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文檔簡介
1、2021-2022高考數學模擬試卷請考生注意:1請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上,請用05毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2答題前,認真閱讀答題紙上的注意事項,按規定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1已知拋物線y2= 4x的焦點為F,拋物線上任意一點P,且PQy軸交y軸于點Q,則 的最小值為( )ABClD12寧波古圣王陽明的傳習錄專門講過易經八卦圖,下圖是易經八卦圖(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦),每一卦由三根線組成(“”表示一
2、根陽線,“”表示一根陰線)從八卦中任取兩卦,這兩卦的六根線中恰有四根陰線的概率為( )ABCD3已知是空間中兩個不同的平面,是空間中兩條不同的直線,則下列說法正確的是( )A若,且,則B若,且,則C若,且,則D若,且,則4已知,則的取值范圍是()A0,1BC1,2D0,25陀螺是中國民間較早的娛樂工具之一,但陀螺這個名詞,直到明朝劉侗、于奕正合撰的帝京景物略一書中才正式出現.如圖所示的網格紙中小正方形的邊長均為1,粗線畫出的是一個陀螺模型的三視圖,則該陀螺模型的表面積為( )ABCD6己知集合,則( )ABCD 7已知復數z滿足,則z的虛部為( )ABiC1D18已知函數,當時,的取值范圍為,
3、則實數m的取值范圍是( )ABCD9數列滿足:,為其前n項和,則( )A0B1C3D410已知函數有兩個不同的極值點,若不等式有解,則的取值范圍是( )ABCD11已知定義在上的函數滿足,且當時,.設在上的最大值為(),且數列的前項的和為.若對于任意正整數不等式恒成立,則實數的取值范圍為( )ABCD12某工廠只生產口罩、抽紙和棉簽,如圖是該工廠年至年各產量的百分比堆積圖(例如:年該工廠口罩、抽紙、棉簽產量分別占、),根據該圖,以下結論一定正確的是( )A年該工廠的棉簽產量最少B這三年中每年抽紙的產量相差不明顯C三年累計下來產量最多的是口罩D口罩的產量逐年增加二、填空題:本題共4小題,每小題5
4、分,共20分。13設隨機變量服從正態分布,若,則的值是_14已知為拋物線:的焦點,過作兩條互相垂直的直線,直線與交于、兩點,直線與交于、兩點,則的最小值為_15在平面直角坐標系xOy中,A,B為x軸正半軸上的兩個動點,P(異于原點O)為y軸上的一個定點若以AB為直徑的圓與圓x2(y2)21相外切,且APB的大小恒為定值,則線段OP的長為_16平面向量與的夾角為,則_三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17(12分)在直角坐標系x0y中,把曲線為參數)上每個點的橫坐標變為原來的倍,縱坐標不變,得到曲線以坐標原點為極點,以x軸正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程(
5、1)寫出的普通方程和的直角坐標方程;(2)設點M在上,點N在上,求|MN|的最小值以及此時M的直角坐標.18(12分)已知點,直線與拋物線交于不同兩點、,直線、與拋物線的另一交點分別為兩點、,連接,點關于直線的對稱點為點,連接、(1)證明:;(2)若的面積,求的取值范圍19(12分)已知在平面直角坐標系中,橢圓的焦點為為橢圓上任意一點,且.(1)求橢圓的標準方程;(2)若直線交橢圓于兩點,且滿足(分別為直線的斜率),求的面積為時直線的方程.20(12分)已知函數,不等式的解集為.(1)求實數,的值;(2)若,求證:.21(12分)已知,均為給定的大于1的自然數,設集合,()當,時,用列舉法表示
6、集合;()當時,且集合滿足下列條件:對任意,;證明:()若,則(集合為集合在集合中的補集);()為一個定值(不必求出此定值);()設,其中,若,則22(10分)在平面直角坐標系中,直線的的參數方程為(其中為參數),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸的極坐標系中,點的極坐標為,直線經過點曲線的極坐標方程為.(1)求直線的普通方程與曲線的直角坐標方程;(2)過點作直線的垂線交曲線于兩點(在軸上方),求的值.參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1A【解析】設點,則點,利用向量數量積的坐標運算可得,利用二次函數的性質可得最值.【
7、詳解】解:設點,則點,當時,取最小值,最小值為.故選:A.【點睛】本題考查拋物線背景下的向量的坐標運算,考查學生的計算能力,是基礎題.2B【解析】根據古典概型的概率求法,先得到從八卦中任取兩卦基本事件的總數,再找出這兩卦的六根線中恰有四根陰線的基本事件數,代入公式求解.【詳解】從八卦中任取兩卦基本事件的總數種,這兩卦的六根線中恰有四根陰線的基本事件數有6種,分別是(巽,坤),(兌,坤),(離,坤),(震,艮),(震,坎),(坎,艮),所以這兩卦的六根線中恰有四根陰線的概率是.故選:B【點睛】本題主要考查古典概型的概率,還考查了運算求解的能力,屬于基礎題.3D【解析】利用線面平行和垂直的判定定理
8、和性質定理,對選項做出判斷,舉出反例排除.【詳解】解:對于,當,且,則與的位置關系不定,故錯;對于,當時,不能判定,故錯;對于,若,且,則與的位置關系不定,故錯;對于,由可得,又,則故正確故選:【點睛】本題考查空間線面位置關系.判斷線面位置位置關系利用好線面平行和垂直的判定定理和性質定理. 一般可借助正方體模型,以正方體為主線直觀感知并準確判斷4D【解析】設,可得,構造()22,結合,可得,根據向量減法的模長不等式可得解.【詳解】設,則,()22|224,所以可得:,配方可得,所以,又 則0,2故選:D【點睛】本題考查了向量的運算綜合,考查了學生綜合分析,轉化劃歸,數學運算的能力,屬于中檔題.
9、5C【解析】根據三視圖可知,該幾何體是由兩個圓錐和一個圓柱構成,由此計算出陀螺的表面積.【詳解】最上面圓錐的母線長為,底面周長為,側面積為,下面圓錐的母線長為,底面周長為,側面積為,沒被擋住的部分面積為,中間圓柱的側面積為.故表面積為,故選C.【點睛】本小題主要考查中國古代數學文化,考查三視圖還原為原圖,考查幾何體表面積的計算,屬于基礎題.6C【解析】先化簡,再求.【詳解】因為,又因為,所以,故選:C.【點睛】本題主要考查一元二次不等式的解法、集合的運算,還考查了運算求解能力,屬于基礎題.7C【解析】利用復數的四則運算可得,即可得答案.【詳解】,復數的虛部為.故選:C.【點睛】本題考查復數的四
10、則運算、虛部概念,考查運算求解能力,屬于基礎題.8C【解析】求導分析函數在時的單調性、極值,可得時,滿足題意,再在時,求解的x的范圍,綜合可得結果.【詳解】當時,令,則;,則,函數在單調遞增,在單調遞減.函數在處取得極大值為,時,的取值范圍為,又當時,令,則,即,綜上所述,的取值范圍為.故選C.【點睛】本題考查了利用導數分析函數值域的方法,考查了分段函數的性質,屬于難題.9D【解析】用去換中的n,得,相加即可找到數列的周期,再利用計算.【詳解】由已知,所以,+,得,從而,數列是以6為周期的周期數列,且前6項分別為1,2,1,-1,-2,-1,所以,.故選:D.【點睛】本題考查周期數列的應用,在
11、求時,先算出一個周期的和即,再將表示成即可,本題是一道中檔題.10C【解析】先求導得(),由于函數有兩個不同的極值點,轉化為方程有兩個不相等的正實數根,根據,求出的取值范圍,而有解,通過分裂參數法和構造新函數,通過利用導數研究單調性、最值,即可得出的取值范圍.【詳解】由題可得:(),因為函數有兩個不同的極值點,所以方程有兩個不相等的正實數根,于是有解得.若不等式有解,所以因為.設,故在上單調遞增,故,所以,所以的取值范圍是.故選:C.【點睛】本題考查利用導數研究函數單調性、最值來求參數取值范圍,以及運用分離參數法和構造函數法,還考查分析和計算能力,有一定的難度.11C【解析】由已知先求出,即,
12、進一步可得,再將所求問題轉化為對于任意正整數恒成立,設,只需找到數列的最大值即可.【詳解】當時,則,所以,顯然當時,故,若對于任意正整數不等式恒成立,即對于任意正整數恒成立,即對于任意正整數恒成立,設,令,解得,令,解得,考慮到,故有當時,單調遞增,當時,有單調遞減,故數列的最大值為,所以.故選:C.【點睛】本題考查數列中的不等式恒成立問題,涉及到求函數解析、等比數列前n項和、數列單調性的判斷等知識,是一道較為綜合的數列題.12C【解析】根據該廠每年產量未知可判斷A、B、D選項的正誤,根據每年口罩在該廠的產量中所占的比重最大可判斷C選項的正誤.綜合可得出結論.【詳解】由于該工廠年至年的產量未知
13、,所以,從年至年棉簽產量、抽紙產量以及口罩產量的變化無法比較,故A、B、D選項錯誤;由堆積圖可知,從年至年,該工廠生產的口罩占該工廠的總產量的比重是最大的,則三年累計下來產量最多的是口罩,C選項正確.故選:C.【點睛】本題考查堆積圖的應用,考查數據處理能力,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。131【解析】由題得,解不等式得解.【詳解】因為,所以,所以c=1.故答案為1【點睛】本題主要考查正態分布的圖像和性質,意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.1416.【解析】由題意可知拋物線的焦點,準線為設直線的解析式為直線互相垂直的斜率為與拋物線的方程聯立,消去得設
14、點由跟與系數的關系得,同理根據拋物線的性質,拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離,同理,當且僅當時取等號.故答案為16點睛:(1)與拋物線有關的最值問題,一般情況下都與拋物線的定義有關利用定義可將拋物線上的點到焦點的距離轉化為到準線的距離,可以使運算化繁為簡“看到準線想焦點,看到焦點想準線”,這是解決拋物線焦點弦有關問題的重要途徑;(2)圓錐曲線中的最值問題,可利用基本不等式求解,但要注意不等式成立的條件15【解析】分析:設O2(a,0),圓O2的半徑為r(變量),OP=t(常數),利用差角的正切公式,結合以AB為直徑的圓與圓x2+(y-2)2=1相外切且APB的大小恒為定值,即可求出線段
15、OP的長詳解:設O2(a,0),圓O2的半徑為r(變量),OP=t(常數),則APB的大小恒為定值,t,|OP|=故答案為點睛:本題考查圓與圓的位置關系,考查差角的正切公式,考查學生的計算能力,屬于中檔題16【解析】由平面向量模的計算公式,直接計算即可.【詳解】因為平面向量與的夾角為,所以,所以;故答案為【點睛】本題主要考查平面向量模的計算,只需先求出向量的數量積,進而即可求出結果,屬于基礎題型.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17(1)的普通方程為,的直角坐標方程為. (2)最小值為,此時【解析】(1)由的參數方程消去求得的普通方程,利用極坐標和直角坐標轉化公式
16、,求得的直角坐標方程.(2)設出點的坐標,利用點到直線的距離公式求得最小值的表達式,結合三角函數的指數求得的最小值以及此時點的坐標.【詳解】(1)由題意知的參數方程為(為參數)所以的普通方程為.由得,所以的直角坐標方程為. (2)由題意,可設點的直角坐標為, 因為是直線,所以的最小值即為到的距離,因為 當且僅當時,取得最小值為,此時的直角坐標為即【點睛】本小題主要考查參數方程化為普通方程,考查極坐標方程化為直角坐標方程,考查利用曲線參數方程求解點到直線距離的最小值問題,屬于中檔題.18(1)見解析;(2)【解析】(1)設點、,求出直線、的方程,與拋物線的方程聯立,求出點、的坐標,利用直線、的斜
17、率相等證明出;(2)設點到直線、的距離分別為、,求出,利用相似得出,可得出的邊上的高,并利用弦長公式計算出,即可得出關于的表達式,結合不等式可解出實數的取值范圍.【詳解】(1)設點、,則,直線的方程為:,由,消去并整理得,由韋達定理可知,代入直線的方程,得,解得,同理,可得,,代入得,因此,;(2)設點到直線、的距離分別為、,則,由(1)知,同理,得,由,整理得,由韋達定理得,得,設點到直線的高為,則,解得,因此,實數的取值范圍是.【點睛】本題考查直線與直線平行的證明,考查實數的取值范圍的求法,考查拋物線、直線方程、韋達定理、弦長公式、直線的斜率等基礎知識,考查運算求解能力,考查數形結合思想,
18、是難題19(1)(2)或【解析】(1)根據橢圓定義求得,得橢圓方程;(2)設,由得,應用韋達定理得,代入已知條件可得,再由橢圓中弦長公式求得弦長,原點到直線的距離,得三角形面積,從而可求得,得直線方程【詳解】解:(1)據題意設橢圓的方程為則橢圓的標準方程為.(2)據得設,則又原點到直線的距離解得或所求直線的方程為或【點睛】本題考查求橢圓標準方程,考查直線與橢圓相交問題解題時采取設而不求思想,即設交點坐標為,直線方程與橢圓方程聯立消元后應用韋達定理得,把這個結論代入題中條件求得參數,用它求弦長等等,從而解決問題20(1),.(2)見解析【解析】(1)分三種情況討論即可(2)將,的值代入,然后利用均值定理即可.【詳解】解:(1)不等式可化為.即有或或.解得,或或.所以不等式的解集為,故,.(2)
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