1、 教師姓名學生姓名年 級初三上課日期2015/11學 科 數學課題名稱二次函數知識點總結計劃時長2h教學目標教學重難點一、二次函數概念：1二次函數的概念：一般地，形如（是常數，）的函數，叫做二次函數。 這里需要強調：和一元二次方程類似，二次項系數，而可以為零二次函數的定義域是全體實數2. 二次函數的結構特征： 等號左邊是函數，右邊是關于自變量的二次式，的最高次數是2 是常數，是二次項系數，是一次項系數，是常數項二、二次函數的基本形式1. 二次函數基本形式：的性質：a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值向下軸

2、時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值 2. 的性質：上加下減。的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值向下軸時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值3. 的性質：左加右減。的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值向下X=h時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值4. 的性質：的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值向下X=h時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值三、二次函數圖象的平移

3、1. 平移步驟：方法一： 將拋物線解析式轉化成頂點式，確定其頂點坐標； 保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下： 2. 平移規律 在原有函數的基礎上“值正右移，負左移；值正上移，負下移”概括成八個字“左加右減，上加下減” 方法二：沿軸平移:向上（下）平移個單位，變成（或）沿軸平移：向左（右）平移個單位，變成（或）四、二次函數與的比較從解析式上看，與是兩種不同的表達形式，后者通過配方可以得到前者，即，其中五、二次函數圖象的畫法五點繪圖法：利用配方法將二次函數化為頂點式，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與軸的交點

4、、以及關于對稱軸對稱的點、與軸的交點，（若與軸沒有交點，則取兩組關于對稱軸對稱的點）.畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與軸的交點，與軸的交點.六、二次函數的性質 1. 當時，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點坐標為當時，隨的增大而減小；當時，隨的增大而增大；當時，有最小值 2. 當時，拋物線開口向下，對稱軸為，頂點坐標為當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小；當時，有最大值七、二次函數解析式的表示方法1. 一般式：（，為常數，）；2. 頂點式：（，為常數，）；3. 兩根式：（，是拋物線與軸兩交點的橫坐標）.注意：任何二次函數的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數

5、都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示二次函數解析式的這三種形式可以互化.八、二次函數的圖象與各項系數之間的關系 1. 二次項系數二次函數中，作為二次項系數，顯然 當時，拋物線開口向上，的值越大，開口越小，反之的值越小，開口越大； 當時，拋物線開口向下，的值越小，開口越小，反之的值越大，開口越大總結起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負決定開口方向，的大小決定開口的大小2. 一次項系數 在二次項系數確定的前提下，決定了拋物線的對稱軸 在的前提下，當時，即拋物線的對稱軸在軸左側；當時，即拋物線的對稱軸就是軸；當時，即拋物線對稱軸在軸的右側 在的前提下，

6、結論剛好與上述相反，即當時，即拋物線的對稱軸在軸右側；當時，即拋物線的對稱軸就是軸；當時，即拋物線對稱軸在軸的左側總結起來，在確定的前提下，決定了拋物線對稱軸的位置的符號的判定：對稱軸在軸左邊則，在軸的右側則，概括的說就是“左同右異”總結： 3. 常數項 當時，拋物線與軸的交點在軸上方，即拋物線與軸交點的縱坐標為正； 當時，拋物線與軸的交點為坐標原點，即拋物線與軸交點的縱坐標為； 當時，拋物線與軸的交點在軸下方，即拋物線與軸交點的縱坐標為負 總結起來，決定了拋物線與軸交點的位置 總之，只要都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的二次函數解析式的確定：根據已知條件確定二次函數解析式，通常利用待定系數

7、法用待定系數法求二次函數的解析式必須根據題目的特點，選擇適當的形式，才能使解題簡便一般來說，有如下幾種情況：1. 已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式；2. 已知拋物線頂點或對稱軸或最大（小）值，一般選用頂點式；3. 已知拋物線與軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式；4. 已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式九、二次函數與一元二次方程：1. 二次函數與一元二次方程的關系（二次函數與軸交點情況）：一元二次方程是二次函數當函數值時的特殊情況.圖象與軸的交點個數： 當時，圖象與軸交于兩點，其中的是一元二次方程的兩根這兩點間的距離. 當時，圖象與軸只有一個交點； 當時，圖象與軸沒有交點. 當時

8、，圖象落在軸的上方，無論為任何實數，都有； 當時，圖象落在軸的下方，無論為任何實數，都有 2. 拋物線的圖象與軸一定相交，交點坐標為，； 3. 二次函數常用解題方法總結： 求二次函數的圖象與軸的交點坐標，需轉化為一元二次方程； 求二次函數的最大（小）值需要利用配方法將二次函數由一般式轉化為頂點式； 根據圖象的位置判斷二次函數中，的符號，或由二次函數中，的符號判斷圖象的位置，要數形結合； 二次函數的圖象關于對稱軸對稱，可利用這一性質，求和已知一點對稱的點坐標，或已知與軸的一個交點坐標，可由對稱性求出另一個交點坐標. 與二次函數有關的還有二次三項式，二次三項式本身就是所含字母的二次函數；下面以時為

9、例，揭示二次函數、二次三項式和一元二次方程之間的內在聯系：拋物線與軸有兩個交點二次三項式的值可正、可零、可負一元二次方程有兩個不相等實根拋物線與軸只有一個交點二次三項式的值為非負一元二次方程有兩個相等的實數根拋物線與軸無交點二次三項式的值恒為正一元二次方程無實數根.十、函數的應用二次函數應用一、二次函數的定義例1、已知函數y=(m1)xm2 +1+5x3是二次函數，求m的值。練習、若函數y=(m2+2m7)x2+4x+5是關于x的二次函數，則m的取值范圍為 。二、五點作圖法的應用 例2. 已知拋物線，（1）用配方法求它的頂點坐標和對稱軸并用五點法作圖（2）若該拋物線與x軸的兩個交點為A、B，求

10、線段AB的長1、（2009泰安）拋物線的頂點坐標為（A）（-2，7） （B）（-2，-25） （C）（2，7） （D）（2，-9）2、(南充)拋物線的對稱軸是直線（ ）ABCD3、（遂寧）把二次函數用配方法化成的形式 三、及的符號確定例3. 已知拋物線如圖，試確定： （1）及的符號；（2）與的符號。1、已知二次函數（）的圖象如圖所示，有下列四個結論：，其中正確的個數有（ ）A1個B2個C3個D4個2、已知二次函數的圖象如圖所示，有以下結論：；其中所有正確結論的序號是（ ）ABCD11Oxy yxO113、二次函數的圖象如圖所示，則下列關系式中錯誤的是（ ）Aa0Bc0C0D0圖12為二次函數的

11、圖象，給出下列說法：；方程的根為；當時，y隨x值的增大而增大；當時，其中，正確的說法有 （請寫出所有正確說法的序號）5、已知=次函數yax+bx+c的圖象如圖則下列5個代數式：ac，a+b+c，4a2b+c，2a+b，2ab中，其值大于0的個數為（ ） A2 B 3 C、4 D、5四、二次函數解析式的確定例4. 求二次函數解析式： （1）拋物線過（0，2），（1，1），（3，5）； （2）頂點M（-1，2），且過N（2，1）；（3）已知拋物線過A（1，0）和B（4，0）兩點，交y軸于C點且BC5，求該二次函數的解析式。練習：根據下列條件求關于x的二次函數的解析式當x=3時，y最小值=1，且圖象

12、過（0，7）圖象過點（0，2）（1，2）且對稱軸為直線x= EQ F(3,2) 圖象經過（0，1）（1，0）（3，0）五、二次函數與x軸、y軸的交點（二次函數與一元二次方程的關系）已知拋物線yx2-2x-8，（1）求證：該拋物線與x軸一定有兩個交點；（2）若該拋物線與x軸的兩個交點為A、B，且它的頂點為P，求ABP的面積。1、二次函數yx2-2x-3圖象與x軸交點之間的距離為 如圖所示，二次函數yx24x3的圖象交x軸于A、B兩點， 交y 軸于點C， 則ABC的面積為( ) A.6 B.4 C.3 D.13、若二次函數y(m+5)x2+2(m+1)x+m的圖象全部在x軸的上方，則m 的取值范圍

13、是 六、直線與二次函數的問題例6 已知：二次函數為y=x2x+m，（1）寫出它的圖像的開口方向，對稱軸及頂點坐標；（2）m為何值時，頂點在x軸上方，（3）若拋物線與y軸交于A，過A作ABx軸交拋物線于另一點B，當SAOB=4時，求此二次函數的解析式1、拋物線y=x2+7x+3與直線y=2x+9的交點坐標為 。2、直線y=7x+1與拋物線y=x2+3x+5的圖象有 個交點。 例7 已知關于x的二次函數y=x2mx+與y=x2mx，這兩個二次函數的圖像中的一條與x軸交于A，B兩個不同的點 （1）試判斷哪個二次函數的圖像經過A，B兩點； （2）若A點坐標為（1，0），試求B點坐標； （3）在（2）的

14、條件下，對于經過A，B兩點的二次函數，當x取何值時，y的值隨x值的增大而減小？ 練習 如圖，在平面直角坐標系中，OBOA，且OB2OA，點A的坐標是(1，2)（1）求點B的坐標；（2）求過點A、O、B的拋物線的表達式；（3）連接AB，在（2）中的拋物線上求出點P，使得SABPSABO 例8 已知：m，n是方程x26x+5=0的兩個實數根，且mn，拋物線y=x2+bx+c的圖像經過點A（m，0），B（0，n），如圖所示 （1）求這個拋物線的解析式； （2）設（1）中的拋物線與x軸的另一交點為C，拋物線的頂點為D，試求出點C，D的坐標和BCD的面積；（3）P是線段OC上的一點，過點P作PHx軸，與

15、拋物線交于H點，若直線BC把PCH分成面積之比為2：3的兩部分，請求出P點的坐標 七、用二次函數解決最值問題例9 某產品每件成本10元，試銷階段每件產品的銷售價x（元）與產品的日銷售量y（件）之間的關系如下表：x（元）152030y（件）252010 若日銷售量y是銷售價x的一次函數 （1）求出日銷售量y（件）與銷售價x（元）的函數關系式； （2）要使每日的銷售利潤最大，每件產品的銷售價應定為多少元？此時每日銷售利潤是多少元？ 例3.你知道嗎?平時我們在跳大繩時，繩甩到最高處的形狀可近似地看為拋物線如圖所示，正在甩繩的甲、乙兩名學生拿繩的手間距為4 m，距地面均為1m，學生丙、丁分別站在距甲拿

16、繩的手水平距離1m、25 m處繩子在甩到最高處時剛好通過他們的頭頂已知學生丙的身高是15 m，則學生丁的身高為(建立的平面直角坐標系如右圖所示)( )A15 m B1625 mC166 m D167 m八、二次函數應用(一）經濟策略性1.某商店購進一批單價為16元的日用品，銷售一段時間后，為了獲得更多的利潤，商店決定提高銷售價格。經檢驗發現，若按每件20元的價格銷售時，每月能賣360件若按每件25元的價格銷售時，每月能賣210件。假定每月銷售件數y(件）是價格X的一次函數.(1)試求y與x的之間的關系式.(2)在商品不積壓，且不考慮其他因素的條件下，問銷售價格定為多少時，才能使每月獲得最大利潤

17、，每月的最大利潤是多少？（總利潤=總收入總成本）2.有一種螃蟹，從海上捕獲后不放養最多只能活兩天，如果放養在塘內，可以延長存活時間，但每天也有一定數量的蟹死去，假設放養期內蟹的個體重量基本保持不變，現有一經銷商，按市場價收購了這種活蟹1000千克放養在塘內，此時市場價為每千克30元，據測算，以后每千克活蟹的市場價每天可上升1元，但是放養一天需各種費用支出400元，且平均每天還有10千克蟹死去，假定死蟹均于當天全部售出，售價都是每千克20元。（1）設X天后每千克活蟹的市場價為P元，寫出P關于X的函數關系式。（2）如果放養X天后將活蟹一次性出售，并記1000千克蟹的銷售額為Q元，寫出Q關于X的函數

18、關系式。（2）該經銷商將這批蟹放養多少天后出售，可獲最大利潤（利潤=銷售總額收購成本費用），最大利潤是多少？自我檢測（30分鐘）一. 選擇題。 1. 用配方法將化成的形式（ ） A. B. C. D. 2. 對于函數，下面說法正確的是（ ） A. 在定義域內，y隨x增大而增大 B. 在定義域內，y隨x增大而減小 C. 在內，y隨x增大而增大 D. 在內，y隨x增大而增大 3. 已知，那么的圖象（ ） 4. 已知點（-1，3）（3，3）在拋物線上，則拋物線的對稱軸是（ ）A. B. C. D. 5. 一次函數和二次函數在同一坐標系內的圖象（ ） 6. 函數的最大值為（ ） A. B. C. D.

19、 不存在二. 填空題。 7. 是二次函數，則_。 8. 拋物線的開口向_，對稱軸是_，頂點坐標是_。 9. 拋物線的頂點是（2，3），且過點（3，1），則_，_，_。 10. 函數圖象沿y軸向下平移2個單位，再沿x軸向右平移3個單位，得到函數_的圖象。三. 解答題。 12. 拋物線，m為非負整數，它的圖象與x軸交于A和B，A在原點左邊，B在原點右邊。 （1）求這個拋物線解析式。 （2）一次函數的圖象過A點與這個拋物線交于C，且，求一次函數解析式。 強化訓練一、填空題1 右圖是二次函數y1=ax2+bx+c和一次函數y2=mx+n的圖像，觀察圖像寫出y2y1時，x的取值范圍_2 已知拋物線y=a

20、2+bx+c經過點A（2，7），B（6，7），C（3，8），則該拋物線上縱坐標為8的另一點的坐標是_3已知二次函數y=x2+2x+c2的對稱軸和x軸相交于點（m，0），則m的值為_4 若二次函數y=x24x+c的圖像與x軸沒有交點，其中c為整數，則c=_（只要求寫出一個）5 已知拋物線y=ax2+bx+c經過點（1，2）與（1，4），則a+c的值是_6甲，乙兩人進行羽毛球比賽，甲發出一十分關鍵的球，出手點為P，羽毛球飛行的水平距離s（m）與其距地面高度h（m）之間的關系式為h=s2+s+如下左圖所示，已知球網AB距原點5m，乙（用線段CD表示）扣球的最大高度為m，設乙的起跳點C的橫坐標為m，若

21、乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而導致接球失敗，則m的取值范圍是_ 7 二次函數y=x22x3與x軸兩交點之間的距離為_8 蘭州市“安居工程”新建成的一批樓房都是8層高，房子的價格y（元/m2）隨樓層數x（樓）的變化而變化（x=1，2，3，4，5，6，7，8），已知點（x，y）都在一個二次函數的圖像上（如上右圖），則6樓房子的價格為_元/m2二、選擇題9 二次函數y=ax2+bx+c的圖像如圖所示，則下列關系式不正確的是（ ）Aa0 Ca+b+c0 (第9題) (第12題) (第15題)10 已知二次函數y=ax2+bx+c的圖像過點A（1，2），B（3，2），C（5，7）若點M（2，y1），N（1，y2），K（8，y3）也在二次函數y=ax2+bx+c的圖像上，則下列結論中正確的是（ ） Ay1y2y3 By2y1y3 Cy3y1y2 Dy1y30）交x軸A，B兩點，交y軸于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點E，點B的坐標為（1，0） （1）求拋物線的對稱軸及點A的坐標； （2）過點C作x軸的平行線交拋物線的對稱軸于點P，你能判斷四邊形ABCP是什么四邊形？并證明你的結論；（3）連接CA與拋物線的對稱軸交于點D，當APD=ACP時，求拋物線的解析式18 如圖所示，m，n是方程x26x+5