1、 WORD 13/13第六關 以二次函數與特殊四邊形問題為背景的解答題總體點評二次函數在全國中考數中常常作為壓軸題，同時在省級，國家級數競賽中也有二次函數大題，很多生在有限的時間都不能很好完成。由于在高中和大中很多數知識都與函數知識或函數的思想有關，生在初中階段函數知識和函數思維方法得好否，直接關系到未來數的習。二次函數與特殊平行四邊形的綜合問題屬于初中階段的主要容，其主要涉與：二次函數的表達式、二次函數動點問題的討論、特殊平行四邊形的性質（主要包括線段之間的關系、角度的大小等等）。在中考中，往往作為壓軸題的形式出現，也給很多中生造成了很大的壓力。解題思路以二次函數為載體的平行四邊形存在性問題

2、是近年來中考的熱點，其圖形復雜，知識覆蓋面廣，綜合性較強，對生分析問題和解決問題的能力要求高對這類題，常規解法是先畫出平行四邊形，再依據“平行四邊形的一組對邊平行且相等”或“平行四邊形的對角線互相平分”來解決典型例題例1如圖，二次函數的圖象經過A(2，0)，B（0，-6）兩點.(1)求這個二次函數的解析式與頂點坐標；(2)設該二次函數的對稱軸與x軸交于點C，連接BA，BC，求ABC的面積.(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P使得以O、B、C、P四點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出P點坐標；若不存在，請說明理由.答案（1）（4，2）；（2）6；（3）存在， P1（2，6），P2（

3、2，6）頂點坐標為：（4，2）；（2）令x2+4x6=0，x28x+12=0，解得：x1=2，x2=6，另一個交點C（6，0），AC=2，SABC=26=6；（3）存在分兩種情況討論：顯然過B作BPOC交對稱軸于點P，則四邊形OBPC是矩形，此時P(2，6)；過O作OPBC交對稱軸于點P，OBPC，四邊形OBCP是平行四邊形，CP=OB=6，P(2，6)綜上所述：P（2，6）或P（2，6）名師點睛本題考查了待定系數法求二次函數解析式以與平行四邊形的判定方法，解題的關鍵是把已知點的坐標代入函數解析式，得到關于b、c的方程組再依據“平行四邊形的一組對邊平行且相等”或“平行四邊形的對角線互相平分”來

4、解決例2如圖1（注：與圖2完全一樣），二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A（3，0），B（1，0）兩點，與y軸交于點C（1）求該二次函數的解析式；（2）設該拋物線的頂點為D，求ACD的面積（請在圖1中探索）；（3）若點P，Q同時從A點出發，都以每秒1個單位長度的速度分別沿AB，AC邊運動，其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，當P，Q運動到t秒時，APQ沿PQ所在的直線翻折，點A恰好落在拋物線上E點處，請直接判定此時四邊形APEQ的形狀，并求出E點坐標（請在圖2中探索）答案（1）y=x2x4；（2）4；（3）四邊形APEQ為菱形，E點坐標為（，）理由詳見解析.解析試題分析：（1）將

5、A，B點坐標代入函數y=x2+bx+c中，求得b、c，進而可求解析式；（2）由解析式先求得點D、C坐標，再根據SACD=S梯形AOMDSCDMSAOC，列式計算即可；（3）注意到P，Q運動速度一樣，則APQ運動時都為等腰三角形，又由A、E對稱，則AP=EP，AQ=EQ，易得四邊形四邊都相等，即菱形利用菱形對邊平行且相等的性質可用t表示E點坐標，又E在E函數上，所以代入即可求t，進而E可表示試題解析：（1）二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A（3，0），B（1，0），解得：，y=x2x4；（2）過點D作DMy軸于點M，y=x2x4=（x1）2，點D（1，）、點C（0，4），則SACD=S

6、梯形AOMDSCDMSAOC=（1+3）（4）134=4；（3）四邊形APEQ為菱形，E點坐標為（，）理由如下如圖2，E點關于PQ與A點對稱，過點Q作，QFAP于F，AP=AQ=t，AP=EP，AQ=EQAP=AQ=QE=EP，四邊形AQEP為菱形，FQOC，AF=t，FQ=tQ（3t，t），EQ=AP=t，E（3tt，t），E在二次函數y=x2x4上，t=（3t）2（3t）4，t=，或t=0（與A重合，舍去），E（，）考點：二次函數綜合題名師點睛本題考查了二次函數性質、求三角形的面積、菱形等知識，總體來說題意復雜但解答容都很基礎，是一道值得練習的題目例3如圖，已知二次函數y=x2+bx+c（

7、其中b，c為常數）的圖象經過點A（3，1），點C（0，4），頂點為點M，過點A作ABx軸，交y軸于點D，交該二次函數圖象于點B，連結BC（1）求該二次函數的解析式與點M的坐標（2）若將該二次函數圖象向下平移m（m0）個單位，使平移后得到的二次函數圖象的頂點落在ABC的部（不包括ABC的邊界），求m的取值圍（3）沿直線AC方向平移該二次函數圖象，使得CM與平移前的CB相等，求平移后點M的坐標（4）點P是直線AC上的動點，過點P作直線AC的垂線PQ，記點M關于直線PQ的對稱點為M當以點P、A、M、M為頂點的四邊形為平行四邊形時，直接寫出點P的坐標答案（1）y=x2+2x+4，（1，5）；（2）2m

8、4;（3）（3，3）或（1，7）;（4）（1，3）或（3，7）.解析試題分析：（1）利用待定系數法，求二次函數解析式.(2)先求出AC直線解析式，平移后頂點AC下方，AB上方，在求出坐標的圍.(3) 當y=1時，x2+2x+4=1，解得x=1或3，利用MMAC，可得平移后的M的坐標.(4) 連接MC，MM交PQ于F，設出各點坐標，則四邊形CMFP是矩形, 當四邊形PAMM是平行四邊形時,分別求出P的坐標為（1，3）或（3，7）試題解析：解：（1）把點A（3，1），點C（0，4）代入二次函數y=x2+bx+c得,解得,二次函數解析式為y=x2+2x+4，配方得y=（x1）2+5，點M的坐標為（1

9、，5）.（2）設直線AC解析式為y=kx+b，把點A（3，1），C（0，4）代入得，解得： ，直線AC的解析式為y=x+4，如圖所示，對稱軸直線x=1與ABC兩邊分別交于點E、點F,把x=1代入直線AC解析式y=x+4解得y=3，則點E坐標為（1，3），點F坐標為（1，1），點M向下平移m個單位后，坐標為（1，5m），由題意：15m3，解得2m4；2m4（3）如圖，當y=1時，x2+2x+4=1，解得x=1或3，B（1，1），C（0，4），BC=,MMAC，CM=,M（1，5）,M的坐標為（3，3）或（1，7）,平移后點M的坐標（3，3）或（1，7）（4）如圖，連接MC，MM交PQ于F，則四邊

10、形CMFP是矩形，當四邊形PAMM是平行四邊形時，PA=MM=2MF=2PC，設P（m，m+4），則有（3m）=2m，m=1，P（1，3），當PAMM是平行四邊形時，易知AP=2CP，（3m）=2（m），解得m=3，P（3，7），綜上所述，滿足條件的點P的坐標為（1，3）或（3，7）名師點睛1.求二次函數的解析式（1）已知二次函數過三個點，利用一般式，yax2bxc（）.列方程組求二次函數解析式.(2)已知二次函數與x軸的兩個交點 (，利用雙根式，y=（）求二次函數解析式,而且此時對稱軸方程過交點的中點, .(3)已知二次函數的頂點坐標，利用頂點式,（）求二次函數解析式.（4）已知條件中a，b

11、，c，給定了一個值，則需要列兩個方程求解.(5)已知條件有對稱軸，對稱軸也可以作為一個方程；如果給定的兩個點縱坐標一樣 (，則可以得到對稱軸方程.2.處理直角坐標系下，二次函數與一次函數圖像問題：第一步要寫出每個點的坐標（不能寫出來的，可以用字母表示），寫已知點坐標的過程中，經常要做坐標軸的垂線，第二步，利用特殊圖形的性質和函數的性質，找出不同點間的關系.如果需要得到一次函數的解析式，依然利用待定系數法求解析式.方法歸納這類問題，在題中的四個點中，至少有兩個定點，用動點坐標“用字母表示”分別設出余下所有動點的坐標（若有兩個動點，顯然每個動點應各選用一個參數字母來“用字母表示”出動點坐標），任選

12、一個已知點作為對角線的起點，列出所有可能的對角線（顯然最多有3條），此時與之對應的另一條對角線也就確定了，然后運用中點坐標公式，求出每一種情況兩條對角線的中點坐標，由平行四邊形的判定定理可知，兩中點重合，其坐標對應相等，列出兩個方程，求解即可。進一步有：若是否存在這樣的動點構成矩形呢？先讓動點構成平行四邊形，再驗證兩條對角線相等否？若相等，則所求動點能構成矩形，否則這樣的動點不存在。若是否存在這樣的動點構成棱形呢？先讓動點構成平行四邊形，再驗證任意一組鄰邊相等否？若相等，則所求動點能構成棱形，否則這樣的動點不存在。若是否存在這樣的動點構成正方形呢？先讓動點構成平行四邊形，再驗證任意一組鄰邊是否

13、相等？和兩條對角線是否相等？若都相等，則所求動點能構成正方形，否則這樣的動點不存在。針對練習1如圖，對稱軸為直線x=的拋物線經過點A（6，0）和B（0，4）（1）求拋物線解析式與頂點坐標；（2）設點E（x，y）是拋物線上一動點，且位于第一象限，四邊形OEAF是以OA為對角線的平行四邊形，求平行四邊形OEAF的面積S與x之間的函數關系式；（3）當（2）中的平行四邊形OEAF的面積為24時，請判斷平行四邊形OEAF是否為菱形2如圖，拋物線y=ax22x+c（a0）與x軸、y軸分別交于點A，B，C三點，已知點A（2，0），點C（0，8），點D是拋物線的頂點（1）求拋物線的解析式與頂點D的坐標；（2）

14、如圖1，拋物線的對稱軸與x軸交于點E，第四象限的拋物線上有一點P，將EBP沿直線EP折疊，使點B的對應點B落在拋物線的對稱軸上，求點P的坐標；（3）如圖2，設BC交拋物線的對稱軸于點F，作直線CD，點M是直線CD上的動點，點N是平面一點，當以點B，F，M，N為頂點的四邊形是菱形時，請直接寫出點M的坐標3如圖，已知拋物線過點A（3，0），B（2，3），C（0，3），其頂點為D（1）求拋物線的解析式；（2）設點M（1，m），當MB+MD的值最小時，求m的值；（3）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求APC的面積的最大值；（4）若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點N，E為直線AC上任意一點，過

15、點E作EFND交拋物線于點F，以N，D，E，F為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點E的坐標；若不能，請說明理由4如圖，拋物線 與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C，點B坐標為（6，0），點C坐標為（0，6），點D是拋物線的頂點，過點D作x軸的垂線，垂足為E，連接BD（1）求拋物線的解析式與點D的坐標；（2）點F是拋物線上的動點，當FBA=BDE時，求點F的坐標；（3）若點M是拋物線上的動點，過點M作MNx軸與拋物線交于點N，點P在x軸上，點Q在坐標平面，以線段MN為對角線作正方形MPNQ，請寫出點Q的坐標5如圖1，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點，矩形的邊，延長交拋物線于點.（1）求拋物線

16、的表達式；（2）如圖2，點是直線上方拋物線上的一個動點，過點作軸的平行線交直線于點，作，垂足為.設的長為，點的橫坐標為，求與的函數關系是（不必寫出的取值圍），并求出的最大值；（3）如果點是拋物線對稱軸上的一點，拋物線上是否存在點，使得以為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有滿足條件的的坐標；若不存在，請說明理由.6如圖，在平面直角坐標系中，拋物線交軸于點，交軸正半軸于點，與過點的直線相交于另一點，過點作軸，垂足為.（1）求拋物線的表達式；（2）點在線段上（不與點、重合），過作軸，交直線于，交拋物線于點，連接，求面積的最大值；（3）若是軸正半軸上的一動點，設的長為，是否存在，使以點為頂

17、點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.7如圖，已知拋物線過點，.點為拋物線上的動點，過點作軸，交直線于點，交軸于點.（1）求二次函數的表達式；（2）過點作軸，垂足為點.若四邊形為正方形（此處限定點在對稱軸的右側），求該正方形的面積；（3）若，求點的橫坐標.8如圖，是將拋物線平移后得到的拋物線，其對稱軸為，與軸的一個交點為，另一交點為，與軸交點為（1）求拋物線的函數表達式；（2）若點為拋物線上一點，且，求點的坐標；（3）點是拋物線上一點，點是一次函數的圖象上一點，若四邊形為平行四邊形，這樣的點是否存在？若存在，分別求出點的坐標，若不存在，說明理由 9如圖，拋物線經過點，

18、與軸負半軸交于點，與軸交于點，且.（1）求拋物線的解析式；（2）點在軸上，且，求點的坐標；（3）點在拋物線上，點在拋物線的對稱軸上，是否存在以點，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在。求出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由.10已知：如圖直線y= QUOTE x+2與拋物線y=ax2交于AB兩點，點B的坐標（3，m），直線AB交y軸于點C（1）求a，m的值；（2）點P在對稱軸右側的拋物線上，設P點橫坐標為t，PAB的面積為s，求s與t的函數關系式；（3）在（2）的條件下，在x軸上有一點Q，當以BCPQ為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點Q的坐標11如圖，在平面直角坐標系中，二次函數 QU

19、OTE 的圖像與 QUOTE 軸交于 QUOTE 、 QUOTE 兩點，與 QUOTE 軸交于 QUOTE 點，點 QUOTE 是拋物線頂點，點 QUOTE 是直線 QUOTE 下方的拋物線上一動點（ QUOTE ）這個二次函數的表達式為_（ QUOTE ）設直線 QUOTE 的解析式為 QUOTE ，則不等式 QUOTE 的解集為_（ QUOTE ）連結 QUOTE 、 QUOTE ，并把 QUOTE 沿 QUOTE 翻折，得到四邊形 QUOTE ，那么是否存在點 QUOTE ，使四邊形 QUOTE 為菱形？若存在，請求出此時點 QUOTE 的坐標；若不存在，請說明理由（ QUOTE ）當四

20、邊形 QUOTE 的面積最大時，求出此時 QUOTE 點的坐標和四邊形 QUOTE 的最大面積（ QUOTE ）若把條件“點 QUOTE 是直線 QUOTE 下方的拋物線上一動點”改為“點 QUOTE 是拋物線上的任一動點”，其它條件不變，當以 QUOTE 、 QUOTE 、 QUOTE 、 QUOTE 為頂點的四邊形為梯形時，直接寫出點 QUOTE 的坐標12如圖，矩形OABC的兩邊在坐標軸上，點A的坐標為（10，0），拋物線y=ax2+bx+4過點B，C兩點，且與x軸的一個交點為D（2，0），點P是線段CB上的動點，設CP=t（0t10）（1）請直接寫出B、C兩點的坐標與拋物線的解析式；（2）過點P作PEBC，交拋物線于點E，連接BE，當t為何值時，PBE和RtOCD中的一個角相等？