1、2021-2022高考數學模擬試卷考生請注意：1答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1下列與函數定義域和單調性都相同的函數是（ ）ABCD2已知F為拋物線y24x的焦點，過點F且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點，則|FA|FB|的值等于（）AB8CD43設全集集合，則

2、（ ）ABCD4設復數滿足，則（ ）ABCD5當輸入的實數時，執行如圖所示的程序框圖，則輸出的不小于103的概率是（ ）ABCD6設過點的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于兩點，點與點關于軸對稱，為坐標原點，若，且，則點的軌跡方程是（ ）ABCD7執行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則輸入的整數的最大值為( )A7B15C31D638在中，角的對邊分別為，若，且，則的面積為（ ）ABCD9在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，D是AB的中點，若，且，則面積的最大值是( )ABCD10已知，是橢圓與雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，若，則的最小值

3、為（ ）ABC8D611已知向量與的夾角為，則( )AB0C0或D12若x（0，1），alnx，b，celnx，則a，b，c的大小關系為（）AbcaBcbaCabcDbac二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知，滿足不等式組，則的取值范圍為_14在平面直角坐標系中，點的坐標為，點是直線：上位于第一象限內的一點已知以為直徑的圓被直線所截得的弦長為，則點的坐標_15設是等比數列的前項的和，成等差數列，則的值為_16已知復數,其中是虛數單位若的實部與虛部相等,則實數的值為_三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）如圖，在三棱錐中，平面平面，、分別

4、為、中點（1）求證：；（2）求二面角的大小18（12分）管道清潔棒是通過在管道內釋放清潔劑來清潔管道內壁的工具，現欲用清潔棒清潔一個如圖1所示的圓管直角彎頭的內壁，其縱截面如圖2所示，一根長度為的清潔棒在彎頭內恰好處于位置（圖中給出的數據是圓管內壁直徑大小，）.（1）請用角表示清潔棒的長；（2）若想讓清潔棒通過該彎頭，清潔下一段圓管，求能通過該彎頭的清潔棒的最大長度.19（12分）在ABC中，角所對的邊分別為向量，向量，且.（1）求角的大小；（2）求的最大值.20（12分）已知函數，.（1）若不等式對恒成立，求的最小值；（2）證明：.（3）設方程的實根為.令若存在，使得，證明：.21（12分）

5、已知點到拋物線C：y1=1px準線的距離為1（）求C的方程及焦點F的坐標；（）設點P關于原點O的對稱點為點Q，過點Q作不經過點O的直線與C交于兩點A，B，直線PA，PB，分別交x軸于M，N兩點，求的值22（10分）已知矩陣，且二階矩陣M滿足AMB，求M的特征值及屬于各特征值的一個特征向量.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1C【解析】分析函數的定義域和單調性，然后對選項逐一分析函數的定義域、單調性，由此確定正確選項.【詳解】函數的定義域為，在上為減函數.A選項，的定義域為，在上為增函數，不符合.B選項，的定義域為，不符

6、合.C選項，的定義域為，在上為減函數，符合.D選項，的定義域為，不符合.故選：C【點睛】本小題主要考查函數的定義域和單調性，屬于基礎題.2C【解析】將直線方程代入拋物線方程，根據根與系數的關系和拋物線的定義即可得出的值【詳解】F（1，0），故直線AB的方程為yx1，聯立方程組，可得x26x+10，設A（x1，y1），B（x2，y2），由根與系數的關系可知x1+x26，x1x21由拋物線的定義可知：|FA|x1+1，|FB|x2+1，|FA|FB|x1x2|故選C【點睛】本題考查了拋物線的定義，直線與拋物線的位置關系，屬于中檔題3A【解析】先求出，再與集合N求交集.【詳解】由已知，又，所以.故選

7、：A.【點睛】本題考查集合的基本運算，涉及到補集、交集運算，是一道容易題.4D【解析】根據復數運算，即可容易求得結果.【詳解】.故選：D.【點睛】本題考查復數的四則運算，屬基礎題.5A【解析】根據循環結構的運行，直至不滿足條件退出循環體，求出的范圍，利用幾何概型概率公式，即可求出結論.【詳解】程序框圖共運行3次，輸出的的范圍是，所以輸出的不小于103的概率為.故選:A.【點睛】本題考查循環結構輸出結果、幾何概型的概率，模擬程序運行是解題的關鍵，屬于基礎題.6A【解析】設坐標，根據向量坐標運算表示出，從而可利用表示出；由坐標運算表示出，代入整理可得所求的軌跡方程.【詳解】設，其中， ，即 關于軸

8、對稱 故選：【點睛】本題考查動點軌跡方程的求解，涉及到平面向量的坐標運算、數量積運算；關鍵是利用動點坐標表示出變量，根據平面向量數量積的坐標運算可整理得軌跡方程.7B【解析】試題分析：由程序框圖可知：，；，；，；，；，. 第步后輸出，此時，則的最大值為15，故選B.考點：程序框圖.8C【解析】由，可得，化簡利用余弦定理可得，解得即可得出三角形面積【詳解】解：，且，化為：，解得故選：【點睛】本題考查了向量共線定理、余弦定理、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題9A【解析】根據正弦定理可得，求出，根據平方關系求出.由兩端平方，求的最大值，根據三角形面積公式，求出面積的最大值.【

9、詳解】中，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理，得.D是AB的中點，且，即，即，當且僅當時，等號成立.的面積，所以面積的最大值為.故選：.【點睛】本題考查正、余弦定理、不等式、三角形面積公式和向量的數量積運算，屬于中檔題.10C【解析】由橢圓的定義以及雙曲線的定義、離心率公式化簡，結合基本不等式即可求解.【詳解】設橢圓的長半軸長為，雙曲線的半實軸長為，半焦距為，則，設由橢圓的定義以及雙曲線的定義可得：，則 當且僅當時，取等號.故選：C【點睛】本題主要考查了橢圓的定義以及雙曲線的定義、離心率公式，屬于中等題.11B【解析】由數量積的定義表示出向量與的夾角為，再由，代入表達式中即可求出.【詳解】由向

10、量與的夾角為，得，所以，又，所以，解得.故選：B【點睛】本題主要考查向量數量積的運算和向量的模長平方等于向量的平方，考查學生的計算能力，屬于基礎題.12A【解析】利用指數函數、對數函數的單調性直接求解【詳解】x（0，1），alnx0，b（）lnx（）01，0celnxe01，a，b，c的大小關系為bca故選：A【點睛】本題考查三個數的大小的判斷，考查指數函數、對數函數的單調性等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】畫出不等式組表示的平面區域如下圖中陰影部分所示，易知在點處取得最小值，即，所以由圖可知的取值范圍為14【解析】依題意畫圖,設

11、,根據圓的直徑所對的圓周角為直角,可得,通過勾股定理得,再利用兩點間的距離公式即可求出,進而得出點坐標.【詳解】解:依題意畫圖,設以為直徑的圓被直線所截得的弦長為,且,又因為為圓的直徑,則所對的圓周角,則, 則為點到直線：的距離.所以,則.又因為點在直線：上,設,則.解得,則.故答案為: 【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系,考查了兩點間的距離公式,點到直線的距離公式,是基礎題.152【解析】設等比數列的公比設為再根據成等差數列利用基本量法求解再根據等比數列各項間的關系求解即可.【詳解】解：等比數列的公比設為成等差數列,可得若則顯然不成立,故則,化為解得,則故答案為：【點睛】本題主要考查了等比

12、數列的基本量求解以及運用,屬于中檔題.16【解析】直接由復數代數形式的乘法運算化簡,結合已知條件即可求出實數的值.【詳解】解：的實部與虛部相等,所以,計算得出.故答案為:【點睛】本題考查復數的乘法運算和復數的概念,屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17 (1)證明見解析；(2)60.【解析】試題分析：（1）連結PD，由題意可得,則AB平面PDE，；（2）法一：結合幾何關系做出二面角的平面角，計算可得其正切值為，故二面角的大小為；法二：以D為原點建立空間直角坐標系，計算可得平面PBE的法向量平面PAB的法向量為據此計算可得二面角的大小為.試題解析：（1）連

13、結PD，PA=PB，PDAB，BCAB，DEAB又，AB平面PDE，PE平面PDE，ABPE（2）法一：平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PDAB，PD平面ABC則DEPD,又EDAB，PD平面AB=D，DE平面PAB,過D做DF垂直PB與F，連接EF，則EFPB，DFE為所求二面角的平面角，則：DE=，DF=，則，故二面角的大小為法二：平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PDAB，PD平面ABC如圖，以D為原點建立空間直角坐標系，B(1，0，0)，P(0，0，)，E(0，0)，=(1，0，)，=(0，）設平面PBE的法向量，令，得DE平面PAB，平面PAB的法向

14、量為設二面角的大小為，由圖知，所以即二面角的大小為.18（1）；（2）.【解析】（1）過作的垂線，垂足為，易得，進一步可得；（2）利用導數求得最大值即可.【詳解】（1）如圖，過作的垂線，垂足為，在直角中，所以，同理，.（2）設，則，令，則，即.設，且，則當時，所以單調遞減；當時，所以單調遞增，所以當時，取得極小值，所以.因為，所以，又，所以，又，所以，所以，所以，所以能通過此鋼管的鐵棒最大長度為.【點睛】本題考查導數在實際問題中的應用，考查學生的數學運算求解能力，是一道中檔題.19（1）（2）2【解析】（1）轉化條件得，進而可得，即可得解；（2）由化簡可得，由結合三角函數的性質即可得解.【詳解

15、】（1），由正弦定理得，即，又 ，又 ， 由可得.（2）由（1）可得，的最大值為2.【點睛】本題考查了平面向量平行、正弦定理以及三角恒等變換的應用，考查了三角函數的性質，屬于中檔題.20（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】（1）由題意可得，令，利用導數得在上單調遞減，進而可得結論；（2）不等式轉化為，令，利用導數得單調性即可得到答案；（3）由題意可得，進而可將不等式轉化為，再利用單調性可得，記，再利用導數研究單調性可得在上單調遞增，即，即，即可得到結論.【詳解】（1），即，化簡可得.令，因為，所以，.所以，在上單調遞減，.所以的最小值為.（2）要證，即.兩邊同除以可得.設，則.在上，

16、所以在上單調遞減.在上，所以在上單調遞增，所以.設，因為在上是減函數，所以.所以，即.（3）證明：方程在區間上的實根為，即，要證，由可知，即要證.當時，因而在上單調遞增.當時，因而在上單調遞減.因為，所以，要證.即要證.記，.因為，所以，則.設，當時，.時，故.且，故，因為，所以.因此，即在上單調遞增.所以，即.故得證.【點睛】本題考查函數的單調性、最值、函數恒成立問題，考查導數的應用，轉化思想，構造函數研究單調性，屬于難題.21 ()C的方程為,焦點F的坐標為(1,0)；（）1【解析】（）根據拋物線定義求出p，即可求C的方程及焦點F的坐標；（）設點A(x1,y1),B(x1,y1),由已知得Q(1,1)，由題意直線AB斜率存在且不為0，設直線AB的方程為y=k(x+1)1(k0)，與拋物線聯立可得ky1-4y+4k-8=0，利用韋達定理以及弦長公式，轉化求解|MF|NF|的值【詳解】()由已知得，所以p=1.所以拋物線C的方程為,焦點F的坐標為(1,0)；(II)設點A(x1,y1),B(x1,y1),由已知得Q(1,1)，由題意直線AB斜率存在且不為0.設直線AB的方程為y=k(x+1)1(k0).由得，則,.因為點A,B在拋物線C上,所以,.因為PFx軸，所以，所以|MF|NF|的值為1.【點睛】