1、第6講函數的單調性1理解函數的單調性及其幾何意義2會運用函數圖象理解和研究函數的性質3能夠熟練地應用定義判斷與證明函數在某區間上的單調性知識梳理1函數的單調性的定義給定區間D上的函數f(x)，若對于任意的x1，x2D，當x1x2時，都有f(x1)f(x2)，則f(x)為區間D上的增函數對于任意的x1，x2D，當x1x2時，都有f(x1)f(x2)，則f(x)為區間D上的減函數2函數的單調區間的定義如果函數yf(x)在某個區間D上是增函數或是減函數，那么就說函數yf(x)在這一區間具有(嚴格的)單調性，區間D叫做yf(x)的單調區間.如果函數是增函數，則稱區間D為增區間，如果函數是減函數，則稱區

2、間D為減區間.3單調函數的圖象特征增函數的圖象是上升的(如圖1)，減函數的圖象是下降的(如圖2)圖1圖21單調性定義的等價形式：設x1，x2a，b，且x1x2，那么(x1x2)f(x1)f(x2)(x1x2)f(x1)f(x2)fx1fx2x1x2fx1fx2x1x2f(x)在a，b上是增函數；f(x)在a，b上是減函數.2判斷單調性的常用結論(1)若f(x)，g(x)均為增(減)函數，則f(x)g(x)為增(減)函數(2)若f(x)為增(減)函數，則f(x)為減(增)函數(3)yfg(x)是定義在M上的函數，若f(x)與g(x)的單調性相同，則其復合函數fg(x)為增函數；若f(x)，g(x

3、)的單調性相反，則其復合函數fg(x)為減函數.(4)已知函數yf(x)，給定區間D，若對D內任意的x，f(x)0，則函數在區間D上單調遞增；若對D內任意的x，f(x)0，則函數在區間D上單調遞減.Af(x)Bf(x)(x1)2熱身練習1下列函數f(x)中，滿足“對任意x1，x2(0，)，當x1x2時，都有f(x1)f(x2)”的是(D)1xCf(x)exDf(x)ln(x1)根據單調性的定義，滿足條件的函數f(x)在(0，)上為增函數，分別作出選項A，B，C，D的圖象(如下圖)，根據圖象特征進行判斷AyBycosx1x1x故yln(x1)在(1,1)上為增函數；選項D中，y2x()x在R上為

4、減函數，故y2x在(1，42由圖象可知，應選D.2(2016北京卷)下列函數中，在區間(1,1)上為減函數的是(D)11xCyln(x1)Dy2x11選項A中，y在(，1)和(1，)上為增函數，故y在(1,1)上為增函數；選項B中，ycosx在(1,1)上先增后減；選項C中，yln(x1)在(1，)上為增函數，121)上為減函數3已知函數f(x)x22ax3在區間1,2上具有單調性，則實數a的取值范圍為(D)A1,2B(1,2)C(，1)(2，)D(，12，)因為二次函數的單調性以對稱軸為分界線，故頂點的橫坐標不能落在區間(1,2)內，所以a2或a1.4函數f(x)axloga(x1)在0,1

5、上的最大值與最小值之和為a，則a的值為(B)11A.B.C2D4因為yax與yloga(x1)的單調性相同，所以f(x)axloga(x1)是單調函數，其最大值和最小值分別在端點處取得，所以最值之和為f(0)f(1)a0loga1aloga2a.1所以loga210，所以a2.5(2018杭州期中)函數f(x)log(4x2)的單調遞增區間為0,2).又因為0)在(0，a)上是減函數f(x1)f(x2)(x1)(x2)(x1x2)()(x1x2)(12x1x2所以函數f(x)x在(0，a)上是減函數(2)函數yx(a0)是一種常用函數，俗稱“雙勾函數”，其圖象如下圖所示單調性的判定與證明ax因

6、為沒有要求一定要用定義進行證明，因此，除定義證明外，還可考慮用導數進行證明(方法一)設0 x1x2a，則aax1x2aax1x2xxa)因為0 x1x2a，所以x1x20,0 x1x20，即f(x1)f(x2)，axax2a(方法二)因為0 xa，所以f(x)1x2x20)在(a，)上是增函數由圖象，你能寫出它的單調區間嗎？能得出它的哪些性質？axf(x1)f(x2)(x1)(x2)(x1x2)()(x1x2)(12x1x2所以函數f(x)x在(a，)上是增函數(方法一)設ax1x2，則aax1x2aax1x2xxa)因為ax1x2，所以x1x2a，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)a，

7、所以f(x)1x2x20，所以f(x)在(a，)上是增函數復合函數的單調性(2017全國卷)函數f(x)ln(x22x8)的單調遞增區間是()A(，2)B(，1)C(1，)D(4，)由x22x80，得x4或x0，所以x2或x1.故ux23x2在(2，)上遞增，在(，1)上遞減1212恒成立，設af()，bf(2)，cf(3)，則a，b，c的大小關系為()因為af()f()，且2x11時，(x2)f(x1)(x2x1)abBcbaCacbDbac(2)(2018昭通月考)已知函數f(x)是定義域(3,3)上的增函數，如果f(3m)ac.33m3，(2)依題意3m233，解得2m6.3mm23，(

8、1)D(2)A(1)單調性是函數的重要性質，它的應用非常廣泛，主要表現在兩個方面：根據自變量的大小關系得到函數值的大小關系，如比較大小、求函數的最值等；根據函數值的大小關系得到自變量的大小關系，如解有關函數不等式等(2)解函數不等式的一般步驟：第一步，(定性)確定函數f(x)在給定區間上的單調性；第二步，(轉化)將函數不等式轉化為f(M)f(N)的形式；第三步，(去f)運用函數的單調性“去掉”函數的抽象符號，轉化為一般的不等式或不等式組；第四步，(求解)解不等式或不等式組確定解集13(1)已知f(x)log2x1x，若x1(1,2)，x2(2，)，則(B)Af(x1)0，f(x2)0Bf(x1

9、)0Cf(x1)0，f(x2)0，f(x2)0 x3，x0，(2)已知函數f(x)若f(2x2)f(x)，則實數x的取值范圍是(D)lnx1，x0.A(，1)(2，)B(，2)(1，)C(1,2)D(2,1)1(1)因為函數f(x)log2x1x在(1，)上為增函數，且f(2)0，所以當x1(1,2)時，f(x1)f(2)0，即f(x1)0.(2)因為當x0時，兩個表達式對應的函數值都為0，所以函數圖象是一條連續不斷的曲線在(，0)和(0，)都是減函數，單調區間不能寫成(，0)(0，)，事實上，f(x)說明單調性使得自變量間的不等關系和函數值之間的不等關系可以“互逆互推”，有x1x2f(x1)因為當x0時，f(x)x3為增函數，當x0時，f(x)ln(x1)也是增函數，且當x10時，f(x1)f(x)等價于2x2x，即x2x20，解得2x1，故選D.1對于單調性的定義的理解，要注意以下四點：(1)單調性是與“區間”緊密相關的概念一個函數在不同的區間上可以有不同的單調區間(2)單調性是函數在某一區間上的“整體”性質因此，定義中的x1，x2具有任意性，不能用特殊值代替(3)由于定義都是充要性命題，因此由f(x)是增(減)函數，且f(x1)f(x2x1x2(或x1x2)，這即f(x2)(或f(x1)f(x