1、巧用微積分 活解物理題蘭州市第二中學(xué) 王國(guó)士摘要：微積分的思想方法, 為解決中學(xué)物理問(wèn)題提供了重要的工具,用微積分方法解決中學(xué)物理教學(xué)中的難點(diǎn)，可避免繁雜的計(jì)算過(guò)程，提高解題的速度，增強(qiáng)分析問(wèn)題解決問(wèn)題科學(xué)性和嚴(yán)謹(jǐn)性。關(guān)鍵詞： 微積分 物理教學(xué) 思維方式 解題方法高中數(shù)學(xué)新教材增加了微積分的知識(shí), 為解決中學(xué)物理問(wèn)題提供了思維方法和解題工具,用微積分?jǐn)?shù)學(xué)手段分析解決中學(xué)物理難點(diǎn)問(wèn)題，可真實(shí)描述細(xì)微的物理過(guò)程，加深對(duì)物理意義的理解，增強(qiáng)物理規(guī)律的科學(xué)性、嚴(yán)謹(jǐn)性，避免繁雜的計(jì)算過(guò)程，提高解題的準(zhǔn)確性、可靠性。微積分在中學(xué)物理教學(xué)中的應(yīng)用一般分為四種類型：利用微分思想構(gòu)建物理模型和推導(dǎo)物理公式，根據(jù)

2、圖像分析物理量的變化規(guī)律，求解代數(shù)函數(shù)的極值，求解三角函數(shù)極值。本文通過(guò)實(shí)例分析微積分在物理教學(xué)中應(yīng)用。一、微分的應(yīng)用中學(xué)物理中很多定理、公式的推導(dǎo)過(guò)程近似簡(jiǎn)化，在分析物理問(wèn)題的過(guò)程中，利用微分解釋物理量變化率及有關(guān)函數(shù)極值的問(wèn)題時(shí)顯得簡(jiǎn)潔清晰，科學(xué)準(zhǔn)確。如根據(jù)回路中磁通量隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系，推導(dǎo)法拉第電磁感應(yīng)定律，交流電變化瞬時(shí)值表達(dá)式的推導(dǎo)過(guò)程，利用速度公式推導(dǎo)位移公式，在追擊問(wèn)題中最大值最小值問(wèn)題，等量異種電荷中垂線上場(chǎng)強(qiáng)的最大值的位置，三角函數(shù)的極值問(wèn)題等。1、用微分思想構(gòu)建物理規(guī)律用法拉第電磁感應(yīng)定理推導(dǎo)正弦交流電的數(shù)學(xué)表達(dá)式。設(shè)面積為，電阻為的單匝矩形線圈,在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，繞垂直于

3、磁場(chǎng)方向的軸,從中心面開始以角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí), 時(shí)間內(nèi)線圈平面與中心面的夾角為,穿過(guò)線圈磁通量為：,由法拉第電磁感應(yīng)定律知，線圈中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)等于磁通量的變化率的負(fù)值,則線圈中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的表達(dá)式為：, 交流電的表達(dá)式為： 例1：如圖1所示，A、B為兩個(gè)相同的環(huán)形線圈,共軸且靠近, A線圈中通有如圖2所示的交流電，則下列說(shuō)法中正確的是( ) (A)在t1到t2時(shí)間內(nèi)兩線圈相互吸引 (B)在t1到t2時(shí)間內(nèi)兩線圈相互排斥 (C) t1時(shí)刻兩線圈間的相互作用力為零 (D) t1時(shí)刻兩線圈間的相互作用力最大 分析與解：由圖知通過(guò)線圈電流的變化規(guī)律為,則通過(guò)線圈的磁通量的變化規(guī)律為: ,由法拉

4、第電磁感應(yīng)定律得,線圈中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和感應(yīng)電流的分別為 ，如圖3所示。由圖知，在t1t2時(shí)間內(nèi)兩線圈中電流方向相同,相互吸引,故(A) 正確、(B) 錯(cuò)誤; t1時(shí)刻A線圈中電流最大, B線圈中電流為零,兩線圈間的相互作用力為零 ,故(C)正確、(D)錯(cuò)誤。2、用微分求代數(shù)函數(shù)極值例2：甲、乙兩車同時(shí)同地同向出發(fā),在同一水平公路上做直線運(yùn)動(dòng),甲以初速度v甲20m/s ,加速度a甲-2m/s2做減速運(yùn)動(dòng),乙以初速度v乙4m/s , 加速度a乙2m/s2做加速運(yùn)動(dòng)，求兩車再次相遇前的最大距離。 分析與解：t時(shí)刻兩車的距離為： 求s（t）對(duì)t微分得： 令： （一階導(dǎo)數(shù)等于零函數(shù)有極值）解得 ：將代入原

5、式得： 即：時(shí)兩車再次相遇前的最大距離為。例3：如圖4所示 ,帶電量為的等量同種電荷相距, 試問(wèn)它們連線的中垂線上哪點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)最大? 其值為多大? 分析與解：距兩電荷連線的中點(diǎn)O相距為x處的場(chǎng)強(qiáng)為： 求E（x）對(duì)x的微分得： 令：解得 ：將代入原式解得：中垂線上場(chǎng)強(qiáng)的最大值： 3、利用微分方法求三角函數(shù)極值例4：如圖5所示，PQ、MN為水平放置的平行導(dǎo)軌，通電導(dǎo)體棒ab垂直放置在導(dǎo)軌上，已知導(dǎo)體棒質(zhì)量，長(zhǎng)度為，通過(guò)的電流， 導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)。若使導(dǎo)體棒ab水平向右勻速運(yùn)動(dòng)，要求軌道內(nèi)所加與導(dǎo)體棒ab垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)最小，求磁場(chǎng)方向與軌道平面的夾角及磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值。 分析與解：磁場(chǎng)與軌

6、道平面成角沿左向上方，導(dǎo)體棒受力如圖6所示，對(duì)導(dǎo)體棒在水平和豎直方向上分別由牛頓第二定律得： 解得：令： 求當(dāng)時(shí)， 將 代入原式得： 即：磁場(chǎng)方向與軌道平面的夾角時(shí)，勻強(qiáng)磁場(chǎng)有最小值4、用微分方法分析圖像中物理量的變化率例5：如圖7所示為某彈簧振子的振動(dòng)圖像，根據(jù)振動(dòng)圖像分析一個(gè)周期內(nèi)振動(dòng)物體速度隨時(shí)間變化的規(guī)律。 分析與解：位移時(shí)間圖像上，圖線某點(diǎn)切線的斜率為該時(shí)刻的速度，由彈簧振子的振動(dòng)圖像知，內(nèi)，振子的速度為正值，且逐漸減?。粌?nèi)，振子的速度為負(fù)值，且逐漸增大； 內(nèi)，振子的速度為負(fù)值，且逐漸減?。粌?nèi)，振子的速度為正值，且逐漸增大。另一解法：由彈簧振子的振動(dòng)圖像可得，彈簧振子的位移時(shí)間關(guān)系為

7、：，對(duì)該式求微分得：彈簧振子的速度時(shí)間關(guān)系為：，速度時(shí)間圖像如圖8所示，用該圖像分析速度隨時(shí)間的變化規(guī)律直觀形象,一目了然。二、積分的應(yīng)用 在物理學(xué)中有許多物理量是另一物理量的累積效應(yīng)，如位移是速度在時(shí)間上的積累，功是力在空間的積累、電量是電流在時(shí)間上的積累，熱量是電流通過(guò)電阻在時(shí)間上積累等。這種積累效應(yīng)往往不是線性變化的，利用初等數(shù)學(xué)研究方法解決問(wèn)題的過(guò)程中，多數(shù)要對(duì)實(shí)際情況進(jìn)行近似處理,過(guò)程缺乏科學(xué)性和嚴(yán)密性，如用積分方法分析,可使物理意義更清晰，過(guò)程更科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)，結(jié)果更準(zhǔn)確可靠。1、用積分法推導(dǎo)公式彈簧彈性勢(shì)能公式的推導(dǎo),設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為K，將彈簧從自然長(zhǎng)度開始拉長(zhǎng)x的過(guò)程中，外力所做的

8、功等于彈簧的彈性勢(shì)能； 這類問(wèn)題在中學(xué)物理教學(xué)中較多。如用勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度公式推導(dǎo)位移公式，電量等于電流對(duì)時(shí)間的累積效應(yīng)等。例6：用鐵錘將鐵釘水平地打入木樁中,設(shè)木樁對(duì)鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進(jìn)入的深度成正比,鐵錘以相同的速度打擊鐵釘n次,在第1次打擊時(shí)，鐵釘進(jìn)入的深度為d ,則打擊n次鐵釘進(jìn)入的深度是多少? 第n次使鐵釘進(jìn)入的深度是多少?分析與解：設(shè)鐵錘打擊鐵釘時(shí)，每次做功為W,錘子對(duì)木樁所做的功等于木樁克服阻力所做的功為。 同理得：n-1次、n次、第n次打進(jìn)的深度分別是： 2、用積分法解代數(shù)式問(wèn)題例6：質(zhì)量為m的人造地球衛(wèi)星在距地心為r1的近軌道上繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)該將該衛(wèi)星通過(guò)變軌使之

9、在距地心為r2的遠(yuǎn)軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，至少需要增加多少能量? （地球表面的重力加速度為g）分析與解：質(zhì)量為m的人造地球衛(wèi)星在距地心為r軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，萬(wàn)有引力提供向心力，則：在地球表面附近有：由以上兩式得，人造地球衛(wèi)星在距地心為r的軌道上的動(dòng)能為： 則質(zhì)量為m的衛(wèi)星在距地心為r1和r2處的動(dòng)能分別為： 設(shè)衛(wèi)星在無(wú)限遠(yuǎn)處的重力勢(shì)能為零，地球的質(zhì)量為M,則質(zhì)量為m的人造地球衛(wèi)星在距地心的近軌道移到無(wú)限遠(yuǎn)處的過(guò)程中，克服地球的引力所做的功等于衛(wèi)星重力勢(shì)能的增量，由萬(wàn)有引力定律及牛頓第二定律得：將代入上式得，衛(wèi)星在距地心為r處的重力勢(shì)能為： 則質(zhì)量為m的衛(wèi)星在距地心為r1和r2處的重力能分別為： 將質(zhì)量為m的衛(wèi)星在距地心為r1的近軌道轉(zhuǎn)移到r2遠(yuǎn)軌道需要增加的能量為： 3、用積分法解三角函數(shù)式問(wèn)題正弦交流電平均值與最大值的關(guān)系。 設(shè)通過(guò)某電阻的正弦交流電為：,求該交流電平均值。 正弦交流電的平均值等于內(nèi)的平均值,則該交流電的平均值為： ，即正弦交流電平均值和最大值間的關(guān)系為： 例7：通過(guò)某電阻的正弦交流電為,求內(nèi)通過(guò)該電阻的電量。 分析與解：由正弦交