1、第4講幾何證明選講、不等式選講考情考向分析1.考查三角形及相似三角形的判定與性質(zhì)；圓的相交弦定理，切割線定理；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定，屬B級(jí)要求.2.考查含絕對(duì)值的不等式解法、不等式證明的基本方法、利用不等式性質(zhì)求最值以及幾個(gè)重要不等式的應(yīng)用，屬B級(jí)要求熱點(diǎn)一三角形相似的判定及應(yīng)用例1(2018徐州模擬)如圖，AB是圓O的直徑，弦BD,CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E,EF垂直BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：AB2BEBDAEAC.證明連結(jié)AD，BC，因?yàn)锳B為圓O的直徑，所以ADBD，又EFAB，則A，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，又ABCAEF，所以ABAC，即ABAFAEAC，所以BDBEBABF.AEAF所以

2、BEBDAEACBABFABAFAB(BFAF)AB2.思維升華在證明線段的乘積相等時(shí)，通常用三角形相似或圓的切割線定理同時(shí)，要注意等量的代換跟蹤演練1如圖，AB和BC分別與圓O相切于點(diǎn)D，C，AC經(jīng)過(guò)圓心O，且BC2OC.求證：AC2AD.證明連結(jié)OD.因?yàn)锳B和BC分別與圓O相切于點(diǎn)D，C，所以BCAC.例2(2018江蘇南京師大附中模擬)在ABC中，已知ACAB，CM是ACB的角平分線，所以ADOACB90.又因?yàn)锳A，所以RtADORtACB.ODAD又BC2OC2OD，故AC2AD.熱點(diǎn)二圓有關(guān)定理、性質(zhì)的應(yīng)用12AMC的外接圓交BC邊于點(diǎn)N，求證：BN2AM.證明如圖，在ABC中，

3、因?yàn)镃M是ACB的角平分線，所以ACAM.2BCBM所以BMBABNBC，即BMBMBCBM1AB2AM又ACAB，所以，因?yàn)锽A與BC是圓O過(guò)同一點(diǎn)B的弦，ABBNBCBM2AMBN由可知，所以BN2AM.思維升華本題使用三角形內(nèi)角平分線定理和圓的切割線定理，靈活進(jìn)行等量代換，較好體現(xiàn)了化歸和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想跟蹤演練2(1)(2018南通、徐州、揚(yáng)州等六市模擬)如圖，A，B，C是O上的3個(gè)不同的點(diǎn)，半徑OA交弦BC于點(diǎn)D.求證：DBDCOD2OA2.證明如圖，延長(zhǎng)AO交O于點(diǎn)E，則DBDCDEDA(ODOE)(OAOD).OEOA，DBDC(OAOD)(OAOD)OA2OD2.DBDCOD2O

4、A2.(2)(2018江蘇鹽城中學(xué)模擬)如圖，過(guò)點(diǎn)A的圓與BC切于點(diǎn)D，且與AB，AC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn).已知AD為BAC的平分線求證：EFBC.證明如圖，連結(jié)ED.例3(1)(2018南通、徐州、揚(yáng)州等六市模擬)已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，且abc，求因?yàn)閳A與BC切于D，所以BDEBAD.因?yàn)锳D平分BAC.所以BADDAC.又DACDEF，所以BDEDEF.所以EFBC.熱點(diǎn)三不等式的證明12c(a2b)證：1ac2.證明a,b,c為正實(shí)數(shù)，c(a2b)1aca2b3cc(a2b)(ac)2(bc)1a1b1c1d5b2c2d2證明(1a)(1b)(1c)(1d)1a1b1c1d1aa1b1cc

5、1dbd1a1b1c1d當(dāng)且僅當(dāng)abcd時(shí)，等號(hào)成立2ac4bc2ac2bcac2bc(當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取“”)故原式成立(2)已知x0，y0，證明：(1xy2)(1x2y)9xy.證明因?yàn)閤0，y0，33所以1xy23xy20,1x2y3x2y0，33故(1xy2)(1x2y)3xy23x2y9xy.當(dāng)且僅當(dāng)xy1時(shí)，等號(hào)成立思維升華證明不等式常用的方法有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法等；依據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征，也可以直接使用柯西不等式進(jìn)行證明跟蹤演練3已知ab0，求證：2a3b32ab2a2b.證明2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2

6、ab)(ab)(ab)(2ab)因?yàn)閍b0，所以ab0，ab0,2ab0，從而(ab)(ab)(2ab)0，即2a3b32ab2a2b.熱點(diǎn)四柯西不等式例4(1)(2018淮安等四市模擬)已知a，b，c，d都是正實(shí)數(shù)，且abcd1，求證：a2b2c2d21.a22(abcd)21，14又(1a)(1b)(1c)(1d)5，1a1b1c1d5a2b2c2d21.即abc時(shí)等號(hào)成立跟蹤演練4(2018江蘇丹陽(yáng)高級(jí)中學(xué)模擬)已知正數(shù)x，y，z滿足xyz4，求x2y2z2(491)23z12所以z2，當(dāng)且僅當(dāng)，即x，y，z時(shí)取“”所以z2的最小值為.bc(2)(2018南京模擬)已知a，(0，)，且a

7、bc1，求2ab2bc2ca的最大值解因?yàn)?121212)(2ab)2(2bc)2(2ca)2(12ab12bc12ca)2，即(2ab2bc2ca)29(abc)因?yàn)閍bc1，所以(2ab2bc2ca)29,所以2ab2bc2ca3，當(dāng)且僅當(dāng)2ab2bc2ca，13所以2ab2bc2ca的最大值為3.思維升華利用柯西不等式證明不等式或求最值時(shí)，要先根據(jù)柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征對(duì)式子變形，使之與柯西不等式有相似的結(jié)構(gòu)x2y249z2的最小值解由柯西不等式得，yx3492(xyz)216，x2y216849147xy23z2318182777x2y284971(2018江蘇)如圖，圓O的半徑為2，A

8、B為圓O的直徑，P為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)P作圓O的切線，切點(diǎn)為C.若PC23，求BC的長(zhǎng)證明如圖，連結(jié)OC.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，不等式取等號(hào)，此時(shí)x，y，z，因?yàn)镻C與圓O相切，所以O(shè)CPC.又因?yàn)镻C23，OC2，所以O(shè)PPC2OC24.又因?yàn)镺B2，從而B(niǎo)為RtOCP斜邊的中點(diǎn)，所以BC2.2(2018江蘇)若x，y，z為實(shí)數(shù)，且x2y2z6，求x2y2z2的最小值證明由柯西不等式，得(x2y2z2)(122222)(x2y2z)2.因?yàn)閤2y2z6，所以x2y2z24，xyz122244333所以x2y2z2的最小值為4.3(2017江蘇)如圖，AB為半圓O的直徑，直線PC切半圓O于點(diǎn)C，APP

9、C，P為垂足求證：(1)PACCAB；(2)AC2APAB.證明(1)因?yàn)镻C切半圓O于點(diǎn)C，所以PCACBA，因?yàn)锳B為半圓O的直徑，所以ACB90，因?yàn)锳PPC，所以APC90.因此PACCAB.(2)由(1)知PACCAB，故，APACACAB即AC2APAB.4(2017江蘇)已知a，b，c，d為實(shí)數(shù)，且a2b24，c2d216，證明：acbd8.證明由柯西不等式，得(acbd)2(a2b2)(c2d2)，因?yàn)閍2b24，c2d216，所以(acbd)264，因此acbd8.1(2018蘇錫常鎮(zhèn)四市調(diào)研)如圖所示，AB為O的直徑，AE平分BAC交O于E點(diǎn)，過(guò)E作O的切線交AC于點(diǎn)D，求

10、證：ACDE.證明連結(jié)OE，因?yàn)镋D是O切線，所以O(shè)EED.因?yàn)镺AOE，所以1OEA.又因?yàn)?2，所以2OEA，所以O(shè)EAC，所以ACDE.2.如圖，在ABC中，ABeqoac(,AC)，ABC的外接圓O的弦AE交BC于點(diǎn)D.求證：ABDAEB.證明因?yàn)锳BAC，所以ABDC.又因?yàn)镃E，所以ABDE，又BAE為公共角，可知ABDAEB.3如圖，AB是圓O的直徑，D，E為圓上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，連結(jié)BD并延長(zhǎng)至點(diǎn)C，使BDDC，連結(jié)AC，AE，DE.求證：EC.證明連結(jié)OD，因?yàn)锽DDC，O為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)DAC，于是ODBC.因?yàn)镺BOD，所以O(shè)DBB，于是BC.因?yàn)辄c(diǎn)A，E，B，D都

11、在圓O上，且D，E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，所以E和B為同弧所對(duì)的圓周角，故EB.所以EC.4解不等式x|2x3|2.x，解原不等式可化為x，或解得x5或x.32x32，13323x32，1綜上，原不等式的解集是xx5或x3.5(2018江蘇南京師大附中模擬)已知a0，b0，ab1，求證：.1492a12b14證明方法一因?yàn)閍0，b0，ab1，41所以a212b142a122b142a19.2a12b1(2a1)(2b1)142b12a12b152a12b14即a，b時(shí)，等號(hào)成立149而(2a1)(2b1)4，所以.ab1，當(dāng)且僅當(dāng)2b142a12a12b1，1566方法二因?yàn)閍0，b0，由

12、柯西不等式得412a12b12a12b1(2a1)(2b1)12a142b122a12b14即a，b時(shí)等號(hào)成立6(2016江蘇)設(shè)a0，|x1|，|y2|，證明由a0，|x1|可得|2x2|，又|y2|，|2xy4|(2x2)(y2)|2x2|y2|a.(12)29.由ab1，得(2a1)(2b1)4，149ab1，所以.當(dāng)且僅當(dāng)122a12b1，1566aa33求證：|2xy4|a.a2a33a32aa33即|2xy4|a.7(2018全國(guó)大聯(lián)考江蘇卷)如圖，AD，BC，CD是以AB為直徑的圓的切線，切點(diǎn)分別為A，B，P，AC和BD交于Q點(diǎn)求證：PQAB.證明AD，BC是以AB為直徑的圓的切線，AD，eqoac(,BC)CQBAQD，.DADP，同理，CPCB，PQDA，解由柯西不等式，得x2(3y)212即(x23y2)(xy)2.