1、2022/7/201第十一章位 移 法2022/7/20211-1 位移法的基本概念ABCPAA荷載效應包括：內力效應：M、Q、N；位移效應：AABCPAA附加剛臂附加剛臂限制結點位移，荷載作用下附加剛臂上產生附加力矩施加力偶使結點產生的角位移，以實現結點位移狀態的一致性。ABC2022/7/203ABCPAA實現位移狀態可分兩步完成：分析：1）疊加兩步作用效應，約束結構與原結構的荷載特征及位移特征完全一致，則其內力狀態也完全相等；2）結點位移計算方法：對比兩結構可發現，附加約束上的附加內力應等于0，按此可列出基本方程。1）在可動結點上附加約束，限制其位移，在荷載作用下，附加約束上產生附加約束

2、力；2）在附加約束上施加外力，使結構發生與原結構一致的結點位移。2022/7/204P12345BBAB選擇基本未知量物理條件幾何條件平衡條件變形條件2022/7/205位移法基本作法小結:（1）基本未知量是結點位移；（2）基本方程的實質含義是靜力平衡條件；（3）建立基本方程分兩步單元分析（拆分）求得單元剛度方程，整體分析（組合）建立位移法基本方程，解方程求出基本未知量;（4）由桿件的剛度方程求出桿件內力，畫彎矩圖。ABABCPCPA關于剛架的結點未知量2022/7/2061MABMBA11-2 等截面桿件的剛度方程一、由桿端位移求桿端彎矩（1）由桿端彎矩 MABMBAlMABMBA利用單位荷

3、載法可求得設同理可得1 桿端力和桿端位移的正負規定 桿端轉角A、B ，弦轉角 /l都以順時針為正。 桿端彎矩對桿端以順時針為正 對結點或支座以逆時針為正。E I2022/7/207E IMABMBAlMABMBA（2）由于相對線位移引起的A和B以上兩過程的疊加我們的任務是要由桿端位移求桿端力，變換上面的式子可得：2022/7/208AB用力法求解單跨超靜定梁X1X21/l1/lX2=112M1MX1=11令2022/7/209可以將上式寫成矩陣形式2022/7/2010AMAB幾種不同遠端支座的剛度方程（1）遠端為固定支座AMABMBA因B = 0，代入(1)式可得（2）遠端為固定鉸支座因MB

4、A = 0，代入(1)式可得AMABMBA（3）遠端為定向支座因代入（2）式可得lEIlEIlEI2022/7/2011由單位桿端位移引起的桿端力稱為形常數。單跨超靜定梁簡圖MABMBAQAB= QBA4i2i=1ABAB1AB10AB=13i0AB=1ii02022/7/2012二、由荷載求固端反力mABEIqlEIqlmBA 在已知荷載及桿端位移的共同作用下的桿端力一般公式（轉角位移方程）：2022/7/201311-3 無側移剛架的計算 如果除支座以外，剛架的各結點只有角位移而沒有線位移，這種剛架稱 為無側移剛架。ABC3m3m6mEIEIP=20kNq=2kN/mBqBEIPBEIMB

5、AMABMBC1、基本未知量B2、固端彎矩3、列桿端轉角位移方程設4、位移法基本方程（平衡條件）2022/7/201416.72 15.8511.573.21MBAMBCqBEIPBEIMBAMABMBC3、列桿端轉角位移方程4、位移法基本方程（平衡條件）5、各桿端彎矩及彎矩圖M圖(1)變形連續條件:在確定基本未知量時得到滿足；(2)物理條件: 即剛度方程；(3)平衡條件: 即位移法基本方程。超靜定結構必須滿足的三個條件:2022/7/2015例1、試用位移法分析圖示剛架。4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I05I04I03I03I0（1）基本未知量 B、 C（2）桿端彎矩Mi

6、 j計算線性剛度i，設EI0=1，則梁2022/7/2016柱(3)位移法方程梁4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I。5I。4I。3I。3I。2022/7/2017(4) 解方程(相對值)(5)桿端彎矩及彎矩圖梁柱AB CDFE43.546.924.514.73.451.79.84.89M圖2022/7/2018小 結1、有幾個未知結點位移就應建立幾個平衡方程；2、單元分析、建立單元剛度方程是基礎；3、當結點作用有集中外力矩時，結點平衡方程式中應包括 外力矩。ABCDqqPMMMCBMCDC2022/7/2019AEIlQABQBA復習角變位移方程中的桿端剪力：ABCDiiqq

7、QBAQDC其中繪制彎矩圖的方法：（1）直接由外荷載及剪力計算；（2）由角變位移方程計算。ABCD11-4 有側移剛架的計算2022/7/2020Ph1h2h3I1I2I3例：作圖示剛架的彎矩圖。忽略梁的軸向變形。解：1）基本未知量：2）各柱的桿端剪力側移剛度J=3i/h2，則：Q1=J1， Q2=J2， Q3=J3Q1+Q2+Q3=PJ1+J2+J3=PPQ1Q2Q3iihJPJM=Qihi=iiJPJQ=P柱頂剪力：柱底彎矩：JhPJ11JhPJ33JhPJ223）位移法方程X=0M結點集中力作為各柱總剪力，按各柱的側移剛度分配給各柱。再由反彎點開始即可作出彎矩圖。2022/7/2021E

8、 IlQABQBAAB其中lABCDiii1=qq復習角變位移方程中的桿端剪力：繪制彎矩圖.M（ql2）QDCQBA2022/7/2022MABQABMBAQBAMBCQCDQDCMDC例1. 用位移法分析圖示剛架。解（1）基本未知量B、（2）單元分析BC8m4mii2iABCD3kN/m2022/7/2023MABQABMBAQBAMBCQCDQDCMDCBCMBCMBA（3）位移法方程QBA + QCD =0.(2a)QBAQCD（4）解位移法方程2022/7/2024（4）解位移法方程（5）彎矩圖MAB= -13.896 kNmMBA= -4.422kNmMBC= 4.422kNmMDC

9、= -5.685kNmQBA= -1.42kNQCD= -1.42kNABCD13.8964.4224.4225.685M圖（kNm）2022/7/2025ABCDEFmq例2. 用位移法分析圖示剛架。思路MBAMBCMCBMBEMEBMCDmMCFMFCQBEQCF基本未知量為：2022/7/2026PA BCDEFpQCEQCAQCB基本未知量為：MCEMCAMCDQCAQCEMCAMCDMCE2022/7/202711-5 位移法的基本體系一、超靜定結構計算的總原則: 欲求超靜定結構先取一個基本體系,然后讓基本體系在受力方面和變形方面與原結構完全一樣。 力法的特點：基本未知量多余未知力；

10、基本體系靜定結構；基本方程位移條件 （變形協調條件） 位移法的特點：基本未知量 基本體系 基本方程 獨立結點位移平衡條件？一組單跨超靜定梁2022/7/2028二、基本未知量的選取2、結構獨立線位移：（1）忽略軸向力產生的軸向變形-變形后的曲桿與原直桿等長；（2）變形后的曲桿長度與其弦等長。上面兩個假設導致桿件變形后兩個端點距離保持不變。 CDABCD12每個結點有兩個線位移，為了減少未知量，引入與實際相符的兩個假設： 1、結點角位移數： 結構上可動剛結點數即為位移法計算的結點角位移數。2022/7/2029線位移數也可以用幾何方法確定。140 將結構中所有剛結點和固定支座，代之以鉸結點和鉸支

11、座，分析新體系的幾何構造性質，若為幾何可變體系，則通過增加支座鏈桿使其變為無多余聯系的幾何不變體系，所需增加的鏈桿數，即為原結構位移法計算時的線位移數。2022/7/20308m4mii2iABCD3kN/mF1PABCDF2PABCD1F11F21ABCD2F12F2222F11+F12+F1P=0(1a)F21+F22+F2P=0(2a)三、選擇基本體系四、建立基本方程2022/7/20311.5i3(2i)2i4i2ABCDF12F22F11+F12+F1P=0(1a)F21+F22+F2P=0(2a)ABCD1F11F21ii2i=1k11k21=1k12k22=0.(1)=0.(2)

12、k111+ k122+F1Pk211+ k222+F2Pk2104i6ik111.5ik12k22k11=10ik21= -1.5ik12= -1.5i2022/7/2032F1PABCDF2P4kNm4kNmMPF2P040F1P-6F1P=4kNmF2P=-6kN位移法方程：六、繪制彎矩圖4.4213.625.691.4M(kNm)ABCD五、計算結點位移2022/7/2033k11 1+ k12 2+ + k1n n+F1P=0 k21 1+ k22 2 + + k2n n+F2P=0 kn1 1+ kn2 2+ + knn n+FnP=0 121=1k11k21k12k222=1k11

13、0+k21 1 k21=k12= k12 1+k22 0ki j=kj i 具有n個獨立結點位移的超靜定結構：2022/7/2034例、試用位移法分析圖示剛架。（1）基本未知量（2）基本體系計算桿件線性剛度i，設EI0=1，則4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I05I04I03I03I04m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I05I04I03I03I0 1 23 1、 2、32022/7/2035 1=14m4m5m4m2mABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/2（3）位移法方程k11 1+ k12 2+ k13 3+F1P=0 k21 1+ k22 2+

14、 k23 3+F2P=0 k31 1+ k32 2+ k33 3+F3P=0 （4）計算系數：k11、k12、k13、k21、k22、k23、k31、k32、k333241.53k11=3+4+3=10k12=k21=2k13=k31=?ABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/2 2=134221k22=4+3+2=9k23=k32=?2022/7/2036 3=14m4m5m4m2mABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/21/21/29/89/8k33=(1/6)+(9/16)=35/48k31=k13= 9/8k32=k23= 1/2（5）計算自由項：F1P、F2P、F3

15、P4m4m5m4m2mABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/2q=20kN/m(1/8) 2042=40(1/12) 2052=41.7F1P=4041.7= 1.7F2P=41.7F3P=02022/7/2037（6）建立位移法基本方程：（7）解方程求結點位移：（8）繪制彎矩圖ABCDFEM圖（kNm）18.642.847.826.723.814.953.68.93.97（9）校核結點及局部桿件的靜力平衡條件的校核。11-6 對稱結構的計算PPMMQN對稱結構在對稱荷載作用下變形是對稱的，其內力圖的特點是：對稱結構在反對稱荷載作用下變形是反對稱的，其內力圖的特點是：利用這些特點，可

16、以取結構的一半簡化計算。NQ一、單數跨(1)對稱荷載 1F1Pk11iBE2iAB4iABMPM1k11 1 + F1P = 0(2)反對稱荷載PPABCDE 1 2 3ABEl/2P反彎點ABZ3 1ABEl/2q二、偶數跨(1)對稱荷載qqCCM = Q = 0PPIN = 0PP反彎點P無限短跨+PP(2)反對稱荷載12kN/m12kN/m12kN/m12kN/m24kN/m4m4m4mEIEIEI2EIEI2424 2472724208208M反對稱M對稱921643252M圖(kN.m)4812kN/m12kN/mX1444M196MP12kN/mEIEIEI4m4m24 2472M反對稱12kN/m12kN/m等代結構2472=112kN/m12kN/m12kN/mEIEI4m4m等代結構ACBMMMACABA0=+=iA2-=qiA0168=+qiMACA2=qiMAAC4=qiMAAB164+=qiMABA162-=q=20kN.m=8kN.m=8