1、第 PAGE15 頁 二項式定理【學習目標】1理解并駕馭二項式定理，了解用計數原理證明二項式定理的方法 2會用二項式定理解決及二項綻開式有關的簡單問題【要點梳理】要點一：二項式定理1.定義一般地,對于隨意正整數,都有：這個公式所表示的定理叫做二項式定理， 等號右邊的多項式叫做的二項綻開式。式中的做二項綻開式的通項，用Tr+1表示，即通項為綻開式的第r+1項：，其中的系數（r=0，1，2，n）叫做二項式系數，2二項式(a+b)n的綻開式的特點：(1)項數：共有n+1項，比二項式的次數大1；(2)二項式系數：第r+1項的二項式系數為，最大二項式系數項居中；(3)次數：各項的次數都等于二項式的冪指數

2、n字母a降冪排列，次數由n到0；字母b升冪排列，次數從0到n，每一項中，a，b次數和均為n；3.兩個常用的二項綻開式：要點二, 二項綻開式的通項公式二項綻開式的通項：公式特點：它表示二項綻開式的第r+1項，該項的二項式系數是；字母b的次數和組合數的上標相同；a及b的次數之和為n。 要點詮釋： （1）二項式(a+b)n的二項綻開式的第r+1項和(b+a)n的二項綻開式的第r+1項是有區分的，應用二項式定理時，其中的a和b是不能隨意交換位置的 （2）通項是針對在(a+b)n這個標準形式下而言的，如(ab)n的二項綻開式的通項是（只需把b看成b代入二項式定理）。要點三：二項式系數及其性質1.楊輝三角

3、和二項綻開式的推導。在我國南宋，數學家楊輝于1261年所著的詳解九章算法如下表，可直觀地看出二項式系數。綻開式中的二項式系數,當依次取1,2,3,時,如下表所示: 1 1 1 2 11 3 3 11 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1上表叫做二項式系數的表, 也稱楊輝三角(在歐洲,這個表叫做帕斯卡三角),反映了二項式系數的性質。表中每行兩端都是1，而且除1以外的每一個數都等于它肩上的兩個數的和。用組合的思想方法理解(a+b)n的綻開式中的系數的意義：為了得到(a+b)n綻開式中的系數，可以考慮在這n個括號中取r個b，則這種取法種數為，即為的系數 2.的

4、綻開式中各項的二項式系數, , 具有如下性質：對稱性：二項綻開式中，及首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數相等，即；增減性及最大值：二項式系數在前半部分漸漸增大，在后半部分漸漸減小，在中間取得最大值.其中，當n為偶數時，二項綻開式中間一項的二項式系數最大；當n為奇數時，二項綻開式中間兩項的二項式系數，相等，且最大.各二項式系數之和為，即；二項綻開式中各奇數項的二項式系數之和等于各偶數項的二項式系數之和，即。要點詮釋：二項式系數及綻開式的系數的區分二項綻開式中，第r+1項的二項式系數是組合數，綻開式的系數是單項式的系數，二者不肯定相等。如(ab)n的二項綻開式的通項是，在這里對應項的二項式系數都

5、是，但項的系數是，可以看出，二項式系數及項的系數是不同的概念3.綻開式中的系數求法（的整數且）如：綻開式中含的系數為要點詮釋：三項或三項以上的綻開式問題，把某兩項結合為一項，利用二項式定理解決。要點四：二項式定理的應用1.求綻開式中的指定的項或特定項（或其系數）.2.利用賦值法進行求有關系數和。二項式定理表示一個恒等式，對于隨意的a，b，該等式都成立。利用賦值法（即通過對a, b取不同的特別值）可解決及二項式系數有關的問題，留意取值要有利于問題的解決，可以取一個值或幾個值，也可以取幾組值，解決問題時要避開漏項等狀況。設令x=0，則(2)令x=1，則(3)令x=1，則(4)(5)3.利用二項式定

6、理證明整除問題及余數的求法：如：求證：能被64整除（）4.證明有關的不等式問題：有些不等式，可應用二項式定理，結合放縮法證明，即把二項綻開式中的某些正項適當刪去(縮小)，或把某些負項刪去(放大)，使等式轉化為不等式，然后再依據不等式的傳遞性進行證明。；（）如：求證：5.進行近似計算：求數的次冪的近似值時，把底數化為最靠近它的那個整數加一個小數(或減一個小數)的形式。當充分小時，我們常用下列公式估計近似值：如：求的近似值，使結果精確到0.01；【典型例題】類型一, 求二項綻開式的特定項或特定項的系數例1. 求的二項式的綻開式 【思路點撥】 依據二項式的綻開式或按通項依次寫出每一項，但要留意符號【

7、解析】 （1）解法一：解法二：【總結升華】 記準, 記熟二項式(a+b)n的綻開式，是解答好及二項式定理有關問題的前提條件，對較困難的二項式，有時先化簡再綻開會更簡捷舉一反三：【變式】求的二項式的綻開式【答案】先將原式化簡。再綻開例2試求：（1）(x3)5的綻開式中x5的系數；（2）(2x2)6的綻開式中的常數項；【思路點撥】先依據已知條件求出二項式的指數n，然后再求綻開式中含x的項因為題中條件和求解部分都涉及指定項問題，故選用通項公式【解析】（1）Tr1依題意155r5，解得r2故(2)240為所求x5的系數（2）Tr1(2x2)6-r(1)r26-r依題意123r0，解得r4故2260為所

8、求的常數項【總結升華】1.利用通項公式求給定項時避開出錯的關鍵是弄清共有多少項,所求的是第幾項,相應的是多少；2. 留意系數及二項式系數的區分；3. 在求解過程中要留意冪的運算公式的精確應用。舉一反三：【變式1】求的綻開式中的二項式系數及的系數.【答案】，；通項，故綻開式中的二項式系數為，的系數為.【變式2】求的綻開式中的第4項.【答案】；【變式3】（1）求的綻開式常數項； （2）求的綻開式的中間兩項【答案】，（1）當時綻開式是常數項，即常數項為；（2）的綻開式共項，它的中間兩項分別是第項, 第項，例3 求二項式的綻開式中的有理項 【思路點撥】 綻開式中第r+1項為，綻開式中的有理項，就是通項

9、中x的指數為正整數的項【解析】 設二項式的通項為，令，即r=0，2，4，6，8時，。 二項式的綻開式中的常數項是第9項：；有理項是第1項：x20，第3項：，第5項：，第7項：，第9項：【總結升華】 求有理項是對x的指數是整數狀況的探討，要考慮到一些指數或組合數的序號的要求舉一反三：【變式】假如在 的綻開式中，前三項的系數成等差數列，求綻開式中的有理項。【答案】（1）綻開式中前三項的系數分別為1， ， 由題意得：2=1+得=8。設第r+1項為有理項，則r是4的倍數，所以r=0，4，8。有理項為。類型二, 二項式之積及三項式綻開問題例4求的綻開式中的系數.【思路點撥】 將變形為，要使兩個因式的乘積

10、中出現，依據式子的結構可以分類探討：當前一個因式為1時，后面的應當為；當前一個因式為時，后面的應當為；當前一個因式為時，后面的應當為；也可以利用通項公式化簡解答?！窘馕觥拷夥ㄒ唬旱耐椆剑ǎ?，分三類探討：（1）當前一個因式為1時，后面的應當為，即；（2）當前一個因式為時，后面的應當為，即；（3）當前一個因式為時，后面的應當為，即；故綻開式中的系數為。解法二：的通項公式（），的通項公式,（），令,則或或，從而的系數為。舉一反三：【變式1】求的綻開式中的系數.【答案】；的通項公式（），分二類探討：（1）當前一個因式為1時，后面的應當為，即；（2）當前一個因式為時，后面的應當為，即；故綻開式中的系

11、數為。【變式2】在(1x)5(1-x)4的綻開式中，x3的系數為_【答案】 (1x)5(1-x)4(1x)(1-x2)4，其中(1-x2)4綻開的通項為(-x2)r，故綻開式中x3的系數為-4例5. 求(1+x+x2)8綻開式中x5的系數【思路點撥】要把上式綻開，必需先把三項中的某兩項結合起來，看成一項，才可以用二項式定理綻開，然后再用一次二項式定理，也可以先把三項式分解成兩個二項式的積，再用二項式定理綻開【解析】 解法一：(1+x+x2)8=1+(x+x2)8，所以，則x5的系數由(x+x2)r來確定，令r+k=5，解得或或。含x5的系數為。解法二：則綻開式中含x5的系數為。 解法三：(1+

12、x+x2)8=(1+x+x2)(1+x+x2)(1+x+x2)（共8個），這8個因式中乘積綻開式中形成x5的來源有三： （1）有2個括號各出1個x2，其余6個括號恰有1個括號出1個x，這種方式共有種； （2）有1個括號出1個x2，其余7個括號中恰有3個括號各出1個x，共有種；（3）沒有1個括號出x2，恰有5個括號各給出1個x，共有種所以x5的系數是【總結升華】 高考題中，常出現三項式綻開或兩個二項式乘積的綻開問題，所用解法一般為二項式定理綻開，或將三項式轉化為二項式舉一反三：【變式1】的綻開式中的常數項.【答案】 = 所求綻開式中的常數項是-20【變式2】在(1+x+px2)10的綻開式中，試

13、求使x4的系數為最小值時p的值【答案】由通項，又(1+px)r的通項為。而m+r=4，且0mr10。，或，或。x4的系數為僅當p=4時，x4的系數為最小。類型三：有關二項式系數的性質及計算的問題例6. （1）求(1+2x)7綻開式中系數最大的項；（2）求(12x)7綻開式中系數最大的項?！舅悸伏c撥】 利用綻開式的通項，得到系數的表達式，進而求出其最大值。【解析】 （1）設第r+1項系數最大，則有即，解得，即，r=5。系數最大的項為。（2）綻開式共有8項，系數最大的項必為正項，即在第一, 三, 五, 七這四項中取得。又因(12x)7括號內的兩項中后項系數肯定值大于前項系數肯定值，故系數最大的項必

14、在中間或偏右，故只須要比較T5和T7兩項系數大小即可，所以系數最大的項是第五項，?！究偨Y升華】求綻開式中系數最大的項，一般是解一個不等式組。舉一反三：【變式】設綻開式的第10項系數最大，求n. 【答案】綻開式的通項為第10項系數最大，又n=13或n=14【變式2】 已知的綻開式中第五, 六, 七項的二項式系數成等差數列，求綻開式中二項式系數最大的項?！敬鸢浮?因為，所以。即n221n+98=0，解得n=14或7。當n=14時，第8項的二項式系數最大，。當n=7時，第4項及第5項的二項式系數最大，類型四, 利用賦值法進行求有關系數和。例7. 已知(12x)7=a0+a1x+a2x2+a7x7，求

15、：（1）a1+a2+a7；（2）a1+a3+a5+a7；（3）a0+a2+a4+a6；（4）|a0|+|a1|+|a2|+|a7|。【思路點撥】求綻開式的各項系數之和常用賦值法【解析】 令x=1，則a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=1 ，令x=1，則a0a1+a2a3+a4a5+a6a7=37 ，（1）因為a0=（或令x=9，得a0=1），所以a1+a2+a3+a7=2。（2）由（）2得。（3）由（+）2得。（4）方法一：因為(12x)7綻開式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，所以|a0|+|a1|+|a2|+|a7|=(a0+a2+a4+a6)(

16、a1+a3+a5+a7)=1093(1094)=2187。方法二：|a0|+|a1|+|a2|+|a7|，即(1+2x)7綻開式中各項的系數和，所以|a0|+|a1|+|a7|=37=2187?！究偨Y升華】 求綻開式的各項系數之和常用賦值法。“賦值法”是解決二項式系數常用的方法，依據題目要求，敏捷賦給字母不同的值。一般地，要使綻開式中項的關系變為系數的關系，令x=0可得常數項，令x=1可得全部項系數之和，令x=1可得偶次項系數之和及奇次數系數之和的差，而當二項綻開式中含負值時，令x=1則可得各項系數肯定值之和。舉一反三：【變式1】已知，求：（1）； （2）； （3）.【答案】（1）當時，綻開式右邊為當時，（2）令， 令， 得：， .（3）由綻開式知：均為負，均為正，由（2）中+ 得：，舉一反三：【變式1】求值：.【答案】【變式2】設，當時，求的值【答案】令得：類型四, 二項式定理的綜合運用例8.求證：（）能被64整除.【思路點撥】可將化成再進行綻開,化簡即可證得.【解析】故（）能被64整除?！究偨Y升華】利用二項式定理進行證明,須要多項式綻開后的各項盡量多的含有的式子.舉一反三：【變式1】求證能被10整除【答案】故能被10整除。例9：當且1，求證【解析】 從而【總結升華】 用二項式定理證明不等式時，依據n的最小值，確定綻開的最少項，然后分析詳細狀況確定其中有多