大學(xué)《現(xiàn)代控制理論》期末考試測(cè)試卷

（本題共15分，每小題5分）一、名詞解釋?zhuān)海?）李雅普諾夫穩(wěn)定（2）能控性（3）動(dòng)態(tài)方程

李雅普諾夫穩(wěn)定；如果對(duì)應(yīng)于每一個(gè)S3）,存在一個(gè)s（④，（2分）使得當(dāng)￡趨于無(wú)窮時(shí)，始于S（⑤的軌跡不

脫離SG）,（2分）則系統(tǒng)之平衡狀態(tài)稱(chēng)為在Lyapunov意義下是穩(wěn)定的。（1分）

能控性：對(duì)于單輸入n階線性定常連續(xù)系統(tǒng)±=AX+BU,若存在一個(gè)分段連續(xù)的控制函數(shù)〃⑴，能在有限的時(shí)

間段內(nèi)［儲(chǔ)”，（2分）把系統(tǒng)從“時(shí)刻的初始狀態(tài)X&）轉(zhuǎn)移到任意指定的終態(tài)X”,）,那么就稱(chēng)系統(tǒng)在「。時(shí)刻的

狀態(tài)玄幻是能控（2分）；如果系統(tǒng)每一個(gè)狀態(tài)覆幻都能控，那么就稱(chēng)系統(tǒng)是狀態(tài)完全可控的。（1分）

動(dòng)態(tài)方程：用系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程來(lái)描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為（2分），狀態(tài)方程和輸出方程合起來(lái)稱(chēng)作

系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程。（3分）

（本題85分，其中第1-4小題每題10分，第5-7小題每題15分，）二、綜合題

1、RLC電路如圖所示，建立系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程。

UiR—cu。

R-L-C電路有兩個(gè)獨(dú)立的儲(chǔ)能元件L和C,取電容C兩端電壓和流過(guò)電感L的電流i作為系統(tǒng)的兩個(gè)狀態(tài)變

量，分別記作xl和x2。（4分）

根據(jù)基爾霍夫電壓定律和R、L、C元件的電壓電流關(guān)系（），可得到下列方程：

L也^+以2+覆=0

dt*=%X+1卜

1,,

X1==用/

>=e,

y=[1Ojx-

寫(xiě)成矢量形式為:

（4分）

（2分）

其他情況，酌情給分。

2s+6

2、已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G（s）=,求狀態(tài)空間表達(dá)式。

s3+452+5$+2

解：已知a。=2,q=5,%=6也=6,"=2也=%=0（5分）

由直接法可得狀態(tài)空間表達(dá)式為

（3分）

（2分）

其他情況，酌情給分。

0I0'

3、已知A=001,求eL

2-5-4

解：0-4=（2-1）2僅-2）=0,可得4=4=14=2。（3分）

01'te'

由凱萊-漢密爾頓定理得2-2d（4分）

-1I/

-2te'+e"3te'+2e'-2e"-te1-e'+e2'

A,2212/2t

e=a0I+a,A+a2A=2（Te'-e'+e）3ie'+5e'+4e-le,-2e'+2e

-2te'-4el+4e2'3te'+^e'-8e”-te'-3e'+4e”

（4分）

其他情況，酌情給分。

I201[21

4、已知系統(tǒng)Z（AB,C）,其中:A=3-1I,fi=1,C=[001],試求其可控口型。

.。2oj[1]

解：|2/-4|=Z3-92+2=0

?0=2,q=-9,a2=0（4分）

2

Cr2=\CBCABCAB]=[|212]（4分）

所以系統(tǒng)能控H、、'型:

（2分）

其他情況，酌情給分。

5、已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為GQ篇廣,試設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋觀測(cè)器，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)為一2,1±川。

解：因?yàn)閭鬟f函數(shù)沒(méi)有零極點(diǎn)對(duì)消現(xiàn)象，所以原系統(tǒng)能觀并且能控，可直接寫(xiě)出其能控標(biāo)準(zhǔn)I型（2分）。

o1oiro-

x=00Ix+0M

0-2-3]|_l

因此

=0,at=2,a2=3(3分)

期望的特征方程為

(5+1-jl)(5+1+川($+2)=+4s2+6$+4

=$3+&2+&+@=o

因此

a；=4,a；=6,a；=4(3分)

可得

K=[—4-4-1](2分)

其他情況，酌情給分。

oo-i|i1

6、已知線性定常系統(tǒng)（A,B,C）,A=I0-3,B=I.C=[()I,試判斷系統(tǒng)是否完全能觀？若不完

01-30

全能觀，按能觀性進(jìn)行分解。

解系統(tǒng)的能聊性判別矩陣

01-2

N=CA1一23

CA1-23-4

其秩rankN=2<n

所以該系統(tǒng)是狀態(tài)不完全能現(xiàn)的。（盼）

為構(gòu)造非奇異變換陣取

R；=C=[O1-2]

&=CA=t1-23]

R；=[001]

得

0-2211

（汾）

2

Ro'1-210

0001

其中是在保證R?為非奇異的條件下任意選取的,于是系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式變換為

（3分）

（2分）

其他情用，酌情給分。

0I0O-

7、已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為L(zhǎng)0210?,試確定系統(tǒng)增益k的穩(wěn)定范圍。

-k0-1

解:

,利用李雅普諾夫方程，并取:

求得:

因?yàn)橄x(chóng)H三o時(shí)X3=0,可知，X尸0,x2=0,所以Q20取法合理。（5分）

將Q,A代入李雅普諾夫方程: