1、1 分離變量法是求解各種類型偏微分方程定解問題的典型方法之一。包括各類典型方程的初值、邊值與混合問題。要求熟練掌握。初值問題 (柯西問題)：無邊界條件的定解問題。邊值問題：無初值條件的定解問題。混合問題：有初值條件和邊界條件的定解問題。第三章 分離變量法2本章主要內容1、一維波動與熱傳導定解問題分離變量求解2、高維定解問題分離變量求解3、非齊次定解問題的求解學時：8學時3一維波動與熱傳導定解問題分離變量求解本次課主要內容(一)、波動方程定解問題的分離變量求解(二)、熱傳導方程定解問題的分離變量求解4齊次弦振動方程的混合問題求解(一)、波動方程定解問題的分離變量求解分析：(1) 定解問題特點：方

2、程是二階線性齊次方程，所以各特解的和也是方程的解。如果能夠找到足夠多的特解，可考慮用它們的線性組合去求定解問題的解！5因此，自然就會想到上面齊次方程的特解形式可能為：(2) 物理模型考察：樂器發出的聲音可以分解為若干不同頻率的單音。每個單音振動又可以表示為：該等式的特征是把待求的多元函數分解為一元函數乘積的形式。6設方程(1)具有可以分離變量的解 :把(4)代入(1)與(2)得：注：如果定解問題是非齊次方程與非齊次邊界條件，能夠得到(5)與(6)嗎？7欲使(5)成立，等式兩端必須為常數。于是，令：考慮如下方程：下面討論該方程的解8(1) 當 時 從而 9(2). 當 時(3).當 時10注：對

3、于參數的某些值，問題(8),(9)的非平凡解存在，稱這種值為固有值(本征值)；同時稱相應的非平凡解X(x)為固有函數(本征函數)；求解固有值和固有函數的問題稱為固有值問題(本征值問題)。分離變量的核心問題是固有值問題(本征值問題)！11由(7)還可得：該方程對應于固有值n的通解為：把(10)、(12)代入(4)得：12(13)是滿足方程和邊界條件的特解，但不滿足初始條件。由于方程與邊界條件是線性的，因此，由疊加原理2，下面表達式仍然滿足方程和邊界條件。欲使(13) 滿足方程和邊界條件和初始條件。只需把(14)代入初始條件，求出Cn,Dn即可！13將 在0,L上按奇式傅里葉展開得：問題回顧：1、

4、分離變量法的物理背景是什么？2、分離變量法的使用條件是什么？3、什么是分離變量法的固有值問題？4、小結分離變量法的步驟。141、分離變量2、求解固有值問題3、求解其它常微分方程對應于固有值的解利用分離變量法求定解的步驟4、寫出疊加解，利用其余條件定出疊加系數。15例1 求下面定解問題解: 1、分離變量16得：2、求解固有值問題(1) 當 時 17(2). 當 時(3).當 時由條件得：18所以，固有值為：固有函數為：3、求解如下微分方程194、一般解為：20例2. 兩端固定的弦長為l，用細棒敲擊弦上x=x0 點處，亦即在點 x=x0 施加沖量，設其沖量為I 。求解弦的振動。解:定解問題為：由分

5、離變量得定解問題的一般解為：21由初始條件得：定解問題的解為：22例3. 求解如下定解問題分析：方程不是齊次形式，要作齊次化處理！令：代入原方程得：23欲使關于V(x,t)的定解問題可分離變量，W(x)要滿足：求解得：原問題變為：24由分離變量得定解問題的一般解為：由初始條件得：所以，定解問題的解為：25(二)、熱傳導方程混合問題分離變量解法例1 設有長度為L的，均勻的，內部無熱源的熱傳導細桿，側面絕熱，其左端保持零度，右端絕熱，初始溫度分布為已知。該定解問題應為26解：1、分離變量2、求解固有值問題27(1). 當 時，特征值問題無非零(2). 由條件得：28固有函數為： 29利用疊加原理，得一般解為： 由初始條件得： 30例2 設有一條長為2L、溫度為零的均勻桿，其兩端與側面都絕熱。現在用一個火焰集中在桿的中點燒它一下，使傳給桿的熱量恰好等于 c(設c為桿的比熱，為線密度）。求桿上的溫度分布。 解：問題歸結為解定解問題 :31解：1、分離變量2、求解固有值問題32(1) 當 時 從而 33(2). 當 時(3).當 時由條件得：34求出Tn(