1、第五章剛體(gngt)的定軸轉動(Rotation of Rigid Bodies Around A Fixed Axis)1共七十一頁基本(jbn)要求理解角動量概念，掌握角動量定理、角動量守恒及其應用；理解描寫剛體定軸轉動的物理量，并掌握角量與線量的關系；理解力矩和轉動慣量概念，計算轉動慣量，掌握剛體繞定軸轉動的轉動定律；理解剛體定軸轉動的轉動動能概念，能在有剛體繞定軸轉動的問題(wnt)中正確地應用機械能守恒定律。能運用以上規律分析和解決包括質點和剛體的簡單系統的力學問題。2共七十一頁剛體（rigid body） ：在外力作用下，形狀和大小都不發生變化的物體。（或：任意(rny)兩質點間

2、距離保持不變的特殊質點系）。剛體的運動形式：平動(pngdng)(translation)、轉動(rotation)。 剛體平動 質點運動平動：剛體內任意兩點間連線的空間方向總保持不變特點：各點位移、速度、加速度均相同。3共七十一頁轉動：剛體(gngt)中所有點同時都繞同一直線做圓周運動。轉動又分定軸轉動、非定軸轉動（繞定點轉動或繞瞬心轉動）。剛體(gngt)的平面運動： 4共七十一頁 A點作圓周運動，B點作直線運動，因此，AB 桿的運動既不是(b shi)平動也不是(b shi)定軸轉動，而是平面運動。例：曲柄(qbng)連桿機構中連桿AB的運動。5共七十一頁剛體的一般運動：質心的平動繞質心

3、的轉動+質心 ：剛體的質量分布(fnb)的中心6共七十一頁角動量概念(ginin)的建立，和轉動有密切的關系。 在自然界中經常會遇到質點或質點系圍繞著某一個確定點或軸轉動的情況。例如，行星繞太陽的公轉，人造衛星(rnzowixng)繞地球轉動，電子繞原子核轉動以及剛體的轉動等等。 在這些問題中，動量及機械能的有關規律并不能直接用，這時若采用角動量概念討論問題就很方便。轉動問題與平動問題的描述有許多相似之處，如：力的時間累積效應沖量、動量、動量定理。力矩的時間累積效應沖量矩、動量矩(角動量)、角動量定理。角動量 角動量定理 (5.1,5.2)7共七十一頁預備知識(zh shi)：二矢量的矢積（叉

4、乘）大小(dxio)：方向：與 和 都垂直，且成由 轉到 的右手螺旋關系性質：(以 和 為邊的平行四邊形面積)8共七十一頁大小(dxio)：方向：右手(yushu)螺旋定則判定力臂:(力與力臂的乘積)定義： 為作用在質點上的力 對參考點O的力矩。 是作用點P相對于固定點O的位矢。單位：Nm （注意：不能寫作功的單位J ） 一、力矩 1、對參考點的力矩9共七十一頁在直角坐標系中，力矩(l j)可表示為：注意：同一個力對于不同的參考點(轉軸)的力矩(l j)不同，因此說“力矩”時必須指明是相對于哪一點（或哪一個轉軸) 而言的。其中：10共七十一頁質點系所受的總力矩(l j)（對同一參考點）：特別，

5、對剛體例：如圖，長為L 的細棒的質量密度分布為 ,其中l 為距左端的長度，求其所受重力對O點的力矩。解：大小(dxio)：方向：垂直紙面向里11共七十一頁P*O : 力臂 剛體繞 O z 軸旋轉，力 作用在剛體上點 P (P點在轉動平面內), 為力的作用點 P 到轉軸的徑矢。 對轉軸 Z 的力矩 2、對轉軸(zhunzhu)的力矩12共七十一頁O 1）若力 不在轉動平面內，把力分解為平行和垂直于轉軸方向的兩個分量： 2）合力矩等于(dngy)各分力矩的矢量和。 其中 對轉軸的力矩為零，故 對轉軸的力矩：討論(toln)：注意：合力矩與合力的矩是不同的概念，不要混淆。13共七十一頁3） 剛體內部

6、，作用力和反作用力對同一點（或轉軸(zhunzhu)）的力矩互相抵消。O計算對定軸的力矩(l j)時，可用正負號來反映力矩(l j)方向。力矩的計算：計算變力對某一轉軸的力矩則應當采取分小段的辦法，將每一小段的力視為恒力，再按照恒力矩的計算方法進行計算，最后求和。14共七十一頁例：一勻質細桿，長為 l 質量為 m ，在摩擦系數為 的水平桌面上轉動(zhun dng)，求：摩擦力的力矩 M阻。解：桿上各質元均受摩擦力作用，但各質元受的摩擦阻力矩不同，靠近軸的質元受阻(shu z)力矩小，遠離軸的質元受阻(shu z)力矩大，細桿的質量密度：質元質量：質元受阻力矩：細桿受的阻力矩：15共七十一頁R

7、練習：如圖一圓盤面密度為，半徑為R，與桌面的摩擦系數為，求：圓盤繞過圓心且和盤面(pn min)垂直的軸轉動時，圓盤所受的摩擦力矩。O解：取一小(y xio)環為面元，rdrdf若圓盤以0 的初角速度轉動，圓盤轉多少圈靜止?問題：(解答需要轉動情況下的動能定理)16共七十一頁1、質點(zhdin)的角動量舊稱動量矩 (Angular Momentum) 質量為 的質點以速度 在空間運動，某時刻相對原點 O 的位矢為 ，質點相對于原點的角動量定義為大小： 方向(fngxing)：服從右手螺旋定則。Om單位： kg m2/s 二、質點的角動量定理17共七十一頁2）角動量與位矢有關，說到角動量時必須

8、(bx)指明是對哪一參照點而言；例 作圓周運動的質點(zhdin)的角動量。1）角動量是描述轉動狀態的物理量；說明： 質點以角速度 作半徑為 的圓周運動，相對圓心的角動量大小為：質點作勻速率圓周運動時，角動量是恒量。18共七十一頁3) 在直角坐標(zh jio zu bio)系中，角動量的表達式為：例 當質點(zhdin)在 xoy 面內作平面運動時，角動量為：19共七十一頁例如，電子(dinz)繞核運動，具有軌道角動量，電子(dinz)還有內稟的自旋運動，因而具有自旋角動量，等等。4) 角動量的概念，不但能描述(mio sh)經典力學中的宏觀運動，在近代物理理論中仍然是表征微觀運動狀態的重要

9、物理量。角動量是原子、分子和原子核系統的基本性質之一，并且只能取特定的不連續的量值，此稱為角動量的量子化。在這些微觀系統的性質的描述中，角動量起著非常重要的作用。當質點作平面運動時，質點對運動平面內某參考點O 的角動量（動量矩），也可稱為質點對過 O 點垂直于運動平面的軸的角動量（動量矩）。20共七十一頁md1d2 d3ABC解：例1: 一質點m，速度為，如圖所示，A、B、C 分別為三個參考點，此時m 相對三個點的距離分別為d1 、d2 、 d3 ，試分別求此時刻質點對三個參考點的角動量。大小(dxio)：方向(fngxing)：都垂直紙面向里21共七十一頁例2：有一個質量為 m = 1 kg

10、 的物體, 在力 的作用下運動(yndng)。 當 t = 0 時， 求: t = 1s時對原點 此1s內，力所做的功？對物體沖量？22共七十一頁質點對參考點O 的角動量隨時間的變化率，等于作用(zuyng)于質點的合力對該點 O 的力矩 。2、質點(zhdin)的角動量定理質點角動量定理的微分形式：23共七十一頁沖量矩質點的角動量定理：對同一(tngy)參考點 O ，質點所受到的沖量矩等于質點角動量的增量。注意(zh y)：定理中的力矩和角動量都必須是相對于同一參考點而言的。說明:(1) 沖量矩是質點角動量變化的原因。(2) 質點角動量的變化是力矩對時間的積累的結果。24共七十一頁質點所受對

11、參考點 O 的合力矩總為零時(ln sh)，質點對該參考點 O 的角動量為一恒矢量。 3、質點(zhdin)的角動量守恒定律：說明：1）質點的角動量守恒的條件是力矩總和為零。思考：質點作勻速直線運動和勻速率圓周運動注意：合力為零，合力矩未必為零！合力不為零時，合力矩可能為零，有兩種情況：一、力的作用點就在參考點，此時位置矢量 = 0；二、沿力的方向的延長線通過參考點，此時：例：勻速率圓周運動；地球繞日轉動25共七十一頁例如(lr)，行星在繞太陽的運動中，對太陽的角動量守恒；人造地球衛星繞地球運行時，它對地心的角動量守恒；電子繞原子核運動時，電子對原子核的角動量守恒。 如果質點在運動中受到的力始

12、終指向某個固定的中心，這種力叫做有心力，該固定中心稱為力心。有心力相對于力心的力矩恒為零。所以，在有心力作用(zuyng)下質點對力心的角動量都是守恒的。2）有心力問題26共七十一頁擺球受力如圖。逆時針順時針重力矩(l j)張力矩(l j)例：質量為的圓錐擺擺球，以速率 v 運動時，對參考點的角動量是否守恒？對參考點的角動量是否守恒？27共七十一頁28共七十一頁例5 一半徑為 R 的光滑圓環置于豎直平面內。一質量為 m 的小球穿在圓環上，并可在圓環上滑動。小球開始時靜止于圓環上的點 A (該點在通過環心 O 的水平面上(min shn)，然后從 A 點開始下滑。設小球與圓環間的摩擦略去不計。求

13、：小球滑到任意點 B 時對環心 O 的角動量和角速度。解：小球受重力和支持力作用. 對O點, 支持力的力矩(l j)為零，重力矩(l j)垂直紙面向里。由質點的角動量定理：29共七十一頁考慮到有由題設條件(tiojin), 對上式積分, 有30共七十一頁例6 ：用繩系一小球使它在光滑的水平面上做勻速率圓周運動，其半徑為 r0 ，角速度為0 。現通過圓心處的小孔緩慢(hunmn)地往下拉繩使半徑逐漸減小。求：當半徑縮為 r 時的角速度。解：mr0ro以小孔 O 為原點，繩對小球(xio qi)的拉力為有心力，對O 點其力矩為零，則小球對O 點的角動量守恒。初態： 末態： 角動量守恒： 所以： 或

14、： 31共七十一頁應用角動量守恒定律可以證明開普勒第二(d r)定律:16世紀末至17世紀初，開普勒仔細地分析整理了前人記錄下的大量精確的有關(yugun)行星運動的資料，總結出行星運動的規律、即開普勒三定律。只是開普勒尚不理解，他所發現的三大定律已傳達了重大的“天機”。由于角動量正比于位矢的掠面速度，因此開普勒第二定律意味著角動量守恒。事實上，牛頓定律及萬有引力定律提出時都以開普勒定律為驗證實例 行星與太陽的連線在相同時間內掃過相等的面積.32共七十一頁 行星在太陽的引力作用下沿橢圓(tuyun)軌道運動，由于引力的方向在任何時刻總與行星對于太陽的位矢反平行，因此行星受到的引力對太陽的力矩為

15、零。 角動量的方向不變，表明(biomng)位矢和速度所決定的平面的方位不變，行星就在這個平面內運動，它的軌道是二維的。 所以，行星在運行過程中，它對太陽的角動量保持不變。33共七十一頁在dt時間(shjin)間隔內，掃過的面積(min j)為而行星對太陽的角動量的大小有心力作用，角動量 L 守恒，故面積變化率恒定。Kepler第二定律的證明：34共七十一頁 在低軌道上運行的地球衛星，由于大氣摩擦阻力對地心的矩不為零，其對地心的角動量不守恒。在此力矩(l j)的作用下，衛星的角動量值不斷減小，最后隕落地面。角動量守恒(shu hn)是自然界的普遍規律。角動量守恒、動量守恒、能量守恒定律并稱為三

16、大守恒定律，這三大守恒定律的成立有著深刻的內在原因。現代物理學已確認，這些守恒定律是和自然界的更為普遍的屬性時空對稱性相聯系的。 能量守恒和動量守恒分別是時間平移對稱性和空間平移對稱性的結果，而角動量守恒是空間旋轉對稱性的結果。(參6.4, 自學)35共七十一頁例7: 一顆地球(dqi)衛星，近地點181km，速率8.0km/s，遠地點327km，求：在遠地點處的衛星速率。解：衛星對地球(dqi)的角動量守恒近地點遠地點則且思考：行星對橢圓軌道的另一焦點角動量是否守恒？36共七十一頁質點系的角動量定理(dngl)質點系的角動量質點系的角動量各質點對給定參考點的角動量的矢量和慣性系中某給定參考點

17、37共七十一頁質點系的角動量定理推導 內內外外某給定參考點對質點系:38共七十一頁角動量定理(dngl)的微分形式角動量定理(dngl)的積分形式質點系的角動量定理 作用于質點系的外力對參考點 O 的合力矩 ，等于質點系對該點的角動量隨時間的變化率. 對同一參考點 O ，質點系所受的沖量矩等于質點系角動量的增量.39共七十一頁 若質點系所受的外力對某固定參照點的力矩的矢量(shling)和為零，則質點對該固定點的角動量守恒。質點系的角動量守恒定律質點系的角動量守恒定律由：40共七十一頁（1）（2）（3）（4）兩人同時(tngsh)到達；用力(yng l)上爬者先到；握繩不動者先到；以上結果都不

18、對。兩人質量相等一人握繩不動一人用力上爬隨堂小議可能出現的情況是終點線終點線滑輪質量既忽略輪繩摩擦又忽略41共七十一頁同高從靜態開始往上爬忽略輪、繩質量及軸摩擦質點系若系統受合外力矩為零，角動量守恒。系統的初態角動量系統的末態角動量得不論體力強弱, 兩人等速上升。若系統受合外力矩不為零，角動量不守恒。可應用質點系角動量定理進行具體分析討論。42共七十一頁 例8 一質量 的登月飛船, 在離月球表面高度 處繞月球作圓周運動。現飛船采用如下登月方式：當飛船位于點 A 時，它向外側短時間噴氣，使飛船與月球相切地到達點 B，且OA 與 OB 垂直。飛船所噴氣體相對飛船的速率為 。已知月球半徑 ; 在飛船

19、登月過程中，月球的重力加速度視為常量 。試求：登月飛船在登月過程中所需消耗燃料的質量 是多少?BhORA43共七十一頁 解 設飛船在點 A 的速度 , 月球質量 mM ,由萬有引力和牛頓定律BhORA已知求 所需消耗燃料的質量 .44共七十一頁得得 當飛船在A點以相對速度 向外噴氣的短時間里，飛船的質量減少了m而為 ，并獲得速度的增量 ，使飛船的速度變為 ，其值為：質量 在 A 點和 B 點只受有心力作用，角動量守恒BhORA45共七十一頁飛船(fi chun)在 A點噴出氣體后, 在到達月球的過程中, 機械能守恒即于是而BhORA46共七十一頁定軸轉動的角動量定理(dngl)和角動量守恒定律

20、(5.3, 5.4)1、剛體(gngt)定軸轉動的角動量O(所有質元的角動量之和)對于剛體的定軸轉動，我們應當用角動量來描述剛體運動狀態，而不是用動量。引入轉動慣量(后詳述)有一般:47共七十一頁2、剛體(gngt)定軸轉動的角動量定理O質點系：定軸轉動：故對剛體:定軸轉動的角動量定理：作用在剛體上的合外力矩的沖量矩等于(dngy)作用時間內角動量的增量。對非剛體：48共七十一頁 內力矩(l j)不改變系統的角動量。 守恒條件：若 不變， 不變；若 變， 也變，但 不變。定軸轉動的角動量定理(dngl)，則若注 在沖擊等問題中， 當剛體受到的合外力矩恒為0 時，其角動量守恒。守恒有兩種情況：3

21、、剛體定軸轉動的角動量守恒定律49共七十一頁討論守恒(shu hn)條件：不僅要分析力（是外力還是(hi shi)內力），而且重要的是要分析外力力矩的和。當合外力不為0時，合外力矩可以為0 (看對何軸)當合外力為0時，合外力矩不一定為0；50共七十一頁解：兩飛輪通過摩擦達到共同速度,合外力矩(l j)為0，系統角動量守恒。共同(gngtng)角速度例9：兩個共軸飛輪轉動慣量分別為J1、J2，角速度分別為 1 、2，求：兩飛輪嚙合后共同的角速度 。51共七十一頁王注: 對點和對軸轉動情形都可用上式定義(dngy)，但其中的 r 含義不同(教材中只涉及對定軸轉動情形)：對參考點轉動：r 為各質點(

22、元) 到參考點的距離；對參考軸轉動：r 為各質點(元) 到轉軸的垂直距離。物理意義：是剛體(gngt)轉動的慣性的量度。剛體的轉動慣量的大小：1）與剛體的總質量、形狀、大小有關。2）與質量對軸的分布有關。3）與軸的位置有關。(所以必須指明對何軸/點的J )對確定的剛體、給定的轉軸(或定點)，J是一常數定義:轉動慣量問題質點系：52共七十一頁質量離散分布質點系的轉動慣量：轉動(zhun dng)慣性的計算: 質量連續分布的剛體的轉動慣量:：質量元線分布體分布面分布53共七十一頁質量線分布的剛體：質量線密度質量面分布的剛體：質量面密度質量體分布的剛體：質量體密度只有對于幾何形狀規則、質量連續且均勻

23、分布的剛體(gngt)才能用積分直接計算出剛體(gngt)的轉動慣量。對于形狀復雜的剛體(gngt)通常通過實驗測得其轉動慣量。 質量連續分布的剛體:：質量元54共七十一頁轉軸 若連接兩小球（視為質點）的輕細硬桿的質量(zhling)可以忽略，則：可視為分立(fn l)質點結構的剛體:轉軸55共七十一頁例1：求半徑為 R 質量為 M 的圓環繞(hunro)垂直于圓環平面的質心軸轉動的轉動慣量J。解：分割質量(zhling)元 dm，各質量元到軸的距離相等，繞圓環質心軸的轉動慣量為:相當于質量為M的質點對軸的轉動慣量，與質量在環上的分布無關。56共七十一頁 例 2： 一質量為 、半徑為 的均勻圓

24、盤，求：通過盤中心 O 并與盤面垂直的軸的轉動慣量。 解 設圓盤面密度為 ，在盤上取半徑為 ，寬為 的圓環。圓環質量所以:圓環對軸的轉動慣量轉動慣量與盤上質量對軸的分布(fnb)有關dm思考: 圓柱如何？解題(ji t)時常用到57共七十一頁OO 解 設棒的線密度為 ，取一距離轉軸 OO 為 處的質量元 , 例 3 : 一質量為 、長為 的均勻細長棒，求：通過棒中心（和端點）并與棒垂直的軸的轉動慣量。OO如轉軸(zhunzhu)過端點垂直于棒轉動慣量與軸的位置(wi zhi)有關。58共七十一頁勻質矩形(jxng)薄板轉軸(zhunzhu)通過中心垂直板面I = (a + b ) 22m12勻

25、質細圓環轉軸通過中心垂直環面I = m R 2勻質細圓環轉軸沿著環的直徑2I =2m R勻質厚圓筒轉軸沿幾何軸I = (R1 - R2 ) 22m2勻質圓柱體轉軸通過中心垂直于幾何軸mI = R + 22m124L勻質薄球殼轉軸通過球心2I =2m R3R2=0時, 即為圓柱59共七十一頁平行(pngxng)軸定理:P轉動慣量的大小(dxio)取決于剛體的質量、形狀、大小、質量分布及轉軸的位置。 質量為 的剛體，如果對過質心軸的轉動慣量為 ，則對任一與該軸平行，相距為 的轉軸的轉動慣量為：CO注意例:圓盤對P 軸的轉動慣量:O(證明需用質心性質，此略)60共七十一頁例：如圖所示，求：剛體(gn

26、gt)對經過棒端O且與棒垂直的軸的轉動慣量？(棒長為L、圓盤半徑為R）例：以長為 l、質量為 m 的勻質細桿繞其一端(ydun)垂直于桿的軸轉動為例，利用平行軸定理求轉動慣量 。解：繞細桿質心的轉動慣量為：繞桿的一端轉動慣量為O記住！61共七十一頁轉動慣量的計算方法：）直接(zhji)由定義求：（注意 r 為到軸的垂直距離）復雜形狀的剛體，可以先求出簡單形體的，再相加。（注意(zh y)對同一軸）平行軸定理：62共七十一頁 例5 質量很小長度為l 的均勻(jnyn)細桿，可繞過其中心 O并與紙面垂直的軸在豎直平面內轉動。當細桿靜止于水平位置時，有一只小蟲以速率 垂直落在距點O為 l/4 處，并背離點O 向細桿的端點A 爬行。設小蟲與細桿的質量均為m。求：欲使細桿以恒定的角速度轉動，小蟲應以多大速率向細桿端點爬行? 解：小蟲與細桿的碰撞視為完全非彈性(tnxng)碰撞，碰撞前后系統角動量守恒。63共七十一頁由角動量定理(dngl)即考慮到64共七十一頁例：質量為m 半徑(bnjng)為R 的勻質薄球殼，求：其繞過球心的軸（直徑）的轉動慣量。解：在球面(qimin)取一圓環帶，半徑65共七十一頁例：質量為m 半徑(bnjng)為R 的勻質球