1、第四部分 函數的三要素習題一、基本知識點1函數的定義域函數的定義域是指 求定義域的步驟寫出使函數式有意義的不等式 (組 )；解不等式組；寫出函數定義域 (注意用區間或集合的形式寫出 )常見基本初等函數的定義域分式函數中分母不等于零偶次根式函數、被開方式大于或等于 0. TOC o 1-5 h z 一次函數、二次函數的定義域為 yax (a0 且 a1)，ysin x，ycos x，定義域均為 y tan x 的定義域為 函數 f(x)x0的定義域為 2函數的值域在函數 yf(x)中，與自變量 x 的值相對應的 y 的值叫 ， 叫函數的值域基本初等函數的值域 TOC o 1-5 h z y kx

2、 b (k 0)的值域是 yax2 bx c (a0)的值域：當 a0 時，值域為 ；當 a0 且 a 1)的值域是 ylogax (a0 且 a 1)的值域是 y sin x， y cos x 的值域是 y tan x 的值域是 3函數解析式的求法換元法：若已知 f(g(x)的表達式，求 f( x)的解析式，通常是令 g(x)t，從中解出 x (t)， 再將 g(x)、x 代入已知解析式求得 f (t)的解析式，即得函數 f(x)的解析式，這種方法叫做換元 法，需注意新設變量“ t”的范圍待定系數法： 若已知函數類型， 可設出所求函數的解析式， 然后利用已知條件列方程 (組 )， 再求系數1

3、消去法：若所給解析式中含有 f(x)、f x 或 f(x)、f(x)等形式，可構造另一個方程，通過 解方程組得到 f(x)(4)配湊法或賦值法：依據題目特征，能夠由一般到特殊或由特殊到一般尋求普遍規律，求 出解析式1函數的定義域是研究函數問題的先決條件，它會直接影響函數的性質，所以要樹立定義 域優先的意識2(1)如果函數 f(x)的定義域為 A，則 f(g(x)的定義域是使函數 g(x)A的 x 的取值范圍 (2)如果 f(g(x) 的定義域為 A，則函數 f(x)的定義域是函數 g(x)的值域(3)fg(x) 與 fh(x)聯系的紐帶是 g(x)與 h(x)的值域相同 二、小練習1(函數 y

4、 x 1的定義域為2 x1函數 y2的定義域是 _6 x x2(函數 f(x) log2(3x1)的值域為 _1 1 x2(已知 f 2，則 f(x) _x 1 x2函數 f(x)lg 1 x2的定義域為A 0,112345()C1,1B ( 1,1)D (， 1)(1， )三、題型總結 題型一 求函數的定義域 例 1 1)函數 f(x) 3x lg(3 x1)的定義域為 1x ln x 1(2)函數 y ln 2x1 的定義域為 x23x 4探究提高 (1) 求函數的定義域，其實質就是以函數解析式所含運算有意義為準則，列出不 等式或不等式組，然后求出它們的解集，其準則一般是：分式中，分母不為

5、零； 偶次根式，被開方數非負；對于 y x0，要求 x 0； 對數式中，真數大于 0，底數大于 0 且不等于 1； 由實際問題確定的函數，其定義域要受實際問題的約束 (2)抽象函數的定義域要看清內、外層函數之間的關系1 log1練習(1)若 f(x)2x1，則 f(x)的定義域為()A.C.12，012，B.12，0D(0， )(2) 若函數 f(x)x4mx24mx3的定義域為R，則實數 m 的取值范圍是題型二 抽象函數的定義域例 2 若函數 f(2x) 的定義域是 1,1，求 f(log 2x)的定義域探究提高 已知 f(x)的定義域是 a，b，求 fg(x)的定義域，是指滿足 ag(x)

6、 b 的 x 的取 值范圍，而已知 fg(x) 的定義域是 a， b，指的是 xa，b練習 已知 f(x)的定義域是 0,4 ，求：f(x2)的定義域； (2)f(x1)f(x 1)的定義域題型三 求函數的值域例 3 求下列函數的值域：x3yx22x (x0,3)；(2)y ；x1y x 1 2x；(4) y log3x log x3 1.探究提高 (1)當所給函數是分式的形式， 且分子、 分母是同次的， 可考慮用分離常數法； (2) 若與二次函數有關，可用配方法；(3) 若函數解析式中含有根式，可考慮用換元法或單調性法； (4)當函數解析式結構與基本不等式有關，可考慮用基本不等式求解；(5)

7、分段函數宜分段求解； (6)當函數的圖像易畫出時，還可借助于圖像求解練習 求下列函數的值域：x2xyx2x 1； (2)y 2x 1 134x.題型四 求函數的解析式11例 4 (1)已知 f xx x2 12，求 f(x)的解析式；xx2已知 f x 1 lg x，求 f(x)的解析式；已知 f(x)是一次函數，且滿足 3f(x 1)2f(x1)2x17，求 f(x)的解析式；1已知 f(x)滿足 2f(x)f x 3x，求 f(x)的解析式x探究提高 函數解析式的求法湊配法：由已知條件 f(g(x) F (x)，可將 F(x)改寫成關于 g(x)的表達式， 然后以 x 替代 g(x)， 便

8、得 f(x)的解析式；待定系數法：若已知函數的類型 (如一次函數、二次函數 )，可用待定系數法；換元法：已知復合函數 f(g(x)的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍；1方程思想：已知關于 f(x)與 f x 或 f( x)的表達式，可根據已知條件再構造出另外一個等x式組成方程組，通過解方程組求出f(x)練習 給出下列兩個條件：f( x 1) x 2 x；f(x)為二次函數且 f(0) 3，f(x 2)f(x) 4x2.試分別求出 f(x)的解析式練習 已知 f(x)2log3x，x1,9 ，試求函數 yf(x)2f(x2)的值域 解 f(x)2 log 3x 的定義域為 1,9 ，

9、要使 f(x)2f(x2)有意義，必有 1 x9 且 1 x2 9，1x3，3 分 yf(x)2f(x2)的定義域為 1,3 4 分又 y (2 log3x)22log3x2(log3x 3)2 3.6 分 x 1,3 ， log3x 0,1 ，8 分y max (1 3)2313，ymin(03)236.10 分函數 yf(x)2f(x2)的值域為 6,13 12 分四、知識擴展1函數的定義域是函數的靈魂，它決定了函數的值域，并且它是研究函數性質的基礎因 此，我們一定要樹立函數定義域優先意識 求函數的定義域關鍵在于列全限制條件和準確求解方程或不等式(組 )；對于含有字母參數的函數定義域，應注

10、意對參數取值的討論；對于實際問題的定義域一定要使實際問題有意義2函數值域的幾何意義是對應函數圖像上點的縱坐標的變化范圍利用函數幾何意義，數 形結合可求某些函數的值域3函數的值域與最值有密切關系，某些連續函數可借助函數的最值求值域，利用配方法、 判別式法、基本不等式求值域時，一定注意等號是否成立，必要時注明“ ” 成立的條件4求函數的值域，不但要重視對應關系的作用，而且還要特別注意定義域對值域的制約作用函數的值域常常化歸為求函數的最值問題，要重視函數單調性在確定函數最值過程中的作 用特別要重視實際問題的最值的求法5對于定義域、值域的應用問題，首先要用“ 定義域優先 ” 的原則，同時結合不等式的性

11、質限時訓練 A 組(時間： 60 分鐘 )、選擇題13x22A. ，3，2C. 3，1函數 ylg(2 x1)的定義域是B. 12，D. 12，2已知函數 f(x) lg(x 3)的定義域為 M，A x|x 31g(x) 1 的定義域為 N，則 M N 等于 ( 2xBx|3x2C x|x23已知 f1x1xD x|3x 21 x21 x2，則 f(x)的解析式為 1x2()xA. 21x22xC.1x2BD2x1x2x1x24已知 a為實數，則下列函數中，定義域和值域都有可能是 R 的是 ( ) Af(x)x2aBf(x)ax2 1Cf(x)ax2x1D f(x)x2ax1二、填空題 TOC

12、 o 1-5 h z 5函數 y log2 4 x 的定義域是 116若函數 y f(x)的值域是 2， 3 ，則函數 F(x) f(x) 的值域是 2 f x7(2011 上海)設 g(x)是定義在 R 上，以 1 為周期的函數，若函數 f(x)xg(x)在0,1上的 值域為 2,5，則 f(x)在0,3 上的值域為 三、解答題 8已知 f(x)是二次函數，若 f(0)0，且 f(x1) f(x) x1.(1) 求函數 f(x)的解析式；求函數 y f( x2 2)的值域限時訓練 B 組一、選擇題1設 f(x)lg 2x，則 f x f 2 的定義域為 ( )2 x2 xA(4,0)(0,4

13、)B(4， 1)(1,4)C(2， 1)(1,2)D(4， 2)(2,4) x2，|x|1，2設 f(x)g(x)是二次函數，若 f(g(x)的值域是 0， )，則 g(x)的值域是 ( )x，|x|b，則函數 f(x) log1 (3x2)*log 2x2的值域為2()A (， 0B. log 23， 02DRC. log23，二、填空題f x24已知函數 y f(x)的定義域是 0,2 ，那么 g(x)1lg x1 的定義域是 5已知函數 y 1x x 3的最大值為 M，最小值為 m，則 Mm的值為 6設 x 2，則函數 y x 5 x2 的最小值是 x1三、解答題17若函數 f(x)2x

14、2xa 的定義域和值域均為 1，b(b1)，求 a、b 的值8已知函數 f(x)x24ax2a6 (aR)(1) 若函數的值域為 0， )，求 a 的值；若函數的值域為非負數，求函數g(a)2a|a 3|的值域要點梳理答案1(1)使函數有意義的自變量的取值范圍R R x|xR且x k 2， kZx|xR 且 x 02 (1)函數值 函數值的集合(2)R4acb24a，4acb24a 1,1 Ry|yR 且 y0 (0， ) R 基礎自測 11,2)(2， ) 2. x|3x0，且 x1 當 x1 時， log 3x0 ，于是y log3x1log3x12 log3xlog13x11；當 0 x

15、1 時， log3x0，于是ylog3xlog13x11 log3x log3x 1 21 3.故函數的值域是 (，31， )變式訓練 3 解(1)y11x2x1又 xxx1 x21 2f(t)t22，4 43，01x2x143，1y0， t1 且 x t2 1， f(t ) lg2即 f(x)lg x 1 (x1)設 f(x) kxb，3f(x1)2f(x1) 3k(x1)b2k(x1)bkx5kb2x17. k 2k2 ，即. f(x) 2x7.5k b17b 712f(x)f x 3x，132f f(x) .xx1f(x)2xx (x 0)x變式訓練 4 解 (1)令 t x 1，t1，

16、x(t1)2.則 f(t)(t1)2 2(t1)t21，f(x)x21 (x1)(2)設 f(x)ax2bxc，又 f(0) c3.f(x) ax2bx 3，f(x 2) f( x) a(x2)2b(x2) 3(ax2bx3) 4ax 4a2b4x2. 4a 4a14a2b2b 1f(x) x2 x 3.課時規范訓練A組1 C 2.B 3.C 4.C105 (， 3 6. 2， 372,78解 (1)設 f(x)ax2bxc (a0)，又 f(0) 0，c0，即 f(x)ax2 bx.又 f(x1)f(x)x 1. a(x1)2b(x1)ax2bxx1.1a2(2a b)x a b (b 1)x 1，2abb11b2 ，解得ab111f(x)21x212x.(2)由(1)知 yf(x2 2)12(x22)221(x22)12(x4 3x22)21 x2 32 2 81， 31 當 x2 3時， y 取最小值 1.28函數 y f(x2 2)的值域為1 ， 8， .B組9 9 2 281B 2.C 3.A 4.(1， 10) ( 10， 2 5. 2 6. 37解 f(x)21(x1)2a21.其對稱軸為 x1，即 1，b為 f(x)的單調遞增區間1 f(x)minf(1)a2 11f(x)maxf(b)2b2