1、MATLAB在機械優(yōu)化設計(shj)中的應用湖南農業(yè)大學 工學院2007年9月主講(zhjing):*共六十六頁緒 論1.1 MATLAB系統(tǒng)(xtng)簡介 MATLAB 名字由 MATrix 和 LABoratory 兩詞的前三個字母組合而成。那是 20 世紀(shj)七十年代后期的事：時任美國新墨西哥大學計算機科學系主任的 Cleve Moler 教授出于減輕學生編程負擔的動機，為學生設計了一組調用 LINPACK 和 EISPACK 庫程序的“通俗易用”的接口，此即用 FORTRAN 編寫的萌芽狀態(tài)的 MATLAB 。 經(jīng)幾年的校際流傳，在 Little 的推動下，由 Little 、

2、 Moler 、 Steve Bangert 合作，于 1984 年成立了 MathWorks 公司，并把 MATLAB 正式推向市場。從這時起， MATLAB 的內核采用 C 語言編寫，而且除原有的數(shù)值計算能力外，還新增了數(shù)據(jù)圖視功能。 MATLAB 以商品形式出現(xiàn)后，僅短短幾年，就以其良好的開放性和運行的可靠性，使原先控制領域里的封閉式軟件包（如英國的 UMIST ，瑞典的 LUND 和 SIMNON ，德國的 KEDDC ）紛紛淘汰，而改以 MATLAB 為平臺加以重建。在時間進入 20 世紀九十年代的時候， MATLAB 已經(jīng)成為國際控制界公認的標準計算軟件。 到九十年代初期，在國際上

3、 30 幾個數(shù)學類科技應用軟件中， MATLAB 在數(shù)值計算方面獨占鰲頭，而 Mathematica 和 Maple 則分居符號計算軟件的前兩名。 共六十六頁 Mathcad 因其提供計算、圖形、文字處理的統(tǒng)一環(huán)境而深受中學生歡迎。 在歐美大學里，諸如應用代數(shù)、數(shù)理統(tǒng)計、自動控制、數(shù)字信號處理(xn ho ch l)、模擬與數(shù)字通信、時間序列分析、動態(tài)系統(tǒng)仿真等課程的教科書都把 MATLAB 作為內容。這幾乎成了九十年代教科書與舊版書籍的區(qū)別性標志。在那里， MATLAB 是攻讀學位的大學生、碩士生、博士生必須掌握的基本工具。 在國際學術界， MATLAB 已經(jīng)被確認為準確、可靠的科學計算標準

4、軟件。在許多國際一流學術刊物上，（尤其是信息科學刊物），都可以看到 MATLAB 的應用。 在設計研究單位和工業(yè)部門， MATLAB 被認作進行高效研究、開發(fā)的首選軟件工具。如美國 National Instruments 公司信號測量、分析軟件 LabVIEW ， Cadence 公司信號和通信分析設計軟件 SPW 等，或者直接建筑在 MATLAB 之上，或者以 MATLAB 為主要支撐。又如 HP 公司的 VXI 硬件， TM 公司的 DSP ， Gage 公司的各種硬卡、儀器等都接受 MATLAB 的支持。MATLAB具有以下幾個特點： 功能強大的數(shù)值運算功能 強大的圖形處理能力 高級但

5、簡單的程序環(huán)境 豐富的工具箱 優(yōu)化工具箱中的所有函數(shù)都對應一個MATLAB 6.5 的.M文件(關于.M文件請查閱相關MATLAB 6.5 文獻),這些.M通過使用MATLAB 6.5 基本語句實現(xiàn)了具體的優(yōu)化算法.可以在 MATLAB 6.5 命令窗口鍵入命令：type function_name，來查看相應函數(shù)的代碼.共六十六頁 1.2 優(yōu)化工具箱的工程應用(yngyng)步驟當量化地求解一個實際的最優(yōu)化問題時,首先要把這個問題轉化為一個數(shù)學問題.建立數(shù)學模型：然后對建立的數(shù)學模型進行具體分析選擇合適的優(yōu)化算法：最后根據(jù)選定的優(yōu)化算法，編寫計算程序進行求解用MATLAB 6.優(yōu)化工具箱解決

6、實際應用問題可以概括為以下三個步驟： (1) 根據(jù)所提出的最優(yōu)化問題，建立最優(yōu)化問題的數(shù)學模型確定變量，列出約束條件和目標函數(shù) (2) 對所建立的模型進行具體分析和研究選擇合適的最優(yōu)化求解方法 (3) 根據(jù)最優(yōu)化方法的算法，列出程序框圖，選擇優(yōu)化函數(shù)和編寫語言程序，用計算機求出最優(yōu)解 利用MATLAB的優(yōu)化工具箱，可以求解線性規(guī)劃，非線性規(guī)劃和多目標規(guī)劃問題。具體而言，包括線性，非線性最小化，最大最小化，二次規(guī)劃，半無限問題，線性，非線性方程(fngchng)化，方程(fngchng)求解，曲線擬合，二次規(guī)劃等問題中大型課題的求解方法，為優(yōu)化方法在工程中的實際應用提供了更方便，快捷的途徑。共六

7、十六頁 1.3 優(yōu)化問題的工程背景隨著生產，經(jīng)濟，技術的發(fā)展，工程技術，管理人才在實際工作中常常會面臨(minlng)這類問題：在工程設計中，怎樣的分配方案既能滿足各方面的基本要求，又能降低成本；在資源配中，怎樣的分配既能滿足各方面的基本要求，又能獲得好的經(jīng)濟效益；在生產計劃安排中，選擇怎樣的計劃才能提高產值和利潤；在原料配比問題中，怎樣確定各種萬分的比例才能提高質量，降低成本；在城建規(guī)劃中，怎樣安排工廠，機關，學校，商店，醫(yī)院，住宅和其它單位的合理布置，才能方面群眾，有利于城市各行各行的發(fā)展這一類問題的共同點就是遷出最合理，達到事先預定的最優(yōu)目標的方案，這就是工程問題最優(yōu)化問題 最優(yōu)化方法發(fā)

8、展很快，包含多個分支，如線性規(guī)劃，整數(shù)規(guī)劃，非線性規(guī)劃，動態(tài)規(guī)劃，多目標規(guī)劃等。共六十六頁2.1 線性規(guī)劃問題與MATLAB實現(xiàn) 線性規(guī)劃問題是目標函數(shù)和約束條件均為線性函數(shù)的問題，MATLAB解決的線性規(guī)劃問題的標準形式為： min f(x) x R s.t. A.xb Aeq.x=beq lb x ub其中f、x、b、beq、lb、ub為向量，A、Aeq為矩陣。其它形式的線性規(guī)劃問題都可經(jīng)過適當變換化為此標準形式。在MATLAB6.5版中，線性規(guī)劃問題（Linear Programming）已用函數(shù)linprog取其它形式的線性規(guī)劃問題都可經(jīng)過適當變換化為此標準形式。函數(shù) linprog

9、調用格式(g shi) x = linprog(f,A,b) %求min f=f(x) x Rs.t. A.xb 線性規(guī)劃的最優(yōu)解。x = linprog(f,A,b,Aeq,beq) %等式約束Aeq.x=beq,若沒有不等式約束，則A= ，b= 。x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) %指定x的范圍lbxub ,若沒有等式約束Aeq.x=beq ， 則Aeq= ，beq= x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) %設置初值x0 x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) % option

10、s為指定的優(yōu)化參數(shù) 共六十六頁x,fval = linprog() % 返回目標函數(shù)最優(yōu)值，即fval= f (x)。x,fval,lambda,exitflag = linprog() % lambda為解x的Lagrange乘子。x, favl,lambda,fval,exitflag = linprog() % exitflag為終止迭代的錯誤條件。x,fval, lambda,exitflag,output = linprog() % output為關于優(yōu)化的一些信息說明 若exitflag0表示函數(shù)收斂于解x，exitflag=0表示超過函數(shù)估值或迭代的最大數(shù)字，exitflag1

11、g(1)=2*x(1); %用提供(tgng)的梯度g使函數(shù)最小化 g(2)=50*x(2);End輸入下列系數(shù)options(6)=1; options(7)=1; %采用DFP變尺度方法立方插值法options=optimset(Display,iter,LargeScale,on,GradObj,on);%設置優(yōu)化參數(shù)x0=2,2;x,fval,exitflag,output,grad=fminunc(jxyh4_1fun,x0,options)結果為：x = 1.0e-013 * 0.1155 0.0044fval = 1.3825e-028exitflag = 1共六十六頁outpu

12、t = iterations: 1 funcCount: 2 cgiterations: 1 firstorderopt: 2.3093e-014 algorithm: large-scale: trust-region Newton message: 1x137 chargrad =1.0e-013 * 0.2309 0.2220 Norm of First-order Iteration f(x) step optimality CG-iterations 0 104 100 1 1.38248e-028 2.82843 2.31e-014 1共六十六頁例.2 求下面的優(yōu)化問題(變尺度法)

13、對函數(shù)f(x)=x12+2x22-4x1-2x1x2，當給定初值x0=1,1，求其最小值x.編一個M文件=jxyh4_2fun (x).m,返回x處的函數(shù)值f.function y=jxyh4_2fun(x) y=x(1)2+2*x(2)2-4*x(1)-2*x(1)*x(2); %目標函數(shù)的M文件輸入下列系數(shù)options(6)=0; options(7)=0; %采用DFP方法混合插值法options=optimset(Display,iter,LargeScale,off,); %設置優(yōu)化參數(shù)(cnsh)x0=1,1;x,fval,exitflag,output=fminunc(jxyh

14、4_2fun,x0,options)結果為：x = 4.0000 2.0000fval = -8.0000exitflag = 1output = iterations: 3 funcCount: 12 stepsize: 1 firstorderopt: 2.3842e-007 algorithm: medium-scale: Quasi-Newton line search message: Optimization terminated: relative infinity-norm of gradient less than options.TolFun.共六十六頁 Iteration

15、 Func-count f(x) Step-size infinity-norm 0 3 -3 4 1 6 -5.5 0.25 2 2 9 -6.4 1 1.6 3 12 -8 1 2.38e-007 共六十六頁例4.3 求使方程的最小化當給定初值x0=pi/3,pi/3; 求其最小值x編一個M文件(wnjin)y=jxyh4_3fun (x).m,返回x處的函數(shù)值f.function f=jxyh4_3fun(x)f=sin(x(1)+cos(x(1)+ sin(x(2)+cos(x(2)+ sin(x(1)*cos(x(2);輸入下列系數(shù)x0=pi/3,pi/3;options=optim

16、set(Display,iter,LargeScale,off); %設置優(yōu)化參數(shù)x,fval,exitflag,output=fminunc(jxyh4_3fun,x0,options)結果為：x = 3.6297 4.2242fval = -2.4844exitflag = 1output = iterations: 9 funcCount: 39 stepsize: 1 firstorderopt: 1.1495e-007 algorithm: medium-scale: Quasi-Newton line search message: Optimization terminated:

17、 relative infinity-norm of gradient less than options.TolFun.共六十六頁 Gradients Iteration Func-count f(x) Step-size infinity-norm 0 3 3.16506 1.12 1 9 -0.985033 2.38021 0.932 2 12 -1.87199 1 1.01 3 21 -2.46878 0.0614031 0.159 4 24 -2.47689 1 0.112 5 27 -2.48442 1 0.006 6 30 -2.48443 1 0.00133 7 33 -2.4

18、8444 1 4.06e-005 8 36 -2.48444 1 6.42e-006 9 39 -2.48444 1 1.15e-007 .共六十六頁4.4 在MATLAB中，多變量非線性無約束優(yōu)化問題(wnt)也可以調用函數(shù) fminsearch fminsearch函數(shù)是一個M文件，其算法基于單純形法進行計算適合解決二次以上的問題，并問題為高度非線性時，具有穩(wěn)定性但是不適合求解平方和問題函數(shù) fminsearch 調用格式 ：x = fminsearch(fun, x0 ) %給定初值x0，求fun 函數(shù)的局部極小點xx0可以是標量，矢量，矩陣x = fminsearch(fun, x0,

19、options ) %用options參數(shù)指定的優(yōu)化參數(shù)進行求解x,fval = fminsearch() %返回x處目標函數(shù)的值到fvalx,fval,exitflag = fminsearch() %返回exitflag值描述fminunc 函數(shù)的退出條件x,fval,exitflag,output = fminsearch() %返回包含優(yōu)化信息的結構輸出例4.4 求使方程的最小化當給定初值x0=1; 求其最小值x編一個M文件y=jxyh4_4fun (x).m,返回x處的函數(shù)值f.function f=jxyh4_4fun(x)f=e(-x)+x2;共六十六頁輸入下列系數(shù)x0=1;op

20、tions=optimset(Display,iter,LargeScale,off); %設置優(yōu)化參數(shù)(cnsh)x,fval,exitflag,output=fminsearch(jxyh4_4fun,x0,options)結果為： Gradients Iteration Func-count f(x) Step-size infinity-norm 0 3 3.16506 1.12 1 9 -0.985033 2.38021 0.932 2 12 -1.87199 1 1.01 3 21 -2.46878 0.0614031 0.159 4 24 -2.47689 1 0.112 5 2

21、7 -2.48442 1 0.006 6 30 -2.48443 1 0.00133 7 33 -2.48444 1 4.06e-005 8 36 -2.48444 1 6.42e-006 9 39 -2.48444 1 1.15e-007 x = 0.3518 fval = 0.8272exitflag = 1output = iterations: 16 funcCount: 32 algorithm: Nelder-Mead simplex direct search message: 1x196 char共六十六頁5.1 有約束的非線性規(guī)劃問題的MATLAB實現(xiàn) 這些問題通常用基于K-

22、T（Kuhn-Tucker)方程解的方法，直接計算拉格朗日乘子用擬牛頓法更新過程這些方法稱為二次規(guī)劃法(SQP)利用MATLAB解決有約束的非線性規(guī)劃問題問題調用函數(shù) fmincon ：利用 fmincon 函數(shù)求解(qi ji)多變量的有約束的最小值：其數(shù)學模型為:式中，x, b, beq, lb和ub為矢量，A和Aeq為矩陣，c(x)和ceq(x)為函數(shù)，返回標量f(x),c(x)和ceq(x)可以是非線性函數(shù)函數(shù) fmincon 調用格式 ：x=fmincon(fun,x0,A,b) 給定初值x0,求fun函數(shù)的極小值x，fun函數(shù)的約束條件為A*x=b, x0可以是標量，矢量，矩陣。x

23、=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq) 最小化fun函數(shù),約束條件為Aeq*x=beq和A*x=b。若沒有不等式存在，則令Aeq=,beq=。共六十六頁x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub) 定義設計(shj)變量x的下界lb和上界ub。使得有l(wèi)b=x=ub。若無等式則有：Aeq=,beq=;x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)在上面的基礎上，在nonlcon參數(shù)中提供非線性不等式c(x)和等式ceq(x)，通常也以M文件的方式調用。Fmincon函數(shù)也要求c(x)=0且ceq(x)=0當無邊界

24、存在時，令lb=，ub=x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options) 用options參數(shù)指定的優(yōu)化參數(shù)進行求解x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options,P1,P2) 提供另外的參數(shù)P1,P2等，傳輸給目標函數(shù)fun和nonlin如果不需要這些變量，則傳遞空矩陣到A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon, options中x,fval= fmincon(.) 將解x處的目標函數(shù)的值返回到fval參數(shù)中x,fval,exitflag=fmincon(.) 返回exitf

25、lag的值,描述函數(shù)的輸出條件x,fval,exitflag,output=fmincon(.) 返回包含優(yōu)化作息的結構輸出x,fval,exitflag,output,lambad=fmincon() 返回解x處包含拉格朗子乘子的lambad參數(shù)x,fval,exitflag,output,lambad,grad=fmincon() 返回解x處fun函數(shù)的梯度x,fval,exitflag,output,lambad,grad,hess=fmincon() 返回解x處fun函數(shù)的hess矩陣各調用格式中，nonlcon參數(shù)計算非線性不等式約束c(x)2 Gc= % 不等式的梯度 Gceq=

26、%等式的梯度end共六十六頁5.1 計算 有約束的非線性規(guī)劃問題(wnt)例題5-1 試求點集A(x1 , x2 , x3)和點集B (x4 , x5 , x6)之間的最短距離。限制條件為 由圖可知，點集A(x1 , x2 , x3)在球面(qimin)上取點。點集B (x4 , x5 , x6)在圓柱面上取點。因此該問題就是求這兩個幾何體間的最短距離的約束優(yōu)化問題，其數(shù)學模型為。共六十六頁 編一個M文件=jxyh5_1fun (x).m,返回x處的函數(shù)值f.function f=jxyh5_1fun(x)f=(x(1)-x(4)2+(x(2)-x(5)2+(x(3)-x(6)2; %目標函數(shù)

27、的M文件 由于約束條件中非線性約束,所以要編寫一個描述非線性約束條件的M文件jxyh5_1con(x).m:function c,ceq=jxyh5_1con(x)c(1)=x(1)2+x(2)2+x(3)2-5;c(2)=(x(4)-3)2+x(5)2-1;ceq=; 下一步給定初值,給定變量的下限約束,并調用優(yōu)化過程。輸入(shr)下列系數(shù)A=;b=;Aeq=;beq=;lb=-sqrt(5),-sqrt(5),-sqrt(5),2,-1,4;ub=sqrt(5),sqrt(5),sqrt(5),4,1,8;x0=1,1,1,3,1,5;options=optimset(Display,i

28、ter,LargeScale,off);x,fval,exitflag,output,lambad=fmincon(jxyh5_1fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,jxyh5_1con,options)共六十六頁結果(ji gu)為：max Directional First-order Iter F-count f(x) constraint Step-size derivative optimality Procedure 0 7 20 0 1 16 9.62539 0.3057 0.5 -14.7 3.5 2 24 5.7322 1.444 1 0.789 3.87 3

29、32 4.43066 0.7698 1 0.477 1.11 4 40 5.016 0.5863 1 1.23 1.92 5 48 4.71722 0.2918 1 -0.00998 0.269 6 56 4.99527 0.004732 1 0.282 0.0741 7 64 5 1.48e-006 1 0.00473 0.000828 8 72 5 1.116e-007 1 1.29e-006 0.000102 Hessian modified Optimization terminated: Magnitude of directional derivative in search di

30、rection less than 2*options.TolFun and maximum constraint violation is less than options.TolCon.Active inequalities (to within options.TolCon = 1e-006): lower upper ineqlin ineqnonlin 4 1 6 2共六十六頁x = 1.0000 -0.0000 2.0000 2.0000 -0.0000 4.0000fval = 5.0000exitflag = 5output = iterations: 8 funcCount

31、: 72 stepsize: 1 algorithm: medium-scale: SQP, Quasi-Newton, line-search firstorderopt: 1.0234e-004 cgiterations: message: 1x172 charlambad = lower: 6x1 double upper: 6x1 double eqlin: 0 x1 double eqnonlin: 0 x1 double ineqlin: 0 x1 double ineqnonlin: 2x1 double 所以當x = 1.0000 -0.0000 2.0000 2.0000 -

32、0.0000 4.0000時, 目標(mbio)函數(shù)有最小值 fval = 5.0000。 exitflag =5，表示過程成功收斂于x處。 Output輸出變量顯示民收斂中的迭代次數(shù)、目標函數(shù)計算次數(shù)步長算法等信息。 Lambda則包含模型信息。共六十六頁5-2 求解含有等式約束問題的最優(yōu)解，并用MATlab計算(j sun)下列約束優(yōu)化問題。MATLAB過程 編一個M文件jxyh5_2fun(x).m,返回x處的函數(shù)值f。function f=md65fun(x)f=x(2)+x(1); 由于約束條件中非線性約束,所以要編寫一個描述非線性約束條件的M文件jxyh5_2con(x).m:fu

33、nction c,ceq=jxyh5_2con(x)c=log(x(1);ceq=x(1)+x(2)-1; 下一步給定初值,給定變量的下限約束,并調用優(yōu)化過程。options=optimset(Display,iter,LargeScale,off);x0=1,0;x,fval,exitflag,output,lambda=fmincon(md65fun,x0,md65con,options)共六十六頁計算結果為: max Directional First-order Iter F-count f(x) constraint Step-size derivative optimality P

34、rocedure 0 3 1 0 1 7 1 0 1 0 2 Optimization terminated: first-order optimality measure less than options.TolFun and maximum constraint violation is less than options.TolCon.Active inequalities (to within options.TolCon = 1e-006): lower upper ineqlin ineqnonlin 1x = 1 0 fval = 1 exitflag = 1output =

35、iterations: 1 funcCount: 7 stepsize: 1 algorithm: medium-scale: SQP, Quasi-Newton, line-search firstorderopt: 1.1102e-016 cgiterations: message: 1x143 charlambda = lower: 2x1 double upper: 2x1 double eqlin: 0 x1 double eqnonlin: -1.0000 ineqlin: 0 x1 double ineqnonlin: 0共六十六頁 5-3 如圖所示，已知跨距為L、截面為矩性的簡

36、支梁，其材料密度為，許用彎曲應力為，允許撓度為，在梁的中點作用一集中載荷P，梁的截面寬度b不得小于，現(xiàn)要求設計此梁，使其重量(zhngling)最輕，試寫出其優(yōu)化數(shù)學模型。若 試用MATlab優(yōu)化工具計算?？紤]簡支梁自重后數(shù)學模型 令 x1=b, x2=h轉化數(shù)學模型共六十六頁MATLAB過程 編一個M文件(wnjin)jxyh5_3fun(x).m,返回x處的函數(shù)值f。function f=jxyh5_3fun(x)f=5*1e4*0.05*5*x(1)*x(2)*9.8; 由于約束條件中非線性約束,所以要編寫一個描述非線性約束條件的M文件 jxyh5_3con(x).m:function

37、c,ceq=jxyh5_3con(x)c(1)=6*(5*1e4*5/4+7.8*1e3*9.8*x(1)*x(2)*52/8)/(x(1)*x(2)2)-7*1e7;c(2)=5*7.8*1e3*9.8*x(1)*x(2)*54/(384*2*1e11*x(1)*x(2)2/12)+5*1e4*53/(48*2*1e11*x(1)*x(2)2/12)-0.005;ceq=; 下一步給定初值,給定變量的下限約束,并調用優(yōu)化過程。options=optimset(Display,iter,LargeScale,off);x0=0.08,0.08;lb=0.05,0;ub=;x,fval,exit

38、flag,output,lambda=fmincon(jxyh5_3fun,x0,lb,ub,jxyh5_3con, options)共六十六頁計算結果為: max Directional First-order Iter F-count f(x) constraint Step-size derivative optimality Procedure 0 3 784 6.803e+008 Infeasible start point 1 7 805.593 3.745e+008 1 -168 6.57e+003 2 11 1149.16 1.507e+008 1 344 4.43e+003

39、Hessian modified 3 15 1548.41 5.302e+007 1 399 2.73e+003 4 19 1889.97 1.342e+007 1 342 2.53e+003 5 23 2046.3 1.485e+006 1 156 1.71e+003 6 27 2068.21 2.326e+004 1 21.9 139 7 31 2068.56 5.913 1 0.354 0.195 8 35 2068.56 0 1 9.01e-005 3.06e-005 Hessian modified Optimization terminated: first-order optim

40、ality measure less than options.TolFun and maximum constraint violation is less than options.TolCon.Active inequalities (to within options.TolCon = 1e-006): lower upper ineqlin ineqnonlin 1 1x = 0.0500 0.3377fval = 2.0686e+003exitflag = 1共六十六頁output = iterations: 8 funcCount: 35 stepsize: 1 algorith

41、m: medium-scale: SQP, Quasi-Newton, line-search firstorderopt: 7.2760e-012 cgiterations: message: 1x143 charlambda = lower: 2x1 double upper: 2x1 double eqlin: 0 x1 double eqnonlin: 0 x1 double ineqlin: 0 x1 double ineqnonlin: 2x1 double 所以當x = 0.0500 0.3377 時, 目標函數(shù)有最小值 fval = 2.0686e+003 。 exitflag

42、 =1，表示過程成功收斂于x處。 Output輸出變量顯示民收斂中的迭代次數(shù)、目標函數(shù)計算次數(shù)步長算法等信息(xnx)。 Lambda則包含模型信息。共六十六頁 例5-4 有約束的非線性規(guī)劃問題機床主軸結構優(yōu)化設計 試對圖8-2所示的主軸進行優(yōu)化設計,已知主軸內徑d=30mm,外力 F=15000N。設計變量數(shù) n=3,約束函數(shù)個數(shù)m=5,設計函數(shù)初值，上下限如下表：MATLAB的實現(xiàn)過程(guchng):編一個目標函數(shù)的M文件jxyh5_4fun(x).m,返回x處的函數(shù)值f。function f=jxyh5_4fun(x)f=(x(1)-x(4)2+(x(2)-x(5)2+(x(3)-x(

43、6)2;設計變量初始值48010060下限3006090上限650140150共六十六頁 由于約束條件中非線性約束,所以要編寫一個描述非線性約束條件的M文件jxyh5_4con(x).m:function c,ceq=jxyh5_4con(x)c(1)=64*15000*x(3)2*(x(1)+x(3)/(3*210*103*pi*(x(2)4 -304)/0.05-1;c(2)=1-x(1)/300;c(3)=1-x(2)/60;c(4)=x(2)/140-1;c(5)=1-x(3)/90;ceq=; 下一步給定初值,給定變量(binling)的下限約束,并調用優(yōu)化過程。A=;b=;Aeq=

44、;beq=;lb=300,60,90;ub=650,140,150;x0=480,100,120;options=optimset(Display,iter,LargeScale,off);x,fval,exitflag,output,lambda,hess=fmincon(jxyh5_4fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,jxyh5_4con, options)共六十六頁計算結果為: max Directional First-order Iter F-count f(x) constraint Step-size derivative optimality Procedure

45、 0 4 33.4485 -0.155 1 9 32.904 -0.1304 1 -0.542 0.73 2 14 29.9777 0.01382 1 -2.86 0.438 3 19 29.8701 3.683e-005 1 -0.107 0.387 4 24 20.3387 0 1 -8.49 0.511 5 29 19.9955 0.000541 1 -0.342 0.0563 6 34 19.997 1.56e-007 1 0.00154 0.0561 7 39 16.1698 -2.22e-016 1 -3.62 0.413 Hessian modified 8 44 11.3669

46、 0 1 -4.38 0.115 9 49 11.2481 0.0002055 1 -0.119 0.00587 10 54 11.2494 2.679e-008 1 0.00134 2.83e-006 11 59 11.2494 0 1 1.75e-007 2e-009 Hessian modified Optimization terminated: first-order optimality measure less than options.TolFun and maximum constraint violation is less than options.TolCon.Acti

47、ve inequalities (to within options.TolCon = 1e-006): lower upper ineqlin ineqnonlin 1 1 3 2 5共六十六頁lambda = lower: 3x1 double upper: 3x1 double eqlin: 0 x1 double eqnonlin: 0 x1 double ineqlin: 0 x1 double ineqnonlin: 2x1 doublehess = 7350000 36750000 0所以當 x = 300 60 120 時, 目標函數(shù)有最小值 fval = 2.2050e+00

48、9exitflag =1，表示過程成功收斂于x處。Output輸出變量顯示民收斂中的迭代次數(shù)、目標函數(shù)計算次數(shù)步長算法(sun f)等信息。Lambda則包含模型信息。共六十六頁x = 300.0000 74.8898 90.0000fval = 11.2494exitflag = 1output = iterations: 11 funcCount: 59 stepsize: 1 algorithm: medium-scale: SQP, Quasi-Newton, line-search firstorderopt: 2.0000e-009 cgiterations: message: 1

49、x144 charlambda = lower: 3x1 double upper: 3x1 double eqlin: 0 x1 double eqnonlin: 0 x1 double ineqlin: 0 x1 double ineqnonlin: 5x1 doublehess = 0.0288 0.3579 0.0288 所以當x = 300.0000 74.8898 90.0000時, 目標函數(shù)(hnsh)有最小值 fval = 11.2494 。 exitflag =1，表示過程成功收斂于x處。 Output輸出變量顯示民收斂中的迭代次數(shù)、目標函數(shù)計算次數(shù)步長算法等信息。 Lamb

50、da則包含模型信息。共六十六頁 例5-5 求兩級圓柱齒輪減速器優(yōu)化設計 已知某兩級斜齒輪圓柱齒輪減速器（圖8-6）的參數(shù)：高速級輸入功率P1=6.2kw,轉速n1=1450 r/min總傳動比i=31.5，齒輪寬度(kund)系數(shù)為 齒輪材料和熱處理：大齒輪45號鋼正火187207小齒輪45號鋼調質228 255HBS，工作壽命年以上要求按照總中心矩a最小來確定傳動方案 解 1) 建立優(yōu)化設計的數(shù)學模型將影響齒輪傳動總中心矩a的六個獨立參數(shù)作為設計變量：x=(mn1, mn2, z1, z3, i, )=(x1, x2, x3, x4, x5, x6)Mn1,mn2分別為高速級和低速級齒輪副的

51、模數(shù)；z1, z3分別為高速級和低速級小齒輪齒數(shù)；i 為高速級傳動比； 為齒輪副螺旋角齒輪傳動總中心矩a最小的目標函數(shù)：性能約束包括齒面強度條件，齒根彎曲強度條件，高速級大齒輪和低速軸不干涉條件等根據(jù)齒輪材料與熱處理規(guī)范，得到齒面許用接觸應力，齒根許用彎曲應力和根據(jù)傳遞功率和轉速，在齒輪強度計算條件中代入有關數(shù)據(jù)：高速軸轉矩 中間速軸轉矩，高速軸和低速軸齒輪載荷系數(shù)和共六十六頁由齒輪傳動的約束(yush)條件，可建立以下約束(yush)模型：共六十六頁MATLAB的實現(xiàn)過程:編一個目標(mbio)函數(shù)的M文件jsqyh_f(x).m,返回x處的函數(shù)值f。function f=jsqyh_f(x

52、)hd=pi/180;a1=x(1)*x(3)*(1+x(5);a2=x(2)*x(4)*(1+31.5/x(5);cb=2*cos(x(6)*hd);f=(a1+a2)/cb;由于約束條件中非線性約束,所以要編寫一個描述非線性約束條件的M文件jxyh5_4con(x).m:function c,ceq=jsqyh_g(x)hd=pi/180;c(1)=cos(x(6)*hd)3-3.079e-6*x(1)3*x(3)3*x(5);c(2)=cos(x(6)*hd)3*x(5)2-1.701e-4*x(2)3*x(4)3;c(3)=cos(x(6)*hd)2-9.939e-5*(1+x(5)*

53、x(1)3*x(3)2;c(4)=cos(x(6)*hd)2*x(5)2-1.706e-4*(31.5+x(5)*x(2)3*x(4)2;c(5)=x(5)*(2*(x(1)+50)*cos(x(6)*hd)+x(1)*x(3)*x(5)-x(2)*x(4)*(31.5+x(5);ceq=;共六十六頁下一步給定初值,給定變量的下限(xixin)約束,并調用優(yōu)化過程。x0=2,4,18,20,6.4,10;lb=2,3.5,14,16,5.8,8;ub=5,6,22,22,7,15;A=-1,0,0,0,0,0;1,0,0,0,0,0;0,-1,0,0,0,0;0,1,0,0,0,0;0,0,-

54、1,0,0,0;0,0,1,0,0,0;0,0,0,-1,0,0;0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,-1,0;0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,-1;0,0,0,0,0,1;b=-2,5,-3.5,6,-14,22,-16,22,-5.8,7,-8,15;options=optimset(Display,iter,LargeScale,off);x,fval,exitflag,output,hess=fmincon(jsqyh_f,x0,A,b,lb,ub,jsqyh_g,options) *兩級斜齒輪傳動中心距優(yōu)化設計最優(yōu)解* fprintf(1, 高速級齒輪副模數(shù) Mn1=

55、%3.4f mmn, x(1)fprintf(1, 低速級齒輪副模數(shù) Mn2=%3.4f mmn, x(2) fprintf(1, 高速級小齒輪齒數(shù) z1=%3.4f n, x(3)fprintf(1, 低速級小齒輪齒數(shù) z3=%3.4f n, x(4)fprintf(1, 高速級齒輪副傳動比 i1=%3.4f n, x(5)fprintf(1, 齒輪副螺旋角 beta=%3.4f 度n, x(6)fprintf(1, 減速器總中心距 a12=%3.4f n, fval)c=jsqyh_g(x); *最優(yōu)點的性能約束函數(shù)值* fprintf(1, 高速級齒輪副接觸強度約束函數(shù)值 c1=%3.4

56、f n, c(1)fprintf(1, 低速級齒輪副接觸強度約束函數(shù)值 c2=%3.4f n, c(2)fprintf(1, 高速級小齒輪齒根彎曲強度約束函數(shù)值 c3=%3.4f n, c(3)fprintf(1, 低速級大齒輪齒根彎曲強度約束函數(shù)值 c4=%3.4f n, c(4)fprintf(1, 大齒輪齒頂與軸不干涉幾何約束函數(shù)值 c5=%3.4f n, c(5)共六十六頁計算結果為: max Directional First-order Iter F-count f(x) constraint Step-size derivative optimality Procedure 0

57、7 375.784 0.03573 Infeasible start point 1 15 332.936 0.003444 1 -38.3 11.7 2 23 325.641 0.0002048 1 -7.29 7.49 Hessian modified 3 31 320.224 0.5862 1 -6.57 11.3 Hessian modified 4 39 319.748 0.1063 1 -0.613 8.6 Hessian modified 5 47 319.932 8.485e-006 1 0.185 8.33 6 55 319.92 5.166e-005 1 -0.0145 9

58、.62 Hessian modified 7 65 319.84 0.0008468 0.25 -0.468 8.51 Hessian modified 8 73 319.378 0.007561 1 -0.81 9.09 9 81 319.671 0 1 0.292 9.43 10 89 317.382 0.002578 1 -2.23 9.21 Hessian modified 11 97 317.419 0 1 0.0368 0.544 12 105 317.419 2.984e-013 1 -9.42e-005 8.34e-005 Hessian modified twice 13 1

59、13 317.419 7.105e-015 1 -2.78e-011 1.26e-006 Hessian modified twice Optimization terminated: first-order optimality measure less than options.TolFun and maximum constraint violation is less than options.TolCon.Active inequalities (to within options.TolCon = 1e-006): lower upper ineqlin ineqnonlin 5

60、9 1 6 11 2共六十六頁x = 2.0461 3.6059 18.5158 16.0000 5.8000 8.0000fval =317.4186exitflag = 1output = iterations: 13 funcCount: 113 stepsize: 1 algorithm: medium-scale: SQP, Quasi-Newton, line-search firstorderopt: 3.0005e-007 cgiterations: message: 1x143 charhess = lower: 6x1 double upper: 6x1 double eq