1、笫二章 一元函數微分學一. 求導數、微分與二階導數1. 基本求導表重點記住 11-3. 設函數, 則 A. B. C. D. 【11-3、B】10-2. 設函數, 則A. B. C. D. 【10-2、C】09-2. 設, 則A. B. C. D. 【09-2、B】08-22. 設函數, 求. 【08-22. 】08-3. 設函數, 則 A. B. C. D. 【08-3. A】07-3. 設函數, 則A. B. C. D. 【07-3. 】06-3. 巳知,則 A. B. C. D. 【06-3. D】05-2. 設,則等于A. B. C. D. 【05-2. A】04-9. 設函數,則=

2、_ . 【04-9. 】03-9. 設函數,則= _ . 【03-9. 】00-8.設函數,則=_ . 【00-8. 】2.乘除求導法則：11-22. 設函數, 求. 【11-22. 】09-3. 設函數, 則A. B. C. D. 【09-3、C】08-13. 設函數 則. 【08-13. 】07-13. 設函數 則 【07-13. 】04-19. 設函數,求. 【04-19. 】03-10. 設函數,則= _ . 【03-10. 】02-10. 設函數,則=_. 【02-10. 】02-3. 設函數可導,若,則等于 A. B. C. D. 【02-3. A】01-22. 設函數,求.【01

3、-22. 】00-18. 設函數, 求.【00-18. 】3. 復合函數求導法則（簡單型）(由外到里逐層處理)10-3. 設函數, 則A. B. C. D. 【10-3、B】06-2. 設函數, 則 A. B. C. D. 【06-2. B】05-3. 設, 則等于A. B. C. D. 【05-3. 】04-18. 設函數,求.【04-18. 】02-10. 設函數,則=_.【02-10. 】00-10.設函數,則=_.【00-10. 】00-2. 下列函數中,在點處導數等于零的是A. B. C. D. 【00-2. B】樣題-12. 設函數,則= _ . 【樣題-12. 】樣題-23. 設

4、函數，其中可導，求. 【樣題-23. 】(與復合函數記號有關的題型)要點：巳知，怎樣求出？（見01-9）命名法：令，解出，原式為，把更名為，得，04-20. 設函數,求.【04-20. 】02-23. 設函數,且,求.【02-23. 因為,所以,則】02-11. 設函數,則=_. 【02-11. 】01-9. 設函數,則= _ . 【01-9. 】樣題-13. 設函數,則= _ .【樣題-13. 】4. 復合函數與四則運算混合型(由外到里逐層處理)07-22. 設函數, 求 【07-22. 】03-18. 設函數,求. 【03-18. 】02-17. 設函數,求. 【02-17. 】5. 二階

5、導數(連續求二次導數)11-14. 設函數，則 . 【11-14. 】10-15. 設函數 則. 【10-15. 】09-15. 函數 則. 【09-15. 】08-14. 設函數 則. 【08-14. 】07-14. 設函數 則. 【07-14. 】06-15. 設函數 則. 【06-15. 】05-14. 設函數 則. 【05-14. 】04-21. 設函數,求. 【04-21. 】03-11. 設函數,則的50階導數=_. 【03-11. 】02-12. 設函數,則=_. 【02-12. 2】01-8. 設函數,則=_ . 【01-8. 】00-20. 若 , 求. 98-10. 設 (

6、其中 , 則 = _ .【98-10. 】【00-20. ，】樣題-15. 設函數的階導數, 則 【樣題-15. 】6. 變限積分求導（參見第三章相應條款）7. 微分計算(先求導,然后乘上：)11-5. 設函數, 則 A. B. C. D. 【11-5、C】10-22. 設函數, 求.【10-22. 則】09-22. 設函數, 求. 【09-22. 則】08-5. 設函數, 則 A. B. C. D. 【08-5. D】07-5. 設函數, 則 A. B. C. D. 【07-5. C 】06-22. 設函數, 求 【06-22. , 】05-22. 設函數, 求.【05-22. , .】03

7、-19. 設函數,求.【03-19. 】01-7. 設函數,則=_ . 【01-7. 】00-9.設函數,則= _ . 【00-9. ， 也可寫成. 注意】8.* 冪指函數求導（對數求導法或e-ln法）*01-23. 設函數,求. 【01-23. 笫2項那個導數屬冪指函數求導問題，采用對數求導法，先記,兩邊取對數，然后對求導，得 即，代回（*）式，得 . 】二. 隱函數求導數與微分 (做法分兩步：（1）原式兩邊對求導，注意把視為的抽象函數；（2）解出)注：一元隱函數求導數與微分的題目在2000-2011年中皆沒有出現，這里只找了94-99年的3個題目作參考. 學員務必把精力集中到第四章二元隱函

8、數求偏導數和全微分上，因為連續多年都有一個這樣的大題目。99-19. 設函數由方程所確定,試求 .【99-19. 解法1，原式兩邊對變量求導，并注意到是的函數:，得到 , 解法2, 記 ，】98-20. 設函數由方程確定,試求 .【98-20. , 關于求導,，解出. 另一解法: 令, , 】94-20. 求由方程所確定的隱函數的微分. 【94-20. 】三. 導數應用1. 斜率與切線 (記住公式：（1）斜率； （2）點斜式直線方程 ；（3）法線斜率與切線斜率是負倒數關系。)11-13. 曲線在點處的切線方程為. 【11-13. 】11-2. 已知函數的導函數, 則曲線在處切線的斜率是A. B

9、. C. D. 【11-2、C】10-16. 設曲線在處的切線斜率為2, 則. 【10-16. 】09-14. 已知在處的切線平行于直線，則. 【09-14. 】06-16. 曲線在點處的切線方程為 【06-16. 】05-15. 曲線在點處的切線斜率_. 【05-15. 】04-10. 曲線在點處的切線的斜率為_ . 【04-10. 】03-26. 己知曲線為,直線為. (2)求曲線的平行于直線的切線方程.【03-26. (1)由,得,故所求面積為 (2) 設曲線上的切點為,因為的斜率,所以 得,故切點為,切線方程為即】03-20. 求曲線在點處的法線方程.【03-20. 由求得，所以切線斜

10、率，法線斜率，所以法線方程為】2. 單調與極值(主要用到一階導數，由其正負號確定單調性,又通過求一階導數為零的那些點(稱為駐點)尋找極值點)要點： 核心是找一階導數為零的那些點(稱為駐點) （1）怎樣找單調區間？利用上述駐點把定義域分成多個區間，然后在每個區間中由一階導數正負號確定單調性。 （2）怎樣找極值與極值點？在上述駐點（或導數不存在的點）中尋找極值點，有二種檢驗方法，詳見教科書。11-15. 函數的單調增加區間是. 【11-15.】11-4. 已知函數在區間單調增加，則使成立的的取值范圍是 A. B. C. D. 【11-4、A】10-4. 下列函數在區間內單調減少的是 A. B. C

11、. D. 【10-4、D】09-4. 函數在上連續，且在內 則下列不等式成立的是 A. B. C. D. 【09-4因為，單調遞增,這樣由得到，故選B】08-28. 設函數在處取得極大值.（1）求常數和.（2）求函數的極小值.【08-28. (1). 根椐題意解得(2) 】08-4. 巳知在區間內為單調減函數，且，則的取值范圍是 A. B. C. D. 【08-4. B】07-15. 函數的單調增加區間是_. 【07-15. ( 注：寫成也對)】07-4. 設函數在處連續，當時，；當時，則 A. 是極小值 B. 是極大值 C.不是極值 D.既是極大值又是極小值 【07-4. A】06-26.

12、求函數的單調區間與極值.【06-26. 函數的定義域為，,令,得駐點; 列表 函數的單調增區間為函數的單調減區間為;為極大值，為極小值； 注：如果將寫成寫成,寫成也對。】06-14. 函數的極值點為. 【06-14. 】06-4. 下列函數在內單調增A. B. C. D. 【06-4. A】05-26. 求函數的單調區間和極值.【05-26. 列表】05-13. 函數 的駐點為. 【05-13. 找一階導數為零的點，得駐點為】04-26. 求函數的單調區間和極值.【04-26. 】04-5.函數在點處的二階導數存在且，則下列結論正確的是A. 不是函數的駐點 B. 不是函數的極值點 C. 是函數

13、的極小值點 D.是函數的極大值點 【04-5. C】01-10. 設函數,則其單調遞增區間為_. 【01-10. 】樣題-3.函數在點處的二階導數存在且，則下列結論正確的是A. 是函數的極小值點 B. 是函數的極大值點 C. 不是函數的駐點 D. 不是函數的極值點 【04-5. A】3. 凹凸與拐點(主要用到二階導數，由其正負號確定凹凸性,又通過求二階導數為零的那些點找尋拐點)要點： 核心是找二階導數為零的那些點(稱為嫌疑拐點) （1）由二階導數正負號確定凹凸性； （2）通過求二階導數為零的那些點(嫌疑拐點)找尋拐點，注意拐點答案中必須同時寫出橫坐標與縱坐標，10-14. 曲線的拐點坐標為 【

14、10-14. 】09-16. 曲線的拐點坐標. 【09-16. 】08-15. 曲線的拐點坐標. 【08-15. 】05-4. 曲線的拐點坐標是 A. B. C. D. 【05-4. B】03-21. 求曲線的拐點. 【03-21. 函數的定義域為，.令，得.列表 - 所以曲線的拐點坐標為】樣題-14. 曲線的拐點坐標是_. 【樣題-14.】單調極值，凹凸拐點綜合題11-26. 求函數的單調區間、極值和曲線的凹凸區間. 【11-26. 函數的定義域為，令，得。，得。函數的單調增區間為， 函數的單調減區間為，曲線的凸區間為，曲線的凹區間為】09-26. 求函數的單調區間、極值、凹凸區間和拐點.【

15、09-26. 的定義域，, 令,得，令,得 所以函數的單調減少區間為;單調增加區間為,為極小值,函數的凹區間為;凸區間為,拐點坐標為】02-26. 求函數的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點.【02-26. 函數的定義域為. 令,得. 令,得,列表得()12+0-0+-0+所以，單調遞增區間為;單調遞減區間為(0,2);極大值為;極小值為.曲線的凹區間為;凸區間為;拐點為(1，-3) 】樣題-4. 設函數在區間內滿足且，則函數在此區間內( )A.是單調減少且凹的; B.是單調減少且凸的;C.是單調增加且凹的; D.是單調增加且凸的. 【樣題-4.D】樣題-26. 求函數的單調區間、極值及此

16、函數曲線的凹凸區間和拐點、水平和鉛直漸近線.【樣題-26. 函數的定義城為.令,得;令,得,列表得所以函數的單調增加區間為, 函數的單調減少區間為,為函數的極大值.函數曲線的凸區間為, 函數曲線的凹區間為,函數曲線的拐點為.因為,所以為曲線的水平漸近線,為曲線的鉛直漸近線. 】4. 最大值與最小值,應用題11-27. 在拋物線與軸所圍成的平面區域內，作一內接矩形，其一條邊 在軸上（如圖所示). 設長為,矩形面積為. (1) 寫出的表達式; (2) 求的最大值.【11-27(1）. (2) . 令，解得 (舍去)。,則為極大值,由于駐點唯一,且實際問題有最大值, 所以為最大值】10-26. 在半

17、徑為R的半圓內作一個內接矩形,其中的一邊在直徑上,另外兩個頂點在圓周上(如圖所示).當矩形的長和寬各為多少時矩形面積最大?最大值是多少?【10-26.如圖,設軸通過半圓的直徑,軸垂直且平分直徑.設,則，矩形面積 . 令,得(舍去負值). 由于只有唯一駐點,根據實際問題, 必為所求.則，所以,當矩形的長為,寬為時矩形面積最大,且最大值】 08-26. 設拋物線與軸的交點為、，在它們所圍成的平面區域內，以線段 為下底作內接等腰梯形（如圖所示）.設梯形上底長為，面積為.（1）寫出的表達式；（2）求的最大值. 【08-26. . 】07-26. 上半部為等邊三角形下半部為矩形的窗戶（如圖所示），其周長

18、為12米，為使窗戶的面積達到最大，矩形的寬應為多少米？.【07-26. 依題意 由(1)得 ，代入(2)得 令，得 由所給問題的實際意義知（米）即為所求。 】01-28. 將邊長為的正三角形鐵皮剪去三個全等的四邊形(如圖所示的陰影部分),然后將其沿虛線折起,做成一個無蓋的正三棱柱盒子,當圖中的取何值時,該盒子的容積最大？【01-28. 由于邊長為的等邊三角形面積為,于是三棱柱體體積為, 其中,駐點為 (舍).為極大點,又因唯一,故為最大值點.答:當時容積最大,為.】00-19. 求函數在區間上的最大值與最小值. 【00-19. , 駐點邊界點. 答: 最小值,最大值 】5. 用導數求極限(洛必達法則)(見第一章相應條款) ( 對于,型,直接用洛必達公式,對于型, 設法化為,型 )6不等式證明（利用單調性方法）10-27. 證明:當