1、2021-2022高考數學模擬試卷考生請注意：1答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1 下列與的終邊相同的角的表達式中正確的是()A2k45(kZ)Bk360(kZ)Ck360315(kZ)Dk (kZ)2在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與

2、亮度滿足，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1,2）.已知太陽的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為( )A1010.1B10.1Clg10.1D1010.13設全集為R，集合，則ABCD4已知函數與的圖象有一個橫坐標為的交點，若函數的圖象的縱坐標不變，橫坐標變為原來的倍后，得到的函數在有且僅有5個零點，則的取值范圍是( )ABCD5已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊經過點，則（ ）ABCD6一只螞蟻在邊長為的正三角形區域內隨機爬行，則在離三個頂點距離都大于的區域內的概率為( )ABCD7在三棱錐中，則三棱錐外接球的表面積是（ ）ABCD8已知

3、全集，函數的定義域為，集合，則下列結論正確的是ABCD9根據散點圖，對兩個具有非線性關系的相關變量x，y進行回歸分析，設u= lny，v=(x-4)2，利用最小二乘法，得到線性回歸方程為=0.5v+2，則變量y的最大值的估計值是（ ）AeBe2Cln2D2ln210已知，是雙曲線的兩個焦點，過點且垂直于軸的直線與相交于，兩點，若，則的內切圓的半徑為（ ）ABCD11已知為虛數單位，實數滿足，則 ( )A1BCD12某部隊在一次軍演中要先后執行六項不同的任務，要求是：任務A必須排在前三項執行，且執行任務A之后需立即執行任務E，任務B、任務C不能相鄰，則不同的執行方案共有（ ）A36種B44種C4

4、8種D54種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13如圖，橢圓：的離心率為，F是的右焦點，點P是上第一角限內任意一點，若，則的取值范圍是_14已知定義在上的函數的圖象關于點對稱,若函數圖象與函數圖象的交點為,則_15設函數，則_.16如圖所示，在正三棱柱中，是的中點，, 則異面直線與所成的角為_.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知點為圓：上的動點，為坐標原點，過作直線的垂線（當、重合時，直線約定為軸），垂足為，以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求點的軌跡的極坐標方程；（2）直線的極坐標方程為，連接并延長交于，求的最大值.18

5、（12分）在直角坐標系中，曲線的參數方程為以為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，設點在曲線上，點在曲線上，且為正三角形（1）求點，的極坐標；（2）若點為曲線上的動點，為線段的中點，求的最大值19（12分）如圖中，為的中點，.（1）求邊的長；（2）點在邊上，若是的角平分線，求的面積.20（12分）已知矩陣,二階矩陣滿足.（1）求矩陣;（2）求矩陣的特征值21（12分）交通部門調查在高速公路上的平均車速情況，隨機抽查了60名家庭轎車駕駛員，統計其中有40名男性駕駛員，其中平均車速超過的有30人，不超過的有10人；在其余20名女性駕駛員中，平均車速超過的有5人，不超過的有15人.（1）完成下面的列聯

6、表，并據此判斷是否有的把握認為，家庭轎車平均車速超過與駕駛員的性別有關；平均車速超過的人數平均車速不超過的人數合計男性駕駛員女性駕駛員合計（2）根據這些樣本數據來估計總體，隨機調查3輛家庭轎車，記這3輛車中，駕駛員為女性且平均車速不超過的人數為，假定抽取的結果相互獨立，求的分布列和數學期望.參考公式：其中臨界值表：0.0500.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.82822（10分）如圖，已知，分別是正方形邊，的中點，與交于點，都垂直于平面，且，是線段上一動點.（1）當平面，求的值；（2）當是中點時，求四面體的體積.參考答案一、選擇題：本題共12小

7、題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1C【解析】利用終邊相同的角的公式判斷即得正確答案.【詳解】與的終邊相同的角可以寫成2k (kZ)，但是角度制與弧度制不能混用，所以只有答案C正確.故答案為C【點睛】（1）本題主要考查終邊相同的角的公式，意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理能力.(2) 與終邊相同的角=+ 其中.2A【解析】由題意得到關于的等式，結合對數的運算法則可得亮度的比值.【詳解】兩顆星的星等與亮度滿足,令,.故選A.【點睛】本題以天文學問題為背景,考查考生的數學應用意識信息處理能力閱讀理解能力以及指數對數運算.3B【解析】分析：由題意首先

8、求得，然后進行交集運算即可求得最終結果.詳解：由題意可得：，結合交集的定義可得：.本題選擇B選項.點睛：本題主要考查交集的運算法則，補集的運算法則等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.4A【解析】根據題意，求出，所以，根據三角函數圖像平移伸縮，即可求出的取值范圍.【詳解】已知與的圖象有一個橫坐標為的交點，則，若函數圖象的縱坐標不變，橫坐標變為原來的倍， 則，所以當時，在有且僅有5個零點， ，.故選：A.【點睛】本題考查三角函數圖象的性質、三角函數的平移伸縮以及零點個數問題，考查轉化思想和計算能力.5A【解析】由已知可得，根據二倍角公式即可求解.【詳解】角的頂點與原點重合，始邊與軸的正半

9、軸重合，終邊經過點，則，.故選：A.【點睛】本題考查三角函數定義、二倍角公式，考查計算求解能力，屬于基礎題.6A【解析】求出滿足條件的正的面積，再求出滿足條件的正內的點到頂點、的距離均不小于的圖形的面積，然后代入幾何概型的概率公式即可得到答案【詳解】滿足條件的正如下圖所示：其中正的面積為，滿足到正的頂點、的距離均不小于的圖形平面區域如圖中陰影部分所示，陰影部分區域的面積為.則使取到的點到三個頂點、的距離都大于的概率是.故選：A.【點睛】本題考查幾何概型概率公式、三角形的面積公式、扇形的面積公式的應用，考查計算能力，屬于中等題7B【解析】取的中點，連接、，推導出，設設球心為，和的中心分別為、，可

10、得出平面，平面，利用勾股定理計算出球的半徑，再利用球體的表面積公式可得出結果.【詳解】取的中點，連接、，由和都是正三角形，得，則，則，由勾股定理的逆定理，得.設球心為，和的中心分別為、.由球的性質可知：平面，平面，又，由勾股定理得.所以外接球半徑為.所以外接球的表面積為.故選：B.【點睛】本題考查三棱錐外接球表面積的計算，解題時要分析幾何體的結構，找出球心的位置，并以此計算出球的半徑長，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.8A【解析】求函數定義域得集合M，N后，再判斷【詳解】由題意，故選A【點睛】本題考查集合的運算，解題關鍵是確定集合中的元素確定集合的元素時要注意代表元形式，集合是函數的定義域

11、，還是函數的值域，是不等式的解集還是曲線上的點集，都由代表元決定9B【解析】將u= lny，v=(x-4)2代入線性回歸方程=-0.5v+2，利用指數函數和二次函數的性質可得最大估計值.【詳解】解：將u= lny，v=(x4)2代入線性回歸方程=0.5v+2得：，即，當時，取到最大值2，因為在上單調遞增，則取到最大值.故選：B.【點睛】本題考查了非線性相關的二次擬合問題，考查復合型指數函數的最值，是基礎題,.10B【解析】設左焦點的坐標， 由AB的弦長可得a的值，進而可得雙曲線的方程，及左右焦點的坐標，進而求出三角形ABF2的面積，再由三角形被內切圓的圓心分割3個三角形的面積之和可得內切圓的半

12、徑.【詳解】由雙曲線的方程可設左焦點，由題意可得，由，可得，所以雙曲線的方程為: 所以，所以三角形ABF2的周長為設內切圓的半徑為r，所以三角形的面積，所以，解得，故選：B【點睛】本題考查求雙曲線的方程和雙曲線的性質及三角形的面積的求法，內切圓的半徑與三角形長周長的一半之積等于三角形的面積可得半徑的應用，屬于中檔題.11D【解析】 ，則 故選D.12B【解析】分三種情況，任務A排在第一位時，E排在第二位；任務A排在第二位時，E排在第三位；任務A排在第三位時，E排在第四位，結合任務B和C不能相鄰，分別求出三種情況的排列方法，即可得到答案【詳解】六項不同的任務分別為A、B、C、D、E、F，如果任務

13、A排在第一位時，E排在第二位，剩下四個位置，先排好D、F，再在D、F之間的3個空位中插入B、C，此時共有排列方法：；如果任務A排在第二位時，E排在第三位，則B，C可能分別在A、E的兩側，排列方法有，可能都在A、E的右側，排列方法有； 如果任務A排在第三位時，E排在第四位，則B，C分別在A、E的兩側；所以不同的執行方案共有種【點睛】本題考查了排列組合問題，考查了學生的邏輯推理能力，屬于中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】由于點在橢圓上運動時，與軸的正方向的夾角在變，所以先設，又由，可知，從而可得，而點在橢圓上，所以將點的坐標代入橢圓方程中化簡可得結果【詳解】設，則，

14、由，得，代入橢圓方程，得，化簡得恒成立，由此得，即，故故答案為：【點睛】此題考查的是利用橢圓中相關兩個點的關系求離心率，綜合性強，屬于難題 144038.【解析】由函數圖象的對稱性得：函數圖象與函數圖象的交點關于點對稱，則，,即，得解【詳解】由知：得函數的圖象關于點對稱又函數的圖象關于點對稱則函數圖象與函數圖象的交點關于點對稱則故，即本題正確結果：【點睛】本題考查利用函數圖象的對稱性來求值的問題，關鍵是能夠根據函數解析式判斷出函數的對稱中心，屬中檔題15【解析】由自變量所在定義域范圍，代入對應解析式，再由對數加減法運算法則與對數恒等式關系分別求值再相加，即為答案.【詳解】因為函數，則因為，則故

15、故答案為：【點睛】本題考查分段函數求值，屬于簡單題.16【解析】要求兩條異面直線所成的角，需要通過見中點找中點的方法，找出邊的中點，連接出中位線，得到平行，從而得到兩條異面直線所成的角，得到角以后，再在三角形中求出角【詳解】取的中點E,連AE, ,易證，為異面直線與所成角，設等邊三角形邊長為，易算得在故答案為【點睛】本題考查異面直線所成的角，本題是一個典型的異面直線所成的角的問題，解答時也是應用典型的見中點找中點的方法，注意求角的三個環節，一畫，二證，三求三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）；（2）【解析】（1）設的極坐標為，在中，有，即可得結果；（2）設射

16、線：，圓的極坐標方程為，聯立兩個方程，可求出，聯立可得，則計算可得，利用三角函數的性質可得最值.【詳解】（1）設的極坐標為，在中，有，點的軌跡的極坐標方程為；（2）設射線：，圓的極坐標方程為，由得：，由得：，當，即時，的最大值為.【點睛】本題考查極坐標方程的應用，考查三角函數性質的應用，是中檔題.18（1），； （2）.【解析】（1）利用極坐標和直角坐標的互化公式，即得解；（2）設點的直角坐標為，則點的直角坐標為將此代入曲線的方程，可得點在以為圓心，為半徑的圓上，所以的最大值為，即得解.【詳解】（1）因為點在曲線上，為正三角形，所以點在曲線上又因為點在曲線上，所以點的極坐標是，從而，點的極坐標

17、是（2）由（1）可知，點的直角坐標為，B的直角坐標為設點的直角坐標為，則點的直角坐標為將此代入曲線的方程，有即點在以為圓心，為半徑的圓上，所以的最大值為【點睛】本題考查了極坐標和參數方程綜合，考查了極坐標和直角坐標互化，參數方程的應用，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于中檔題.19（1）10；（2）.【解析】（1）由題意可得cosADBcosADC，由已知利用余弦定理可得：9+BD252+9+BD2160，進而解得BC的值（2）由（1）可知ADC為直角三角形，可求SADC6，SABC2SADC12，利用角平分線的性質可得，根據SABCSBCE+SACE可求SBCE的值【詳解】（

18、1）因為在邊上，所以，在和中由余弦定理，得，因為，所以，所以，.所以邊的長為10.（2）由（1）知為直角三角形，所以，.因為是的角平分線，所以.所以，所以.即的面積為.【點睛】本題主要考查了余弦定理，三角形的面積公式，角平分線的性質在解三角形中的綜合應用，考查了轉化思想和數形結合思想，屬于中檔題20（1）（2）特征值為或【解析】（1）先設矩陣,根據,按照運算規律,即可求出矩陣.（2）令矩陣的特征多項式等于,即可求出矩陣的特征值【詳解】解：（1）設矩陣由題意,因為,所以 ,即所以,（2）矩陣的特征多項式,令,解得或,所以矩陣的特征值為1或【點睛】本題主要考查矩陣的乘法和矩陣的特征值,考查學生的劃歸與轉化能力和運算求解能力.21（1）填表見解析；有的把握認為，平均車速超過與性別有關（2）詳見解析【解析】（1）根據題目所給數據填寫列聯表，計算出的值，由此判斷出有的把握認為，平均車速超過與性別有關.（2）利用二項分布的知識計算出分布列和數學期望.【詳解】（1）平均車速超過的人數平均車速不超過的人數合計男性駕駛員301040女性駕駛員51520合計352560因為，所以有的把握認為，平均車速超過與性別有關.（2）服從，即，.所以的分布列