目A的預測收益率17.4%大于項目B的預期收益率12.3%，使得項目A的標準離差率1.15卻小于項目B的標準離差率1.31.這樣一來，項目A的相對風險（即每單位收益所承擔的風險）卻小于項目B.3.投資組合風險的度量用兩項投資組合的收益率的方差、標準差來衡量有項目A、B兩個投資項目

18、（如下）表6 項目投資相關指數表項目 A B預期收益率10%18%標準差 12%20%投資比例0.5 0.5A和B的相關系數：0.2要求計算投資于A和B的組合標準差.投資組合的標準差= 4.投資收益和投資風險(fngxin)的關系假設(jish)隨機變量表示某項投資(tu z)的收益，的分布函數是，方差，期望收益，是標準化隨機變量的分布函數那么投資者獲得高的回報(高的收益)的機會，等價于對于一個較大的正數，事件發生的概率，即.因充分大，所以，因此即表示投資者虧本的概率，也即投資風險由于且是單調非降函數，因而當平均收益和.固定時，是的單調不降函數；也是的單調不降函數這說明，如果投資者想以較大的概

19、率獲得高回報，即對于充分大的正數，能足夠的大，必須足夠的大；此時，即他虧本的概率也大，即風險大；反之，若風險小，即小，則小，從而也小，即獲得高回報的概率(機會)小也就是說，如果希望獲得高回報，那么必須承擔高風險，即高回報和高風險是并存的；沒有高風險就不可能有高回報，有高風險才有高收益的機會而對收益 是正態分布的隨機變量時，更有：因此(ync)大，則也同樣(tngyng)大，收益和風險的關系更加明顯綜上所述，我們可以(ky)得到：投資風險，即投資某項目虧本(做某件事有遭到損害或失敗)的概率，它可以用投資收益的方差或標準差來表示，方差大，則風險大；方差小，則風險小機會和風險同在，高回報和高風險同在

20、，兩者是并存的、同時的在平均收益固定時，要想獲得高收益就得承擔高風險，沒有高風險就不可能有高回報，有高風險才有高收益的機會高風險未必是壞事，低風險未必是好事，要視具體事情、具體情況不要一味追求低風險，因為在平均收益固定時，低風險就意味著不可能有更高的回報，要想獲得高收益就得承擔高風險；不要盲目地追求高回報，因為平均收益固定時，要能獲得高回報，就得承擔高風險，必須有足夠的思想準備和物質準備風險是由事件本身確定的，是客觀的，是事件的一個重要特征要改變風險，只有改變事件的條件比如，某個手術的風險是由病人的病情，手術醫生的技術，醫療條件等確定的手術醫生要想降低手術風險，就必須提高醫療技術、創造好的醫療

21、條件；投資項目的風險是由該項目的投資方案確定的，投資者要想降低某項目的投資風險，只能改變投資方案正確處理收益和風險的關系=處理效益與風險的關系，不同的人不同的情況要采用不同的方法根據上面分析的結果，提出以下建議長期、大戶投資者應投資平均收益最大的項目一般來說，做任何一件事應該追求總體效益的最大化，即首先應考慮總體效益(平均收益)，應該做總體效益大的事情，不做無效益更不做虧本的事情做某件事情有利也有弊，該不該做這件事的關鍵在于這件事是否利大于弊，應該做利大于弊的事情在人力物力都許可的情況下，一件事該不該做，取決于做這件事的總體效益，而不在乎風險的大小效益指標是關鍵的、首要的，風險指標只是為你分析

22、你能獲得該效益的把握假如你是一位長期投資者，擁有足夠的資金，那么你在挑選投資項目時，應該挑選那些平均收益高的項目小戶投資者應投資風險小、平均收益(shuy)較大的項目假如你是一位小戶投資者，有一些資金，但不多，經不起大的風險，那么你在挑選(tioxun)投資項目時，首先要挑歷選風險小，其次考慮平均收益大的項目，可以變異系數：為選擇項目的指標因為你的資金不多，你必須追求穩，否則，一旦失利，你就會無法繼續(jx)發展，甚至是無法繼續生存比如，一般工薪階層的人，適合把錢存在銀行里，盡管收益很低，但無風險，而且可以提前支取假如你把不多的剩余工資用于股票或是其他的風險投資，一旦失利，將會給你造成很大的壓力因為你不多的剩余工資可能要用于孩子上學的學費、看病的醫療費等，而這些都是必須的，一旦沒了著落，怎么辦?選擇適當的投資組合規避風險對于一般的投資者來說，總希望能