1、第一章 不等關系與基本不等式1不等式的性質1.實數大小的比較(1)求差比較法.aba-b0;aba-b3x.答案:2.不等式的性質(1)性質1:如果ab,那么ba;如果bb.(2)性質2:如果ab,bc,那么ac.(3)性質3:如果ab,那么a+cb+c.推論:如果ab,cd,那么a+cb+d.(4)性質4:如果ab,c0,那么acbc;如果ab,c0,那么acb0,cd0,那么acbd.推論2:如果ab0,那么a2b2.推論3:如果ab0,那么anbn(n為正整數).【做一做2】 若ab,則下列結論一定成立的是()C.2-a1-bD.(a-b)c20解析:因為ab,所以a-b0.又c20,所

2、以(a-b)c20.答案:D【做一做3】 已知-2a-1,-2b4,則a-b的取值范圍是.解析:因為-2a-1,-2b4,所以-4-b2,所以-6a-b0,則ab;若a-b0,則ab等;(4)得結論.探究一探究二探究三探究四思維辨析變式訓練1比較a3+b3與a2b+ab2的大小關系,其中a,b均為負數.解a3+b3-(a2b+ab2)=(a3-a2b)+(b3-ab2)=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)2(a+b).因為a,b均為負數,所以a+bbc0,比較a2ab2bc2c與ab+cbc+aca+b的大小.分析用求差比較法不易變形,所以用求商比較法.探究一探究二探究三探究四思維辨析

3、探究一探究二探究三探究四思維辨析反思感悟 利用求商法比較兩個式子的大小時,作商之后的變形要向著有利于判斷商與1的大小關系的方向變形,這是最重要的一步.探究一探究二探究三探究四思維辨析變式訓練2設a,bR+,且ab,試比較aabb與abba的大小. 探究一探究二探究三探究四思維辨析【例3】 (1)已知a,b,c滿足cba,且acd,則“ab”是“a-cb-d”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件探究一探究二探究三探究四思維辨析解析:(1)因為cba,且ac0,所以c0,(2)因為cd,所以-d-c.所以當ab時能夠推出a-db-c,但不一定有a-cb-d

4、,例如:a=3,b=2,c=4,d=1.但當cd,且a-cb-d時,必有ab,所以是必要不充分條件.答案:(1)C(2)B探究一探究二探究三探究四思維辨析反思感悟 判斷與不等式有關的命題真假的基本方法(1)直接運用不等式的性質:把要判斷的命題和不等式的性質聯系起來考慮,找到與命題相近的性質,然后進行推理判斷;(2)利用指數函數、對數函數、冪函數的單調性:當直接利用不等式性質不能比較大小時,可以利用指數函數、對數函數、冪函數的單調性等進行判斷;(3)取特殊值:即給要比較的幾個式子中涉及的變量取一些特殊值進行比較、判斷.但要注意,說明一個命題為假時,可以用特殊值法,而說明一個命題為真時,只能用所學

5、知識進行嚴格證明,不能用特殊值法.探究一探究二探究三探究四思維辨析變式訓練3下列命題為真命題的是.(填序號)答案:探究一探究二探究三探究四思維辨析分析由已知條件中的不等式結合不等式的性質進行推理,直至推出欲證不等式.證明因為ab-b0.又因為cd0,所以c-ad-b0,探究一探究二探究三探究四思維辨析反思感悟 利用不等式的性質證明不等式的注意點:(1)注意觀察欲證結論與已知條件之間的聯系,選擇相應的不等式性質進行證明;(2)注意不等式性質的成立條件,在進行變形時,要做到等價變形.探究一探究二探究三探究四思維辨析探究一探究二探究三探究四思維辨析探究一探究二探究三探究四思維辨析探究一探究二探究三探

6、究四思維辨析糾錯心得 利用不等式的性質求代數式的取值范圍時,應嚴格依據不等式的性質和運算法則進行運算,若是由兩個變量的取值范圍求其差的取值范圍,則一定不能直接作差,而要轉化為同向不等式后求和.此外,還要注意取值范圍中等號能否取到.探究一探究二探究三探究四思維辨析變式訓練若1a3b5,則2a-3b的取值范圍是.解析:因為1a3,所以22a6.又3b5,所以-15-3b-9.所以-132a-3b1y,下列不等式不成立的是()A.x-11-yB.x-1y-1C.x-y1-yD.1-xy-x解析:利用不等式的性質易得選項B,C,D均成立,只有選項A不成立.答案:A12345A.m0nB.nm0C.mn

7、0D.mn(m-n)0答案:D12345A.(-2,2)B.(-2,0)C.(-,0)D.(-,)又-=+(-),且,所以-2-0.答案:B123454.已知-2a-1,-3b-2,則a-b的取值范圍是,a2+b2的取值范圍是.解析:因為-2a-1,-3b-2,所以2-b3.所以0a-b2.因為1a24,4b29,所以5a2+b213.答案:(0,2)(5,13)123452含有絕對值的不等式2.1絕對值不等式1.實數的絕對值的概念(2)|a|的幾何意義:|a|表示數軸上實數a對應的點與原點之間的距離.(3)兩個重要性質:()|ab|=|a|b|;|a|b|a21B.0ab1C.0a1且0b1

8、D.0a1解析:由已知得|lg a+lg b|=|lg a|+|lg b|,所以lg alg b0,因此a1且b1或0a1且0b1.答案:C思考辨析判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內打“”,錯誤的打“”.(1)|a+b|a|+|b|中,等號成立的條件是a,b同號.()(2)|a-b|=|a|+|b|成立的條件是ab0.()(3)數軸上任意一點到兩點的距離之和都大于這兩點間的距離.()(4)形如|x-a|+|x-b|的代數式只有最小值沒有最大值.()答案:(1)(2)(3)(4)探究一探究二探究三思維辨析【例1】 若|a-c|b,則下列不等式不成立的是()A.|a|b|+|c|B.|c|

9、a|-|c|D.|b|a|-|c|分析利用絕對值不等式定理,結合不等式的傳遞性進行判斷.解析:因為|a-c|0,|b|=b.因為|a|-|c|a-c|,所以|a|-|c|b|,即選項C正確,這時|a|b|+|c|,即選項A正確.又|c|-|a|a-c|,所以|c|-|a|b|,故|c|b|+|a|,即選項B正確;由選項A成立知選項D錯誤.答案:D探究一探究二探究三思維辨析反思感悟 判斷絕對值不等式是否成立的技巧.(1)注意對影響不等號的因素進行分析,如一個數(或式子)的正、負、零等,數(或式子)的積、平方、取倒數等都對不等號產生影響,注意考查這些因素在不等式中的作用.(2)如果對不等式不能直接

10、判斷,可以對不等式化簡整理或變形后再利用絕對值不等式進行判斷.(3)注意不等式性質尤其是傳遞性的正確應用.探究一探究二探究三思維辨析變式訓練1已知實數a,b滿足ab|a-b|B.|a+b|a-b|C.|a-b|a|-|b|D.|a-b|a|+|b|解析:因為ab0,所以|a-b|=|a|+|b|.又|a+b|a|+|b|,所以|a+b|m恒成立,則實數m的取值范圍是.解析:(1)f(x)=|2x+1|+|2x-4|(2x+1)-(2x-4)|=5,所以函數的最小值為5.(2)因為函數y=|x-2|-|x-3|的最小值為-1,所以實數m的取值范圍是(-,-1).答案:(1)5(2)(-,-1)探

11、究一探究二探究三思維辨析分析將欲證不等式左邊進行變形,重新組合,與已知條件相對應,再利用絕對值不等式證明.證明|(A+B+C)-(a+b+c)|=|(A-a)+(B-b)+(C-c)|A-a|+|B-b|+|C-c|故原不等式|(A+B+C)-(a+b+c)|s成立.探究一探究二探究三思維辨析反思感悟 利用絕對值不等式證明的技巧(1)含絕對值不等式的證明一般可通過平方法、換元法去掉絕對值轉化為常見的不等式證明,或利用絕對值不等式|a|-|b|ab|a|+|b|,通過適當的添項、拆項證明.(2)注意與不等式的性質及證明不等式其他方法的結合.探究一探究二探究三思維辨析變式訓練3已知|x-a|,|y

12、-b|,求證:|x+3y-a-3b|4.證明|x+3y-a-3b|=|(x-a)+3(y-b)|x-a|+|3(y-b)|=|x-a|+3|y-b|a的解集不是R,則參數a的取值范圍是.錯解依題意,a(|x+5|+|x+7|)min,而(|x+5|+|x+7|)min=2,所以a2.正解若關于x的不等式|x+5|+|x+7|a的解集是R,即該不等式恒成立,因此a(|x+5|+|x+7|)min,而(|x+5|+|x+7|)min=2,所以aa有解,則實數a的取值范圍是.解析:因為|x+5|-|x-3|的最大值等于8,所以當a8時,不等式|x+5|-|x-3|a無解,從而當不等式有解時,實數a的

13、取值范圍是(-,8).答案:(-,8)123451.若|a+b|a|+|b|,則必有()A.ab0 B.ab0C.ab0D.ab0解析:因為|a+b|a|+|b|,又|a+b|a|+|b|,所以|a+b|=|a|+|b|,因此必有ab0.答案:B123452.函數f(x)=|x+2|+|x-2|的最小值為()A.4B.2C.0D.-4解析:因為|x+2|+|x-2|(x+2)-(x-2)|=4,所以函數f(x)的最小值為4.答案:A123453.若|x-a|h,|y-a|k,則下列不等式一定成立的是 ()A.|x-y|2hB.|x-y|2kC.|x-y|h+kD.|x-y|h-k|解析:|x-

14、y|=|(x-a)+(a-y)|x-a|+|a-y|2a-1的解集為R,則實數a的取值范圍是.3.絕對值不等式|ax+b|c(c0)和|ax+b|c(c0)的解法(1)不等式|ax+b|c(c0)的求解:先化為不等式組-cax+bc,再利用不等式的性質求出原不等式的解集.(2)不等式|ax+b|c(c0)的求解:先化為不等式組ax+b-c和ax+bc,再利用不等式的性質求出原不等式的解集.名師點撥 解含絕對值不等式的核心任務是去絕對值,將不等式恒等變形為不含絕對值的常規不等式,然后利用已經掌握的解題方法求解;注意不可盲目平方去絕對值符號.【做一做2】 (1)不等式|2x-1|2的解集為.解析:

15、(1)由|2x-1|3可得-32x-13,所以-1x2.所以原不等式的解集為x|-1x2可得x-42或x-46或x6或x2.答案:(1)x|-1x6或x4的解集為.解析:因為|x+2|+|x-3|(x+2)-(x-3)|=5,即|x+2|+|x-3|的最小值為5,所以不等式|x+2|+|x-3|4恒成立,即解集為R.答案:R思考辨析判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內打“”,錯誤的打“”.(2)不等式|x-a|+|x-b|m的解集不可能為空集.()(3)不等式|x-a|-|x-b|m的解集不可能是全體實數集.()(4)不等式|x2-2x-3|0的解集為全體實數集R.()答案:(1)(2)

16、(3)(4)探究一探究二探究三思維辨析【例1】 解下列不等式:(1)|5x-2|8;(2)2|x-2|4.分析(1)直接利用|ax+b|c(c0)型不等式的解法求解;(2)轉化為不等式組求解.由|x-2|2,得x-2-2或x-22,所以x0或x4.由|x-2|4,得-4x-24,所以-2x6.故原不等式的解集為x|-2x0或4x6.探究一探究二探究三思維辨析反思感悟 形如|f(x)|a(a0)和|f(x)|a(a0)型的不等式,均可采用等價轉化法進行求解,即|f(x)|a-af(x)a,|f(x)|af(x)-a或f(x)a.探究一探究二探究三思維辨析探究一探究二探究三思維辨析【例2】解下列不

17、等式:(1)|x+1|+|x-1|3;(2)|x-3|-|x+1|2;(2)|2x-1|+|3x+2|8.解(1)原不等式即為|x-1|-|x-5|2,其等價于解得無解,的解集為x|45,故原不等式的解集為x|x4.探究一探究二探究三思維辨析探究一探究二探究三思維辨析【例3】設函數f(x)=|x-a|+3x,其中a0.(1)當a=1時,求不等式f(x)3x+2的解集;(2)若不等式f(x)0的解集為x|x-1,求a的值.分析(1)化為|ax+b|c型不等式求解;(2)先解不等式f(x)0,得出解集后與集合x|x-1相等,進而得到a的值.探究一探究二探究三思維辨析解(1)當a=1時,f(x)3x

18、+2可化為|x-1|2,即x-1或x3,故不等式f(x)3x+2的解集為x|x-1或x3.(2)由f(x)0,得|x-a|+3x0,將此不等式化為不等式組,得探究一探究二探究三思維辨析反思感悟 解含參數的不等式,一類要對參數進行討論,討論要做到不重不漏;另一類對參數并沒有進行討論,而是去絕對值符號時對變量進行討論,得到兩個不等式組,最后把兩個不等式組的解集進行合并,即得原不等式組的解集.探究一探究二探究三思維辨析變式訓練3解關于x的不等式:|x-a|2(aR). 123451.不等式|x-3|2的解集為()A.x|-1x5B.x|1x5C.x|x5D.x|1x5解析:由|x-3|2,得-2x-

19、32,所以1x5,即原不等式的解集為x|1xm有解,則實數m的取值范圍是.解析:由于-1|x+2|-|x+3|1,因此要使不等式有解,實數m只要比|x+2|-|x+3|的最大值小即可,即m1,故實數m的范圍為(-,1).答案:(-,1)6123456.解不等式|x2-3|2x.解原不等式可化為-2xx2-3-2x可得x1或x-3;由x2-32x可得-1x3,故1x3,即原不等式的解集為x|1x3.63平均值不等式2.平均值不等式 名師點撥 1.定理2的常見變形 2.利用平均值不等式求最值對兩個正實數a,b.(1)若它們的和S是定值,則當且僅當x=y時,它們的積P取得最大值;(2)若它們的積P是

20、定值,則當且僅當x=y時,它們的和S取得最小值.對于三個正數a,b,c.利用平均值不等式求最值的條件是“一正、二定、三相等”,即:(1)各項或各因式均為正;(2)和或積為定值;(3)各項或各因式能取得相等的值.答案: 【做一做2】 若正數a1,a2,a3滿足a1a2a3=8,則有()答案:B答案:(1)(2)(3)(4) 探究一探究二探究三思維辨析分析根據題設條件,合理變形,創造出能應用平均值不等式的條件和形式,然后應用平均值不等式求解.探究一探究二探究三思維辨析探究一探究二探究三思維辨析探究一探究二探究三思維辨析探究一探究二探究三思維辨析反思感悟 平均值不等式的基本功能在于“和與積”的相互轉

21、化,利用平均值不等式求最值時,給定的形式不一定能直接應用平均值不等式,往往需要拆添項或配湊因式(一般是湊積或和是定值的形式),構造出平均值不等式的形式再進行求解,求解時一定注意平均值不等式成立的條件:各項或各因式應為正;和或積為定值;各項或各因式能取到使等號成立的值,簡記為:“一正、二定、三相等”.探究一探究二探究三思維辨析變式訓練1(1)已知0 xB,只需Cbn0,則ab.()(4)用分析法證明不等式時,其實質是由結論步步尋求不等式成立的充要條件,從而到已知.()答案:(1)(2)(3)(4)探究一探究二探究三思維辨析【例1】 已知正數a,b,c成等比數列,求證:a2-b2+c2(a-b+c

22、)2.分析先由a,b,c成等比數列得出a,b,c滿足的關系式,再利用求差比較法進行證明.探究一探究二探究三思維辨析反思感悟 利用求差比較法證明不等式的技巧(1)求差比較法中,變形具有承上啟下的作用,變形的目的在于判斷差的符號,而不用考慮差能否化簡或值是多少.(2)變形所用的方法要具體情況具體分析,可以配方,可以因式分解,可以運用一切有效的恒等變形的方法.(3)因式分解是常用的變形手段,為了便于判斷差式的符號,常將差式變形為一個常數,或幾個因式積的形式,當所得的差式是某字母的二次三項式時,常用判別式法判斷符號.探究一探究二探究三思維辨析變式訓練1已知a,b均為負數,求證:a3+b3a2b+ab2

23、.證明a3+b3-(a2b+ab2)=(a3-a2b)+(b3-ab2)=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)2(a+b).因為a,b均為負數,所以a+b0,所以loga+1aloga+2(a+1).當0a1時,loga+1a0,必有loga+1a1時,loga+1a0,loga+2(a+1)0,所以loga+1aloga+2(a+1).綜上所述,不等式loga+1aloga+2(a+1)成立.探究一探究二探究三思維辨析糾錯心得 用作商比較法證明不等式,須注意前提條件,即由推得b0,b0的條件,否則可能會得出相反的結論.錯解中沒有證明loga+1a0,loga+2(a+1)0,所以證明是

24、不嚴密的.12341.若P=x2+y2+1,Q=xy-x-y,則有()A.PQB.PQC.PQD.PQ解析:2P-2Q=2x2+2y2+2-2xy+2x+2y=(x-y)2+(x+1)2+(y+1)20,所以PQ.答案:B12342.用分析法證明不等式時的推理過程一定是()A.正向、逆向均可進行正確的推理B.只需能進行逆向推理C.只需能進行正向推理D.有時能正向推理,有時能逆向推理答案:B1234答案:a2+b2-2ab0(a-b)20(a-b)20 1234第2課時綜合法、放縮法1.綜合法(1)定義:利用某些已經證明過的不等式(例如算術平均數和幾何平均數的定理)和不等式的性質,推導出所要證明

25、的不等式,這種證明方法叫綜合法.(2)證明原理:AB1B2BnB,即從已知條件A出發,逐步推演不等式成立的必要條件,推導出所要證明的結論B.名師點撥 分析法與綜合法的比較(1)綜合法與分析法的比較如下表.(2)用綜合法與分析法證明不等式的邏輯關系.綜合法:A(已知)B1B2BnB(結論)(逐步推演不等式成立的必要條件),即由條件出發推導出所要證明的不等式成立.分析法:B(結論)B1B2BnA(已知或明顯成立的條件)(步步尋求不等式成立的充分條件).總之,分析法與綜合法是對立統一的兩種方法.答案:A 2.放縮法(1)定義:通過縮小(或放大)分式的分母(或分子),或通過放大(或縮小)被減式(或減式

26、)來證明不等式,這種證明不等式的方法稱為放縮法.(2)放縮法證明不等式的主要依據:不等式的傳遞性;等量加不等量為不等量;同分子(分母)異分母(分子)的兩個分式大小的比較;平均值不等式和絕對值不等式的性質;三角函數的有界性.名師點撥 1.放縮法證明不等式常見以下四種類型:(1)直接放縮;(2)裂項放縮;(3)利用數列或函數的單調性放縮;(4)利用平均值不等式放縮.2.用放縮法證明不等式(1)為了證明不等式,有時需舍去或添加一些項,使不等式一邊放大或縮小,利用不等式的傳遞性,達到證明的目的,這種方法就是放縮法.運用放縮法要注意放縮必須適當,放得過大或縮得過小都不能達到證明的目的.思考辨析判斷下列說

27、法是否正確,正確的在后面的括號內打“”,錯誤的打“”.(1)用綜合法證明不等式時,其實質是由已知逐步推演不等式成立的充分條件,從而得結論.()(2)若|a|1,則|a+b|-|a-b|0,b0,a2+b22ab,所以(a2+b2)(a+b)2ab(a+b),即a3+b3+a2b+ab22a2b+2ab2,所以a3+b3a2b+ab2.同理可得b3+c3b2c+bc2,a3+c3a2c+ac2,將以上三式兩邊分別相加,得2(a3+b3+c3)a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2,所以3(a3+b3+c3)(a3+a2b+a2c)+(b3+ab2+b2c)+(c3+bc2+ac2)=(a

28、+b+c)(a2+b2+c2),所以a3+b3+c3 (a2+b2+c2)(a+b+c),當且僅當a=b=c時,等號成立.探究一探究二探究三思維辨析探究一探究二探究三思維辨析探究一探究二探究三思維辨析反思感悟 利用放縮法證明不等式的方法與技巧(1)利用放縮法證明不等式,要根據不等式兩端的特點及已知條件,審慎地采取措施,進行恰當地放縮,任何不適宜的放縮都會導致推證的失敗.(2)一定要熟悉放縮法的具體措施及操作方法,利用放縮法證明不等式,就是采取舍掉式中一些正項或負項,或者在分式中放大或縮小分子、分母,或者把和式中各項或某項換以較大或較小的數,從而達到證明不等式的目的.探究一探究二探究三思維辨析探

29、究一探究二探究三思維辨析分析解答本題可先采用分析法將所要證明的不等式轉化為較易證明的不等式,再用綜合法證明.探究一探究二探究三思維辨析探究一探究二探究三思維辨析反思感悟 分析法與綜合法互為前提,相互滲透,分析法的終點是綜合法的起點,綜合法的終點又成為進一步分析法的起點,分析法和綜合法要結合起來使用,也就是“兩頭湊”,會使問題較易解決.即在分析過程中有時進行到一定步驟不易進行下去,就要從已知條件出發,進行推理,直至綜合法推出的結論與分析法追溯的充分條件統一為止,從而證明了不等式.這種“由兩頭往中間靠”的方法可稱為分析綜合法.探究一探究二探究三思維辨析探究一探究二探究三思維辨析探究一探究二探究三思

30、維辨析探究一探究二探究三思維辨析糾錯心得 利用放縮法證明不等式的關鍵是對欲證不等式中的部分項進行放大或縮小,并使放大或縮小后的項能夠結合數列或其他求和知識進行化簡,從而證得不等式,如果放縮不當,無法對放縮后的式子化簡,就會導致錯誤,本題錯誤即在于此.探究一探究二探究三思維辨析12345A.分析法B.綜合法C.綜合法、分析法綜合使用D.間接證明法解析:證明過程是由左到右,順推證法,是綜合法.答案:B12345答案:B 12345答案:A2 12345答案:(-,4 12345第3課時幾何法、反證法1.幾何法通過構造幾何圖形,利用幾何圖形的性質來證明不等式的方法稱為幾何法.【做一做1】 已知x,y

31、,z(0,1),求證:x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)SBDF+SAEF+SDCE,得11sin 60 x(1-y)sin 60+y(1-z)sin 60+z(1-x)sin 60.整理,得x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)0,則2ab+2bc+2ca0.又a2+b2+c20,所以(a+b+c)20,這與a+b+c=0矛盾,所以原命題成立.123455不等式的應用1.不等式的幾個重要性質(1)ab,cda+cb+d;(2)ab,c0acbc,ab,c0ac0,求y=x(1-x2)的最大值. 12345答案:C 12345答案:A 123453.某車間分批生產某種產品,每批的生產準

32、備費用為800元.若每批生產x件,則平均倉儲時間為 天,且每件產品每天的倉儲費用為1元,為使平均每件產品的生產準備費用與倉儲費用之和最小,每批應生產產品()A.60件B.80件C.100件D.120件答案:B12345123455.已知球的半徑為R,球內接圓柱的底面半徑為r,高為h,則r和h為何值時,內接圓柱的體積最大? 12345本章整合第一章 不等關系與基本不等式答案:|a+b|a|+|b|ax+bc或ax+b-c3abc求差比較法分析法專題一專題二專題三專題四專題一含絕對值的不等式的解法1.解含絕對值的不等式的一般步驟(1)令每個絕對值符號里的一次式為0,求出相應的根.(2)把這些根由小

33、到大排列,它們把實數軸分為若干個區間.(3)在所分區間上,根據絕對值的定義去掉絕對值符號,討論所得的不等式在這個區間上的解集.(4)這些解集的并集就是原不等式的解集.2.解不等式常用技巧解不等式時,在不等式的兩邊分別作恒等變形,在不等式的兩邊同時加上(或減去)一個數或代數式,移項,在不等式的兩邊同時乘(或除以)一個正數或一個正的代數式,得到的不等式都和原來的不等式等價.這些方法,也是利用綜合法和分析法證明不等式時常常用到的技巧.專題一專題二專題三專題四【例1】 解不等式|x+1|2x-3|-2. 專題一專題二專題三專題四變式訓練1已知函數f(x)=|x-1|.(1)解關于x的不等式f(x)+x

34、2-10;(2)若g(x)=-|x+3|+m,且f(x)1-x2.由x-11-x2,得x1或x-2;由x-11或x1或x0,故原不等式的解集為x|x1.(2)原不等式等價于|x-1|+|x+3|m的解集非空.令h(x)=|x-1|+|x+3|,則h(x)min4.故實數m的取值范圍為(4,+).專題一專題二專題三專題四專題二最值及恒成立問題關于不等式的恒成立問題,一般要轉化為求函數的最值問題,例如:要使f(x)a恒成立,我們只需求出f(x)的最大值f(x)max,如果a比這個最大值還大,那么這個式子就恒成立了,即f(x)a恒成立f(x)maxa恒成立,我們只需求出f(x)的最小值f(x)min

35、,如果a比這個最小值還小,那么這個式子就恒成立,即f(x)a恒成立f(x)mina.專題一專題二專題三專題四【例2】 若不等式log3(|x-4|+|x+5|)a對于一切xR恒成立,則實數a的取值范圍是.分析應求出log3(|x-4|+|x+5|)的最小值,令a小于這個最小值,即為實數a的取值范圍.解析:由絕對值的幾何意義知|x-4|+|x+5|9,則log3(|x-4|+|x+5|)2,所以要使不等式log3(|x-4|+|x+5|)a對于一切xR恒成立,則需a2.答案:(-,2)專題一專題二專題三專題四變式訓練2若關于x的不等式|a|x+1|+|x-2|存在實數解,則實數a的取值范圍是.答

36、案:(-,-33,+)專題一專題二專題三專題四 分析將參數k與變量a,b進行分離,即把參數k放到不等式的一邊,不等式的另一邊是關于變量a,b的代數式,然后只需求出關于變量a,b的代數式的最值,即可得到參數k的取值范圍,從而得出k的最小值.專題一專題二專題三專題四答案:C 專題一專題二專題三專題四專題三不等式證明的其他方法1.換元法換元法主要是指對結構較為復雜,量與量之間的關系并不明顯的命題,通過引進新的變量,代換原題中的部分式子,簡化原有的結構,使之轉化為便于研究的形式.專題一專題二專題三專題四【例4】 已知-1x1,n2,且nN,求證:(1-x)n+(1+x)n2n.專題一專題二專題三專題四

37、專題一專題二專題三專題四2.構造數列法在一些常見的與正整數n有關的不等式問題中,我們一般可以通過構造一個數列來幫助求解.專題一專題二專題三專題四專題一專題二專題三專題四3.判別式法判別式法是根據已知構造出的一元二次方程、一元二次不等式或一元二次函數的解集特征,確定出其判別式所滿足的不等式,從而推出欲證的不等式的方法.專題一專題二專題三專題四 分析一般地,可以變形轉化為某變量的一元二次方程的形式,且變量允許在實數集內的問題都能利用判別式法解決.但應注意對二次項系數的討論.專題一專題二專題三專題四專題四不等式的實際應用利用不等式的性質解決實際應用題,首先要仔細閱讀題目,弄清要解決的實際問題,確定是

38、求什么量的最值(即題中的y);其次分析題目中給出的條件,建立y的函數表達式y=f(x)(x一般為題目中最后所要求的量);最后利用不等式的有關知識解題.在使用不等式性質的過程中,一定要確定自變量的取值范圍,在滿足“一正、二定、三相等”的情況下進行應用,特別要注意等號取得的條件以及是否符合其實際意義.專題一專題二專題三專題四【例7】 設計一幅宣傳畫,要求畫面面積為4 840 cm2,畫面的寬與高的比為(44 800.對任意x1,x2滿足12.5x10,012.52x1x2162324.Q(x2)1時,等價于a-1+a3,解得a2.所以a的取值范圍是2,+).23415678234156782341

39、567823415678(2)證明由(1)知,當a,bM時,-1a1,-1b1,從而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)0.因此|a+b|0,b0,a3+b3=2.證明:(1)(a+b)(a5+b5)4;(2)a+b2.解(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)24.(2)因為(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3所以(a+b)38,因此a+b2.23415678考點3:解不等式問題6.(2016課標乙高考)已知函數f(x)=|x+1|-|2x-3|.(

40、1)在圖中畫出y=f(x)的圖像;(2)求不等式|f(x)|1的解集.23415678234156787.(2017全國1高考)已知函數f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)當a=1時,求不等式f(x)g(x)的解集;(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含-1,1,求a的取值范圍.解(1)當a=1時,不等式f(x)g(x)等價于x2-x+|x+1|+|x-1|-40.當x-1時,式化為x2-3x-40,無解;當-1x1時,式化為x2-x-20,從而-1x1;(2)當x-1,1時,g(x)=2.所以f(x)g(x)的解集包含-1,1,等價于當x-1,1時f(x)2

41、.又f(x)在-1,1的最小值必為f(-1)與f(1)之一,所以f(-1)2且f(1)2,得-1a1.所以a的取值范圍為-1,1.234156788.(2017全國3高考)已知函數f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式f(x)1的解集;(2)若不等式f(x)x2-x+m的解集非空,求m的取值范圍.解(1)當x2時,由f(x)1解得x2.所以f(x)1的解集為x|x1.23415678(2)由f(x)x2-x+m得m|x+1|-|x-2|-x2+x.而|x+1|-|x-2|-x2+x|x|+1+|x|-2-x2+|x|第二章 幾個重要的不等式1柯西不等式1.簡單形式的柯西不等式 名師點

42、撥 1.定理1的幾點說明:(1)(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=(ac+bd)2+(ad-bc)2(ac+bd)2,這里用了放縮法.因為(ad-bc)20,所以簡單形式的柯西不等式中等號成立的充要條件是(ad-bc)2=0,即ad=bc.2.簡單形式的柯西不等式反映了4個實數之間的特定數量關系,不僅在排列形式上規律明顯,具有簡潔、對稱的美感,而且在數學和物理中有重要作用.【做一做1】 下列不等式中,不一定成立的是()解析:由柯西不等式可知A,B,C項均成立,D項不成立.答案:D【做一做2】 若a=(cos ,sin ),b=(3cos 2,3sin 2),

43、則ab的取值范圍是.解析:由已知得|a|=1,|b|=3,而由|可知|ab|a|b|=3,所以-3ab3,即ab的取值范圍是-3,3.答案:-3,32.一般形式的柯西不等式名師點撥 一般形式的柯西不等式是二維形式、三維形式、四維形式的柯西不等式的歸納與推廣,其特點可類比二維形式的柯西不等式來總結,左邊是平方和的積,右邊是積的和的平方.在使用時,關鍵是構造出符合柯西不等式的結構形式.【做一做3】 若a,b,c,x,y,zR,且a2+b2+c2=4,x2+y2+z2=9,則ax+by+cz的取值范圍是.解析:由三維形式的柯西不等式可得(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)(ax+by+cz)2,

44、即(ax+by+cz)249=36,所以-6ax+by+cz6.答案:-6,6答案:(1)(2)(3)(4) 探究一探究二思維辨析分析根據柯西不等式的結構,可將欲證不等式右邊添乘cos2+sin2,以符合柯西不等式的形式,再進行論證和推理.探究一探究二思維辨析反思感悟 利用柯西不等式證明不等式時,有時需要將數學表達式進行適當變形,常見的變形技巧有下面幾種:(1)結構的巧變(2)常數的巧拆在運用柯西不等式時,根據題中的數字特征,對常數進行巧拆是一種常用技巧.探究一探究二思維辨析探究一探究二思維辨析探究一探究二思維辨析反思感悟 利用柯西不等式向量形式解決問題的技巧與方法利用二維形式柯西不等式的代數

45、形式解決問題時常需要構造兩列數,同樣,向量形式的柯西不等式需要構造兩個向量,通常我們使構造的向量滿足待證不等式一側的形式,再證另一側.同時要注意向量模的計算公式探究一探究二思維辨析變式訓練2已知a,bR+,且a+b=1.求證:(ax+by)2ax2+by2.探究一探究二思維辨析分析根據柯西不等式的形式給式子進行變形,注意等價性. 探究一探究二思維辨析探究一探究二思維辨析反思感悟 利用柯西不等式求最值的關鍵是根據已知條件,構造符合柯西不等式的形式及特點,然后利用柯西不等式求解最值,構造符合柯西不等式的形式時,可以有以下幾種方法:(1)巧乘常數;(2)添項;(3)改變式子的結構;(4)重新安排各項

46、的次序等.探究一探究二思維辨析探究一探究二思維辨析探究一探究二思維辨析糾錯心得 柯西不等式在求二元代數式的最值中具有重要的應用,解題中,一是要熟記柯西不等式的基本形式及其各種變式,二是要注意不等式中等號成立的條件,這是能否取得相應最值的關鍵,如果公式記憶不準確,忽視等號成立的條件,就容易導致錯誤.探究一探究二思維辨析答案:3 12345答案:D 12345答案:C 123453.已知a,b,x1,x2(0,+),則使不等式(ax1+bx2)(bx1+ax2)x1x2成立的一個條件是()A.a+b=1 B.a2+b2=1答案:A123454.已知x+y=1,則2x2+3y2的最小值是. 1234

47、52.2排序不等式1.定理1設a,b和c,d都是實數,如果ab,cd,那么ac+bdad+bc,此式當且僅當a=b(或c=d)時取“=”號.2.定理2(1)順序和、亂序和、逆序和:設實數a1,a2,a3,b1,b2,b3滿足a1a2a3,b1b2b3,則a1b1+a2b2+a3b3 a1b3+a2b2+a3b1,其中j1,j2,j3是1,2,3的任一排列方式.上式當且僅當a1=a2=a3(或b1=b2=b3)時取“=”號.通常稱a1b1+a2b2+a3b3為順序和, 為亂序和,a1b3+a2b2+a3b1為逆序和(倒序和).(2)定理2(排序不等式):設有兩個有序實數組a1a2an及b1b2b

48、n,則(順序和)a1b1+a2b2+anbn(亂序和) (逆序和)a1bn+a2bn-1+anb1.其中j1,j2,jn是1,2,n的任一排列方式.上式當且僅當a1=a2=an(或b1=b2=bn)時取“=”號.名師點撥 1.排序不等式中能構造的和按數組中的某種“搭配”的順序被分為三種形式:順序和、逆序和、亂序和,對這三種不同的搭配形式只需注重是怎樣的“次序”,兩種較為簡單的是“順與逆”,而亂序和則是不按“常規”的順序.2.排序不等式中取等號的條件是a1=a2=an或b1=b2=bn,對于我們解決某些問題是非常關鍵的,它是命題成立的一種條件,所以要牢記.【做一做】 已知兩組數1,2,3和25,

49、30,45,若c1,c2,c3是25,30,45的一個排列,則c1+2c2+3c3的最大值是,最小值是.解析:c1+2c2+3c3的最大值應該是順序和125+230+345=220,最小值則為反序和145+230+325=180.答案:220180思考辨析判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內打“”,錯誤的打“”.(1)對于給定的兩組數,順序和、逆序和與亂序和都是唯一的.()(2)對于任意給定的兩組數,逆序和不大于順序和.()(3)設a1,a2,a3是1,2,3的任一排列方式,則a1+2a2+3a3的最大值是14.()答案:(1)(2)(3)(4)探究一探究二思維辨析探究一探究二思維辨析反

50、思感悟 當所證不等式中涉及的變量已經給出大小關系時,可以根據欲證不等式各部分的結構特點,構造數組,從而可以將欲證不等式中的各部分視作是給定數組的順序和、逆序和或亂序和,從而借助排序不等式證得結論.探究一探究二思維辨析探究一探究二思維辨析分析利用排序不等式求解該式的最小值關鍵是找出兩組有序數組,然后根據逆序和亂序和順序和求解最小值.探究一探究二思維辨析探究一探究二思維辨析反思感悟 利用排序不等式求最值的方法利用排序不等式求最值時,先要對待證不等式及已知條件仔細分析,觀察不等式的結構,明確兩個數組的大小順序,分清順序和、亂序和及逆序和,由于亂序和是不確定的,根據需要寫出其中的一個即可.另外,最值一

51、般是順序和或逆序和.探究一探究二思維辨析探究一探究二思維辨析因忽視等號成立的條件而致誤【典例】已知a1,a2,a3,b1,b2,b31,2,且a1,a2,a3不全相等,b1,b2,b3不全相等,試求式子a1b1+a2b2+a3b3的取值范圍.錯解不妨設1a1a2a32,c1,c2,c3為b1,b2,b3的一個排列,且1c1c2c32,則a1c3+a2c2+a3c1a1b1+a2b2+a3b3a1c1+a2c2+a3c3,3a1b1+a2b2+a3b312,a1b1+a2b2+a3b3的取值范圍為3,12.正解設1a1a2a32,c1,c2,c3為b1,b2,b3的一個排列,且1c1c2c32,

52、則a1c3+a2c2+a3c1a1b1+a2b2+a3b3a1c1+a2c2+a3c3,3a1b1+a2b2+a3b312.a1,a2,a3不全相等,b1,b2,b3不全相等,不等式中的等號不成立,a1b1+a2b2+a3b3的取值范圍為(3,12).探究一探究二思維辨析糾錯心得 1.本題由于a1,a2,a3不全相等,b1,b2,b3也不全相等,因此排序不等式中的等號不成立.2.牢記排序不等式中取等號的條件是a1=a2=an或b1=b2=bn.探究一探究二思維辨析A.1B.nC.n2D.無法確定 答案:B 12341.已知兩組數a1a2a3a4a5,b1b2b3b4b5,其中a1=2,a2=7

53、,a3=8,a4=9,a5=12,b1=3,b2=4,b3=6,b4=10,b5=11,將bi(i=1,2,3,4,5)重新排列后記為c1,c2,c3,c4,c5,則a1c1+a2c2+a3c3+a4c4+a5c5的最大值與最小值分別為()A.132,6B.304,212C.22,6D.21,36解析:順序和最大,所以最大值為a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+a5b5=304,反序和最小,故最小值為a1b5+a2b4+a3b3+a4b2+a5b1=212.答案:B12342.已知a0,且M=a3+(a+1)3+(a+2)3,N=a2(a+1)+(a+1)2(a+2)+a(a+2)2,則M

54、與N的大小關系是 ()A.MNB.MNC.MND.M0,則a3+b3與a2b+ab2的大小關系是.解析:因為ab0,所以a2b20,于是順序和為aa2+bb2=a3+b3,逆序和為a2b+ab2,由排序不等式可得a3+b3a2b+ab2.答案:a3+b3a2b+ab22.3數學歸納法與貝努利不等式3.1數學歸納法對數學歸納法的理解(1)數學歸納法原理:數學歸納法原理是設有一個關于正整數n的命題,若當n取第1個值n0時該命題成立,又在假設當n取第k個值時該命題成立后可以推出n取第k+1個值時該命題成立,則該命題對一切自然數nn0都成立.(2)數學歸納法:數學歸納法可以用于證明與正整數有關的命題.

55、證明需要經過兩個步驟:驗證當n取第一個值n0(如n0=1或2等)時命題正確.假設當n=k時(kN+,kn0)命題正確,證明當n=k+1時命題也正確.在完成了上述兩個步驟之后,就可以斷定命題對于從n0開始的所有正整數都正確.名師點撥 數學歸納法一般被使用證明某些涉及正整數n的命題,n可取無限多個值,但不能簡單地說所有涉及正整數n的命題都可以用數學歸納法證明,例如用數學歸納法證明 的單調性就難以實現,一般來說,從n=k到n=k+1時,如果問題中存在可利用的遞推關系,則數學歸納法有用武之地,否則使用數學歸納法就有困難.在運用數學歸納法時,要注意起點n0并非一定取1,也可能取0,2等值,要看清題目,比

56、如證明凸n邊形的內角和f(n)=(n-2)180,這里面的n應不小于3,即n3,第一個值n0=3.歸納假設的利用是數學歸納法證明的關鍵,這也是能否由“n=k”遞推到“n=k+1”的關鍵,在證明過程中,需根據命題的變化或者在步驟的變化中,從數學式子的結構特點上,利用拼湊的方法,湊假設,湊結論,從而使“遞推關系”得以順利進行,命題得以證明.答案:D 答案:D 思考辨析判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內打“”,錯誤的打“”.(1)用數學歸納法證明問題時,第一步是驗證當n=1時結論成立.()(2)所有與正整數有關的數學命題都可以用數學歸納法證明.()(3)用數學歸納法證明問題時,只要推理過程正

57、確,歸納假設可以不用.()答案:(1)(2)(3)探究一探究二探究三思維辨析 分析按照數學歸納法的步驟進行證明,注意第二步中合理運用歸納假設.探究一探究二探究三思維辨析探究一探究二探究三思維辨析反思感悟 利用數學歸納法證明等式時應注意的問題(1)第一步的驗證,對于有些問題驗證的并不是n=1,有時需驗證n=2,n=3,甚至需要驗證n=10,如證明:對足夠大的正整數n,有2nn3,就需要驗證n=10時不等式成立.(2)注意當n=k+1時式子的項數,特別是尋找n=k與n=k+1的式子之間的關系時,項數發生什么變化容易被弄錯,因此對n=k與n=k+1時式子的正確分析是應用數學歸納法成功證明問題的保障.

58、(3)在第二步的證明過程中一定要用上歸納假設,否則這樣的證明就不再是數學歸納法.探究一探究二探究三思維辨析變式訓練1用數學歸納法證明:1+32+522+(2n-1)2n-1=2n(2n-3)+3(nN+).證明(1)當n=1時,左邊=1,右邊=2(2-3)+3=1,左邊=右邊,所以等式成立.(2)假設當n=k(kN+)時,等式成立,即1+32+522+(2k-1)2k-1=2k(2k-3)+3.則當n=k+1時,1+32+522+(2k-1)2k-1+(2k+1)2k=2k(2k-3)+3+(2k+1)2k=2k(4k-2)+3=2k+12(k+1)-3+3,即當n=k+1時,等式也成立.由(

59、1)(2)知,等式對任何nN+都成立.探究一探究二探究三思維辨析【例2】 用數學歸納法證明:(3n+1)7n-1(nN+)能被9整除.分析在第二步證明中,注意利用歸納假設,對n=k+1時的式子進行合理變形.證明(1)當n=1時,(31+1)7-1=27能被9整除,命題成立.(2)假設當n=k(kN+,k1)時命題成立,即(3k+1)7k-1能被9整除.則當n=k+1時,3(k+1)+17k+1-1=(3k+1)7k+1-1+37k+1=(3k+1)7k-1+6(3k+1)7k+37k+1=(3k+1)7k-1+9(2k+3)7k.因為(3k+1)7k-1和9(2k+3)7k都能被9整除,所以(

60、3k+1)7k-1+9(2k+3)7k能被9整除,即當n=k+1時,命題也成立,綜合(1)(2)可知,(3n+1)7n-1(nN+)能被9整除.探究一探究二探究三思維辨析反思感悟 用數學歸納法證明整除問題時,首先從要證的式子中拼湊出假設成立的式子,然后證明剩余的式子也能被某式(數)整除.其中的關鍵是“湊項”,可采用增項、減項、拆項和因式分解等方法分析出因子,從而利用歸納假設使問題得到解決.探究一探究二探究三思維辨析變式訓練2用數學歸納法證明:an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除,其中nN+,aR.證明(1)當n=1時,an+1+(a+1)2n-1即為a2+a+1,能夠被a2+a+1