1、小專題（三）與圓的切線有關的性質與判定（證明圓的切線常用的兩種方法：（1）已知直線與圓的交點，則該點即為切點，可連接切點與圓心，證明與已知直線垂直，簡記為：連半徑，證垂直2）未知直線與圓的交點，即切點未知，則可以過圓心作與已知直線垂直的線段，證明垂線段等于圓的半徑，簡記為：作垂直，證半徑1如圖，已知AB是O的直徑，AB4，點C在線段AB的延長線上，點D在O上，連接CD，且CDOA，OC22.求證：CD是O的切線2證明：連接OD.1由題意，CDODOAAB2，OC22，OD2CD22222（22）2OC2.OCD為直角三角形，ODC90.ODCD.又OD是O的半徑，CD是O的切線2如圖，大圓O的

2、半徑為8cm，弦AB83cm，以點O為圓心，4cm為半徑作小圓求證：直線AB與小圓相切22證明：過點O作OCAB于點C.在AOB中，AOBO，11ACAB8343（cm）OCOA2AC282（43）24（cm）1又小圓的半徑為4cm，OC的長等于小圓的半徑直線AB與小圓相切3如圖，AC是O的直徑，BC是O的弦，點P是O外一點，PBAC.（1）求證：PB是O的切線；（2）若OPBC，且OP8，C60，求O的半徑2解：（1）證明：連接OB.AC是O的直徑，ABC90，即OBCOBA90.OCOB，COBC.PBAC，PBAOBA90，即OBP90.OBPB.OB為O的半徑，PB是O的切線（2）C6

3、0，OCOB，OBC為等邊三角形，即OBC60.OPBC，POBOBC60.1OBP90，P30.OBOP4.4如圖，在eqoac(,Rt)ABC中，C90，BD平分ABC，過點D作DEBD交AB于點E，經過B，D，E三點作O.（1）求證：AC與O相切于D點；（2）若AD15，AE9，求O的半徑2（2）若cosABC，AB12，求半圓O所在圓的半徑解：（1）證明：連接OD.ODOB，ODBOBD.又BD平分ABC，OBDDBC.ODBDBC.ODBC.而C90，ODAD.OD是O的半徑，AC與O相切于D點（2）設O半徑為r.ODAD，在eqoac(,Rt)OAD中，OA2OD2AD2.又AD1

4、5，AE9，（r9）2152r2.解得r8，即O的半徑為8.5（2018安順）如圖，在ABC中，ABAC，O為BC的中點，AC與半圓O相切于點D.（1）求證：AB是半圓O所在圓的切線；23解：（1）證明：過點O作OEAB于點E，連接OD，OA.ABAC，O是BC的中點，CAOBAO.AC與半圓O相切于點D，ODAC.OEAB，ODOE.OE為半圓O的半徑3cosABC，AB12，OBABcosABC128.OEOBOA85半圓O所在圓的半徑是85AB是半圓O所在的圓的切線（2）ABAC，O是BC的中點，AOBC.2323由勾股定理，得AOAB2OB245.11eqoac(,S)AOB2ABOE

5、2OBAO，AB3.3.（2）若BC6，tanCDA，求CD的長6如圖，D為O上一點，點C在直徑BA的延長線上，且CDACBD.（1）求證：CD是O的切線；23（2）CDAABD，tanCDAtanABD.在eqoac(,Rt)ABD中，tanABD，解：（1）證明：連接OD.OBOD，OBDBDO.CDACBD，CDAODB.AB是O的直徑，ADB90，即ADOODB90.ADOCDA90，即CDO90.ODCD.OD為O的半徑，CD是O的切線23AD2BD3CC，CDACBD.CADCDB.4CBDB33CDAD22.CD64.7（2017銅仁）如圖，已知在eqoac(,Rt)ABC中，ABC90，以AB為直徑的O與AC交于點D，點E是BC的中點，連接BD，DE.（1）若，求sinC；AB3sinABD.sinC.AD1AB3（2）求證：DE是O的切線解：（1）AB為直徑，ADBBDC90.ABDBAD90.ABC90，CBAC90.CABD.AD1，1313（2）證明：連接