1、 # 高等數學（二）重點知識及解析（占80分左右）I、函數、極限一、基本初等函數（又稱簡單函數）：（3）指數函數：=。“（。0,且。工1）（1）常值函數：y=c（2）幕函數：y=xcl(4)對數函數：y=logax(ci)0,且ohI)(5)三角函數：y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx(6)反三角函數：y=aicsinx,y=aiccosx,y=aictanx,y=arccotx復合函數：要會判斷一個復合函數是由哪幾個簡單函數復合而成的。例如：卜=lncosx是由y=nu,u=cosx這兩個個簡單函數復合而成.例如：卜=aictaneyx是由y=aictanu,u=e和y=

2、3x這三個簡單函數復合而成.該部分是后面求導的關鍵！三、極限的計算1、利用函數連續性求極限（代入法）：對于一般的極限式（即非未定式），只要將X。代入到函數表達式中，函數值即是極限值，gplull/U）=/（x0）oXT.%注意：（1）常數極限等于他本身，與自變量的變化趨勢無關，BPlimC=Co（2）該方法的使用前提是當XTX。的時候，而xts時則不能用此方法。例lim4=4,Inn-3=-3,limlg2=lg2,lmi,x-xXT-1A-xA-6 # # #例2：Innx-0 x2+3x-lx+102+30-loTl_ 匝岬晉=害=込（非特殊角的三角函數值不用計算出來）2、未定式極限的運算

3、法（1）對于罟未定式：分子、分母提取公因式，然后消去公因式后，將人。代入后函數值即是極限值。v-90例1：計算Um未定式，提取公因式7X-30解：原式二lim0_如+習=lim(兀+3)=6TOC o 1-5 h zYT3X-323V-?V-I1Q例2：計算lim：上未定式，提取公因式YTlX-l0解：原式二lim=lim!izl2=-=03(x-l)(x+l)yti(x+1)2co(2)對于一未定式：分子、分母同時除以未知量的最高次幕，然后利用無窮人的倒數是無CO窮小的這一關系進行計算。工未定式，分子分母同時除以n00無窮大倒數是無窮小壬未定式，分子分母同除以疋00無窮人倒數是無窮小，因此分

4、子是0分母是2In-3例1：計算r3/7+1解：原式=lmi一=-“13+033+n-2x-l例2：計算lim宀2x-x+5321_TT-Tr0解：原式二Um=-=0y1522+xx3、利用等價無窮小的代換求極限(1)定義：設a和0是同一變化過程中的兩個無窮小，如呆lim-=b稱0與a是等價a無窮小，記作0a定理：設a、”、0、0均為無窮小,又&卩0、且lim存在貝ijlim=lim或lima0=lima0aa常用的等價無窮小代換：當xt0時，smx,tanxx例1：當xt0時，siii2x2x,tan(-3x)一3兀亟訂極限lmi=lim=lim-=-sm2x用2兀等價代換205xv-o5x

5、go55例3：極限lim竺匕二lim二Um3=3tan3x用3x等價代換xto*xtO*xtoII、一元函數的微分學一、導數的表示符號（1）函數/（X）在點X。處的導數記作：/（兀），y或纟丿X=XOdxx=r0（2）函數/（x）在區間Q,b）內的導數記作:(1)(c)=0(C為常數）(2)(3)d(4)(5)(smx)=cosx(6)(7)(arcsiiix)=1(8)Jl-x2例：1、(x3)=3x22、（石）=*丁二.求導公式（必須熟記）5、(cosX)=-sinx(in心(aictanx)*=L1+X(xa)=axa3、sin?r04、龍=06、 # # 三、導數的四則運算運算公式（設

6、U,V是關于X的函數，求解時把已知題目中的函數代入公式中的U和V即可，代入后用導數公式求解.）(1)(itV)=uv(2)(Mv)=UV+UV特別地(Cu)=Cll(C為常數)(3)例1：己知函數y=a：4+3cosx-2,求）解：y=(x4)+3(cosx)-2=4x3-3sinx-0=4x3-3smx例2：|己知函數f(x)=x2lnx,求fx)和fe).)liix+x2(liix)=2xlnx+x，丄二2xlnx+x7x解：/(x)=(x2所以/()=2fln+=2f+=(注意：lne=l,lnl=O)幀I3：|己知函數/(x)=求fx).1+X四、復合函數的求導1、方法一：嗣求復合函數

7、y=sinX2的導數.（1）首先判.斷該復合函數是由哪幾個簡單函數復合而成的.如y=sinx2由y=sinu和u=x2這兩個簡單函數復合而成（2）用.導數公式求出每個簡單函數的導數TOC o 1-5 h znndydu1：卩一二cosuf-=2xduax（3）每個簡單函數導數的乘祝即為復合函數的導數；注意中間變量要用原變量x替代回去.dydydunn=2xcos”二2xcos對axanax2、方法二（直接求導法）：復合函數的導數等于構成該復合函數的簡單函數導數的乘積。如果對導數公式熟悉，對復合函數的過程清楚，可以不必寫出中間變量而直接對復合函數從外往里求導.例1：|設函數y=cos（-3x）,

8、求）解：y=(c(?x(-3x)=-sin(-3x)(-3x)=-sm(-3x)(-3)=3siii(-3x)例2：|設函數y=嚴丫，求y.解：（lnx）二丄？zX注意:一個復合函數求幾次導,取決于它由幾個簡單函數復合而成。高階導數1、二階導數記作：），fx）或孕dx我們把二階和二階以上的導數稱為鹼題.2、求法：（1）二階導數就是對一階導數再求一次導（2）三階導數就是對一階導數求兩次導，對二階導求一次導例1：|己知y=5sinx,求yN解：*.*y=5cosx,:.y=-5sinx例2：|已知y=戶，求y|,v=0.解：戶戶，二2戶(2刃二4戶W/.=0=4六、微分的求法：求出函數y=f(x)

9、的導數fV)再乘以dx即可.即dy=fx)dx.例1：|已知y=In疋，求dy.解：.*y=(lnx2)=A-，2x=:.dy=dxX例2：|設函數y=x4-cosx,求dy.解：Ty=(x4)cosx+x4(cosx)=4x3cosx-x4sinx/.dy=(4x3cosx-x4sinx)r III、二元函數的微分學一、多元函數的定義：由兩個或兩個以上的自變量所構成的函數，稱為多元函數。其自變量的變化范圍稱為定義域，通常記作D例如：二元函數通常記作：z=（X.y）eD二、二元函數的偏導數1、偏導數的表示方法：（1）設二元函數Z=f（x,y）9則函數z在區域D內對x和對y的偏導數記為:dzdx

10、（2）設二元函數z=f（x,y）9則函數Z在點（心兒）處對x和對）丿的偏導數記為:條（“）幾（竝”0），3（）；dz勿（z）2、偏導數的求法（1）對x求偏導時，只要將y看成是常量，將x看成是變量，直接對x求導即可.（2）對y求偏導時，只要將q看成是常量，將y看成是變量，直接對求導即可.如果要求函數在點（兀,兒）處的偏導數，只要求出上述偏導函數后將兀和兒代入即可.|例1：|已知函數z=x5y-2y2x,求仝和生.dxdy解：辛小3,斛f例2：已知函數z=x2sm2y,求上和亠.dxdy解：=2xsm2y,=2x2cos2ydxdy三、全微分1、全微分公式：函數Z=/（x,y）在點（x,刃處全微分

11、公式為：ck=dx+dydx內全微分求法：（1）、先求出兩個一階偏導數竺和乞.（2）、然后代入上述公式即可.dxdy9r例|設函數z=sm(xy)+3F+y-l,求dzdzoz解：T=ycos(xy)+6x,=xcos(xy)+1dxdyc_:.dz=亍dx+京dy=ycos(xy)+6xdx+xcos(x-y)+ldy例2：設函數2=，小，求dz解：冬二2戶”，冬二嚴dz=dx+dy=2穴打厶+e2x+ydydxdydxdy四、二階偏導的表示方法和求法：（1）f（企）二竽二廠“（X,y）=亢兩次都對X求偏導OXoxox先對x求偏導，再對y求偏導先對y求偏導，再對x求偏導兩次都對y求偏導（2）

12、（#）二竿二幾.（I）二幾cyoxoxoy慕影篇W心od?d2zj“*鬲區戶晴二幾EXJ可見二元函數的二階偏導牙四秒，它們都是兀y的函數。在求二階偏導的時候一定要注意對變量的求導次序（寫在符號前面的變量先求偏導）.例1：|設函數z=xy2-3xy5-xy+1,求二匚，丄一，厶和矣.辦.dxo）oycxdy解:-=2xy-9xy2勿-x得二6xy2,=6x2y-9y2-1,=6x2y-9y2-1,=2x3-1Sxydxdxdydydxdy例2：設函數z=ycosx,求一,dxdxdy解：V=-ysinx得乞4二-ycosx,二_smxdxdxdxdyIV、一元函數的積分學一、原函數的定義：設尸(

13、X)是區間I上的一個可導函數，對于區間I上的任意一點X,都有F(x)=/(a),則稱F(x)是/(x)在區間I上的一個原函數.例1：(smX)=cosx,因此smx是cosx的一個原函數，cosx是sinx的導數.由于(sinx+c)=cosx,可見只要函數有一個原函數，那么他的原函數就有無窮多個.例2：|設/的一個原函數為丄,求/.X解：因為丄是/(X)的一個原函數,X即F(X)=-X # # # #(注:二.不定積分、定義:我們把/(X)的兩宣愿蚩數稱為/(Q在區間I上的不定積分，記作:jf(x)dx=F(x)+C(其中F(x)=/(a)注意：不定積分是原函數的的全體，因此計算結果夠數g爼

14、奉！、不定積分的性質(/W土=ff(x)dxg(x)dxjkf(x)dx=kf(x)dx(其中R為常數)(三)、基本積分公式(和導數公式一樣,必須熟記)Jodx=C(2kdx=kx+C(k為常數)r嚴(3xadx=+C(&H-1)a+(5jexdx=ex+Cj*丄J,v=ln|x|+CX=smx+C(7Jsinxdx=-cosx+C8 # # # #=aictanx+C # # # #例1：J-3dx=-3x+Cj2smxdx=-2cosx+C 3設tanx=u)例2：|Jtan2xdtanx=Judu=尋+C= # #又如：JcosT“dcosx=Incosx+C23jJlnxdliix=y

15、(liix)E+C（四）、不定積分的計算1、直接積分法：對被積函數進行恒等變形，并用積分性質和積分公式進行積分的方法。例1：j(x2+l)dx=j(x44-2x2+l)t/x=jx4dx+2Jx2dx+JJx=+yx3+x+C例2：J(1一2sinx+)dx=Jldx一2Jsinxdx+3J打x=x+2cosx+31nx+C2、湊微分法（1）適用前提：如果被積函數是兩個函數相乘（或相除）或者被積函數是復合函數（通常為較為簡單的復合函數）的情況，此時可以考慮用湊微分法。（2）湊微分法解法步驟（1湊微分2換元3直接積分法4反換元例1：嫌不定積分Jxcosx2clx（1.湊微分）將xdx湊成dx2（

16、2.換元）將亍換元成（3.直接積分法）求出的不定積分（4反換元）”再用亍反換元解:原式=jcosx2dx2=-jcosx2dx2二*Jcosud”.c=S111H+C2=sinx+C2頁瓦求不定積分J解:原式=jln2xJ(liix)（1湊微分）將丄dx湊成dlnx（2換元）將lnx換元成（3直接積分法）求出的不定積分 匝求不定積分e2dx解:原式二扌嚴畑+2）（1湊微分）將厶湊成-d（3x+2）（2換元）將3兀+2換元成（3直接積分法）求出的不定積分（4反換元）“再用3x+2反換元（4反換元）“再用111xR換元 # #注意湊微分時要注意湊完微分后前后變量要統一!如果能熟練掌握換元過程,此時

17、就可以不必寫出中間變量,而直接進行積分。 # #分部積分法（考到概率為40%左右,要了解的可參考重點解析“詳細版”）三、不定積分（一）、定積分的定義：由曲邊梯形的面積引出定義公式A=|f（x）dx（A為曲邊梯形的面積）Ja其中為被積函數，。,切為積分區間，。為積分下限，b為積分上限。用定積分所要注意的事項：1、因為定積分是曲邊梯形的面積，因此定積分的值一定是一個常數，所以對定積分求導,導數值必為零。aictanxdx=0, # #因定積分上限ba,當ba時，f/（X）dx二一/厶 # #（二人定積分的計算 #1、變上限積分的計算(1)定義：積分上限X為變量時的定積分稱為變上限積分，變上限積分是

18、上限X的函數,記作0(兀)=(f(t)dt將X代入到/(/)即可(2)變上限積分的導數:例1：I設f(x)=sintdt,則/(a)=SUlX.x+x # #2、牛頓一萊布尼茨公式公式：如果尸(x)是連續函數/在W，b上的一個原函數，則有j(x)dx=F(X)ha=F(b)-F(a)由公式可知:連續函數/(x)在a,b上底積如就足/的一個原函數尸在切上的增量(上限值減下限值)。而連續函數/(x)的不定積分，就是/(x)的全體原函數(原函數后面加常數C)。可見定積分和不定積分的計算都是圍繞求原函數進行的。匝求定積分x2dx # #解：原式二斗：_23P_71_T_T3 # #頁瓦求定積分fcosxsinxdx(將sinxdx湊