1、WORD13/32本科畢業(yè)論文論文題目： 逆矩陣與其應用 學生：學號：專業(yè)： 數學與應用數學 指導教師：學 院： 年 月 日畢業(yè)論文（設計）容介紹論文（設計）題 目逆矩陣與其應用選題時間完成時間論文（設計）字數關 鍵 詞矩陣，逆矩陣，廣義逆矩陣，論文（設計）題目的來源、理論和實踐意義：論文題目的來源：自選題目論文（設計）的主要容與創(chuàng)新點：主要容：主要創(chuàng)新點：附：論文（設計）本人簽名： 年 月 日 目 錄中文摘要 1英文摘要 1引言 2矩陣逆的定義2三、 可逆矩陣的性質2四、 矩陣可逆的判定方法2五、 矩陣逆的求法3六、 矩陣逆的應用12七、 逆矩陣求某些函數的不定積分13八、 矩陣逆的推廣14

2、參考文獻 16逆矩陣與其應用摘要：本文首先給出矩陣可逆的定義、性質，其次探討矩陣可逆的判定方法、逆矩陣的求法以與逆矩陣求不定積分,矩陣可逆的應用，特別是在編碼、解碼方面的應用.最后，本文對可逆矩陣進行了相應的推廣.關鍵詞：矩陣 矩陣的逆 廣義逆矩陣中圖分類號：O151.21The inverse matrix and its applicationAbstract: This paper presents the definition and properties of inverse matrix, then discusses the method about how to identif

3、y inverse matrix and how to evaluate it. Next, this paper discusses how to evaluate indefinite integral by inverse matrix and the application of inverse matrix, especially its application in the encoding, decoding. Finally, this thesis generalizes inverse matrix. Keywords: Matrix Inverse matrix Gene

4、ralized inverse matrix一：引言 矩陣是現代數學的一個強有力的工具，應用非常廣泛，逆矩陣又是矩陣理論的一個非常重要的概念，文章主要是對矩陣的可逆性由來與定義、性質、判定方法、應用進行探討.目的在于改進教學，促進學生的學習，提高教育教學質量，讓學生了解逆矩陣的應用.二：矩陣逆的定義引入矩陣的逆這個概念: 對于n矩陣A，如果有一個n矩陣B，使得AB=BA=E，E為單位矩陣則說矩陣A是可逆的，并把矩陣B稱為A的逆矩陣，A的逆矩陣記為A.三：可逆矩陣的性質 1、若矩陣A、B均可逆,則矩陣AB可逆，其逆陣為BA，當然這一性質可以推廣到多個矩陣相乘的逆. 2、若A可逆，則也可逆，且=A

5、； 3、若A可逆，數，則可逆，且； 4、若A可逆，則也可逆，且. 5、. 6、矩陣的逆是唯一的，證明：運用反證法，如果A 是可逆矩陣，假設B,C都是A的逆，則有 AB=BA=E=AC=CA B=BE=B（AC）=（BA）C=EC=C（與BC矛盾），所以是唯一的.四：矩陣可逆的判定方法矩陣可逆有如下若干充要條件：（A為n階方陣） 1、存在B為n階方陣，使得AB=I； 2、對于PAQ=，其中r（A）=n；3、； 4、A的行向量組線性無關； 5、A的列向量組線性無關； 6、A可表示成一系列初等矩陣的乘積； 7、A可經過一系列初等行變換化成單位矩陣I； 8、A可經過一系列初等列變換化成單位矩陣I； 9

6、、對于齊次線性方程組 AX=0只有零解； 10、是非奇異矩陣.五：矩陣的逆的求法（一）.定義法定義 設A是n階方陣，如果存在n階方陣B使得AB=E,那么A稱為可逆j矩陣，B稱為A的逆矩陣，記為.求矩陣的逆矩陣.解 ： 因為0,所以存在.設,由定義知A=E, 所以=.由矩陣乘法得=.由矩陣相等可解得;.故（二）.伴隨矩陣法定理 n階矩陣A = aij為可逆的充分必要條件是A非奇異.且，其中Aij是|A|中元素aij的代數余子式.矩陣稱為矩陣A的伴隨矩陣，記作A*，于是有A-1 = EQ EQ F(1,|A|) A*.注釋 對于階數較低（一般不超過3階）或元素的代數余子式易于計算的矩陣可用此法求其

7、逆矩陣.注意A* = （Aji）nn元素的位置與符號.特別對于2階方陣，其伴隨矩陣,即伴隨矩陣具有“主對角元素互換，次對角元素變號”的規(guī)律.對于分塊矩陣不能按上述規(guī)律求伴隨矩陣.例2：已知，求A-1.解: = 2 0A可逆.由已知得A-1 = EQ EQ F(1,|A|) A* = （三）.行(列)初等變化法 設n階矩陣A，作n2n矩陣，然后對此矩陣施以行初等變換，若把子塊A變?yōu)?，則子塊將變?yōu)椋闯醯刃凶儞Q E,A-1 .注 對于階數較高（n3）的矩陣，采用初等行變換法求逆矩陣一般比用伴隨矩陣法簡便.在用上述方法求逆矩陣時，只允許施行初等行變換.也可以利用求得A的逆矩陣.當矩陣A可逆時，可利用

8、求得A-1B和CA-1.這一方法的優(yōu)點是不需求出A的逆矩陣和進行矩陣乘法僅通過初等變換，即求出了A-1B或CA-1.例3：:用初等行變換求矩陣的逆矩陣.解：（四）.用分塊矩陣求逆矩陣設A、B分別為P、Q階可逆矩陣，則：例4：已知，求A-1.解： 將A分塊如下：其中 可求得 （五）.解方程組求逆矩陣根據可逆的上(下)三角矩陣的逆仍是上(下)三角矩陣,且上(下)三角矩陣逆矩陣主對角元分別為上(下)三角矩陣對應的主對角元的倒數,可設出逆矩陣的待求元素;又由A-1A = E兩端對應元素相等,依次可得只含有一個待求元素的方程,因而待求元素極易求得,此法常用元素待求上(下)三角矩陣的逆矩陣.例5：求的逆矩

9、陣.解： 設,先求A-1 中主對角線下的次對角線上的元素,再求，最后求.設E為4階單位矩陣, 比較的兩端對應元素,得到元素,再求，最后求.設E為4階單位矩陣, 比較的兩端對應元素,得到于是,所求的逆矩陣為:（六）. 用克萊姆法則求解若線性方程組的系數行列式，則此方程組有唯一的一組解.這里是將中的第i列換成得到的行列式.例6：求可逆矩陣的逆矩陣.解： 矩陣A的行向量為，由標準基表示為： 解以為未知量的方程組得：（七）.恒等變形法求逆矩陣：有些計算命題表面上與求逆矩陣無關,但實質上只有求出矩陣的逆矩陣才能算出來,而求逆矩陣須對所給的矩陣等式恒等變形,且常變形為兩矩陣的乘積等于單位矩陣的等式. 例7

10、：已知，試求并證明,其中.解: 由得到故,而A又為正交矩陣,從而（八）. 用Hamilton-Caley定理求逆矩陣Hamilton-Caley定理:設A是數域P上的n階矩陣 為A的特征多項式，則： 于是 因此例8：已知，求A-1.解： A的特征多項式 由Hamilton-Caley定理知：（九）. 三角矩陣的一種求逆法定理：如果n階矩陣可逆，那么他的逆矩陣是其中例9：求上三角陣的逆矩陣.解： 由定理知：（十）. 拼接新矩陣：在可逆矩陣A的右方補加上一個單位矩陣E,在A的下方補加上一個負單位矩陣-E,再在A的右下方補加上一個零矩陣O,從而得到一個新的方陣.對該方陣施行第三種行的初等變換,使其負

11、單位矩陣-E化為零矩陣, 那么原來的零矩陣O所化得的矩陣就是所要求的逆矩陣A-1.例10：求矩陣的逆矩陣A-1.解: 構造矩陣有： 將第一行依次乘以-2，-3和1，分別加到第二行、第三行和第五行，得 ： 將第二行依次乘以-1和1，分別加到第三行和第四行，得 ：再將第三行依次乘以-3、2和-1，分別加到第四行、第五行、第六行，得 ：故： （十一）.和化積法 有的問題要判斷方陣之和A+B的非奇異性并求其逆矩陣，此時可將A+B直接化為（A+B）C=E,由此得A+B非奇異，且=C;或將矩陣之和 A+B表示為若干已知的非奇異陣之積，并可得其逆矩陣. 例11.證明:若=0,則E-A是非奇異的，并求. 證明

12、 且=.六：矩陣逆的應用（主要在編碼、解碼方面）矩陣密碼法是信息編碼與解碼的技巧，其中的一種是基于利用可逆短陣的方法先在26 個英文字母與數字間建立起一一對應，例如可以是A B Y Z1 2 25 26若要發(fā)出信息“SEND MONEY”，使用上述代碼，則此信息的編碼是19，5，14，4，13，l 5，14，5，25，其中5 表示字母E不幸的是，這種編碼很容易被別人破譯在一個較長的信息編碼中，人們會根據那個出現頻率最高的數值而猜出它代表的是哪個字母，比如上述編碼中出現次數最多的數值是5，人們自然會想到它代表的是字母E，因為統(tǒng)計規(guī)律告訴我們，字母E 是英文單詞中出現頻率最高的我們可以利用矩陣乘法

13、來對“明文”SEND MONEY 進行加密，讓其變成“密文”后再行傳送，以增加非法用戶破譯的難度，而讓合法用戶輕松解密如果一個矩陣A的元素均為整數，而且其行列式=1，那么由 即知，的元素均為整數我們可以利用這樣的矩陣A 來對明文加密，使加密之后的密文很難破譯現在取 A=明文“SEND MONEY”對應的9 個數值按3 列被排成以下的矩陣 B=矩陣乘積 AB=對應著將發(fā)出去的密文編碼：43，105，81，45，118，77，49，128，93合法用戶用A1去左乘上述矩陣即可解密得到明文為了構造“密鑰”矩陣A ，我們可以從單位陣I 開始，有限次地使用第三類初等行變換，而且只用某行的整數倍加到另一行

14、，當然，第一類初等行變換也能使用這樣得到的矩陣A，其元素均為整數，而且由于=1可知，的元素必然均為整數七：逆矩陣求某些函數的不定積分利用逆矩陣求不定積分的具體方法：根據所求函數的不定積分，構造一個由基生成的子空間W=，并且W在求導變換D/W下是封閉的；求D/W在基下矩陣A=；根據高等代數知識，求逆矩陣，則就是逆變換在基下的矩陣；根據的第j列元素寫出=，j=1,2,3,4,5,6,n于是得出所求積分=+C,j=1，2，3，4，n例：求定積分 選定子空間W=L()，則W是求導變換D/W的不變子空間，且是W的一組基，且5，其中是任意常數.4，其中是任意常數.=，其中C是任意常數.八：可逆矩陣的推廣廣

15、義逆眾所周知，目前我們所學習、所了解的矩陣的可逆都是建立在n階方陣的基礎上，那如果是長方陣呢，對于長方陣，是否也有逆的性質，長方陣的逆又是怎樣的呢？查閱資料，我對矩陣的逆來做些推廣，就是標題中所說的長方陣的廣義逆.逆是逆元的簡稱，跟n階方陣一樣，長方陣與其廣義逆之間也有著相應的關系AXA=A.這邊的X就成為長方陣A的廣義逆，記為A或者A-.若A為非奇異矩陣,則線性方程組A=b的解為A-=A(A-b，其中A的逆矩陣A(A-滿足AA(A-=A(A=I(I為單位矩陣).若A是奇異陣或長方陣.A=b可能無解或有很多解.若有解,則解為Xb+(I-XA),其中是維數與A的列數一樣的任意向量,X是滿足AXA

16、=A的任何一個矩陣，通常稱X為A的廣義逆矩陣,用A-等符號表示,有時簡稱廣義逆.當A非異時,A(A-也滿足AA(A-A=A,且.故非異陣的廣義逆矩陣就是它的逆矩陣，說明廣義逆矩陣確是通常逆矩陣概念的推廣. 參考文獻：1 同濟大學數學系.線性代數（第五版）.：高等教育.2007（9）2 北大數學系編.王萼芳等修訂.高等代數.第三版.:高等教育社.2003(2).3 郭大鈞等.吉米多維奇數學分析習題集解（第三版）.:科學技術.2005（3）.4 禾瑞，郝炳新.高等代數M.:高等教育.19995 白述偉.高等代數選講M.教育.1996.6 同濟大學.高等代數與解析幾何M.:高等教育.2005:223

17、.7 麗，林謙，本三，等.高等代數學習指導與習題解析M.:西南財經大學.2009:39.170.253.8 鄒應.數學分析習題與其解答M.:大學.2001:168.169.176.9 吳良森，毛羽輝.數學分析習題精解：多變量部分 M.：科學，2005.10 毛綱源.線性代數解題方法和技巧M.：大學.11 王萼芳、石生明.高等代數.高等教育.2003年第三版；12 尚志.線性代數.高等教育.2006年第一版.師大學本科畢業(yè)論文（設計）題目審批表學院： (章)系別/教研室： 時間： 年 月 日課題情況題目名稱課題性質A基礎研究 B基礎應用研究 C應用研究教師職稱學位課題來源A.科研 B.生產 C.

18、教學 D. 學生自擬E. 其它成果類別A.論文 B.設計主要研究容與研究目標 指導教師（簽名）： 年 月 日 選題學生（簽名）： 年 月 日系所或教研室審題意見負責人（簽名）: 年 月 日學院審批意見學院學位分委員會主任（簽名）: 年 月 日師大學本科畢業(yè)論文（設計）開題報告論文題目：學院名稱：專 業(yè)：學生：學 號：指導教師： 年 月 日一、選題的性質 基礎應用研究二、選題的目的和意義三、與本課題相關的國外研究現狀，預計可能有所創(chuàng)新的方面四、課題研究的可行性分析五、課題研究的策略、方法和步驟六、預期成果形式描述預計形成6000字左右的學士學位論文。七、指導教師意見指導教師（簽名）：年 月 日八、學院學位分委員會意見 學院學位分委員會主任（簽名）： 年 月 日師大學本科畢業(yè)論文（設計）教師指導記錄表學院： 系別： 專業(yè)：論文（設計）題目： 學生學號指導教師職稱計劃完成時間：指導情況紀錄（含指導時間、指導容） 指導教師（簽名）： 學生（簽名）：學院學位分委員會主任（簽名）： 年 月 日指導教師意見（包括選題的意義，資料收集或