1、北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊知識(shí)點(diǎn)總結(jié)勾股定理1、勾股定理直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即例1 如圖1，直角三角形ABC的周長為24，且AB：BC=5：3，則AC= （ ）.（A）6 （B）8 （C）10 （D）12例2 直角三角形兩直角邊分別為5、12，則這個(gè)直角三角形斜邊上的高為（ ）.（A）6 （B）8.5 （C） （D）2、勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a，b，c有關(guān)系，那么這個(gè)三角形是直角三角形。例3 若三角形三邊長為a、b、c，且滿足等式，則此三角形是（A）銳角三角形 （B）鈍角三角形（C）等腰直角三角形（D）直角三角形3、勾股數(shù)：滿足的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。例

2、4 下列各組中，不能構(gòu)成直角三角形的是（ ）.（A）9，12，15 （B）15，32，39 （C）16，30，34 （D）9，40，41實(shí)數(shù)一、實(shí)數(shù)的概念及分類 1、實(shí)數(shù)的分類 正有理數(shù) 有理數(shù) 零 有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)實(shí)數(shù) 負(fù)有理數(shù) 正無理數(shù) 無理數(shù) 無限不循環(huán)小數(shù) 負(fù)無理數(shù)2、無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)。歸納起來有四類：（1）開方開不盡的數(shù)，如等；（2）有特定意義的數(shù)，如圓周率，或化簡后含有的數(shù)，如+8等；（3）有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001等；（4）某些三角函數(shù)值，如sin60o等例5 下列命題中，正確的是（ ）。A、兩個(gè)無理數(shù)的和是無理數(shù) B、兩個(gè)無理數(shù)的積是實(shí)數(shù)C

3、、無理數(shù)是開方開不盡的數(shù) D、兩個(gè)有理數(shù)的商有可能是無理數(shù)二、實(shí)數(shù)的倒數(shù)、相反數(shù)和絕對值 1、相反數(shù)實(shí)數(shù)與它的相反數(shù)是一對數(shù)（只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零），從數(shù)軸上看，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，如果a與b互為相反數(shù)，則有a+b=0，a= - b，反之亦成立。2、絕對值在數(shù)軸上，一個(gè)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，叫做該數(shù)的絕對值。（|a|0）。零的絕對值是它本身，也可看成它的相反數(shù)，若|a|=a，則a0；若|a|=-a，則a0。例6 絕對值小于的整數(shù)有_。3、倒數(shù)如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=1，反之亦成立。倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和-1。零沒有倒數(shù)。4、數(shù)軸規(guī)定了原

4、點(diǎn)、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸（畫數(shù)軸時(shí)，要注意上述規(guī)定的三要素缺一不可）。解題時(shí)要真正掌握數(shù)形結(jié)合的思想，理解實(shí)數(shù)與數(shù)軸的點(diǎn)是一一對應(yīng)的，并能靈活運(yùn)用。三、平方根、算數(shù)平方根和立方根 1、算術(shù)平方根：一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個(gè)正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根。特別地，0的算術(shù)平方根是0。表示方法：記作“”，讀作根號(hào)a。性質(zhì)：正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個(gè)，零的算術(shù)平方根是零。2、平方根：一般地，如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個(gè)數(shù)x就叫做a的平方根（或二次方根）。表示方法：正數(shù)a的平方根記做“”，讀作“正、負(fù)根號(hào)a”。性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互

5、為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒有平方根。開平方：求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫做開平方。 注意的雙重非負(fù)性： 0例7 若x，y都是實(shí)數(shù)，且，則xy的值（ ）。A、0 B、 C、2 D、不能確定3、立方根一般地，如果一個(gè)數(shù)x的立方等于a，即x3=a，那么這個(gè)數(shù)x就叫做a 的立方根（或三次方根）。表示方法：記作性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根；一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根；零的立方根是零。注意：，這說明三次根號(hào)內(nèi)的負(fù)號(hào)可以移到根號(hào)外面。例8 _，_。例9 下列說法中，錯(cuò)誤的是（ ）。A、4的算術(shù)平方根是2 B、的平方根是3C、8的立方根是2 D、立方根等于-1的實(shí)數(shù)是-1例10 代數(shù)式，,中一定是正數(shù)的

6、有（ ）。A、1個(gè) B、2個(gè) C、3個(gè) D、4個(gè)例11 有一個(gè)數(shù)的相反數(shù)、平方根、立方根都等于它本身，這個(gè)數(shù)是（ ）。A、1 B、1 C、0 D、1四、實(shí)數(shù)大小的比較 1、實(shí)數(shù)比較大小：正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；數(shù)軸上的兩個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小。2、實(shí)數(shù)大小比較的幾種常用方法（1）數(shù)軸比較：在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。（2）求差比較：設(shè)a、b是實(shí)數(shù)，（3）求商比較法：設(shè)a、b是兩正實(shí)數(shù)，（4）絕對值比較法：設(shè)a、b是兩負(fù)實(shí)數(shù)，則。（5）平方法：設(shè)a、b是兩負(fù)實(shí)數(shù)，則。五、算術(shù)平方根有關(guān)計(jì)算（二次根式）1、含有二次根號(hào)“”

7、；被開方數(shù)a必須是非負(fù)數(shù)。2、性質(zhì)：（1） （2） （3） （）（4） （）3、運(yùn)算結(jié)果若含有“”形式，必須滿足：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式例12 計(jì)算的值是（ ）。A、1 B、1 C、2 D、7六、實(shí)數(shù)的運(yùn)算 （1）六種運(yùn)算：加、減、乘、除、乘方、開方（2）實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序先算乘方和開方，再算乘除，最后算加減，如果有括號(hào)，就先算括號(hào)里面的。（3）運(yùn)算律加法交換律 加法結(jié)合律 乘法交換律 乘法結(jié)合律 乘法對加法的分配律 例13 已知，求7（xy）20的立方根。例14 若，求3xy的值。圖形的平移與旋轉(zhuǎn)一、平移 1、定義：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形

8、整體沿某方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為平移。2、性質(zhì)平移前后兩個(gè)圖形是全等圖形，對應(yīng)點(diǎn)連線平行且相等（即為平移的距離），對應(yīng)線段平行且相等，對應(yīng)角相等。例15 將圖形平移，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）A.對應(yīng)線段相等 B.對應(yīng)角相等C.對應(yīng)點(diǎn)所連的線段互相平分 D.對應(yīng)點(diǎn)所連的線段相等二、旋轉(zhuǎn) 1、定義在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞某一定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為旋轉(zhuǎn)，這個(gè)定點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角。2、性質(zhì)旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)圖形是全等圖形，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角等于旋轉(zhuǎn)角。例16 如圖，在正方形ABCD中，E為DC邊上的點(diǎn)，連結(jié)BE，將BC

9、E繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90得到DCF，連結(jié)EF，若BEC=60，則EFD的度數(shù)為（ ）A、10 B、15 C、20 D、25例17 下列說法正確的是( )A.平移不改變圖形的形狀和大小,而旋轉(zhuǎn)則改變圖形的形狀和大小B.平移和旋轉(zhuǎn)的共同點(diǎn)是改變圖形的位置C.圖形可以向某方向平移一定距離,也可以向某方向旋轉(zhuǎn)一定距離D.由平移得到的圖形也一定可由旋轉(zhuǎn)得到例18 在四邊形ABCD中,ADC=B=900,DEAB,垂足為E,且DE=EB=5,請用旋轉(zhuǎn)圖形的方法求四邊形ABCD的面積.D CA E B四邊形性質(zhì)探索一、四邊形的相關(guān)概念 1、四邊形：在同一平面內(nèi)，由不在同一直線上的四條線段首尾順次相接組成的

10、圖形叫做四邊形。2、四邊形具有不穩(wěn)定性3、四邊形的內(nèi)角和定理：四邊形的內(nèi)角和等于360。四邊形的外角和定理：四邊形的外角和等于360。推論：多邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和等于180； 多邊形的外角和定理：任意多邊形的外角和等于360。4、設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，則多邊形的對角線共有條。從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)能引（n-3）條對角線，將n邊形分成（n-2）個(gè)三角形。例19 一幅美麗的圖案，在某個(gè)頂點(diǎn)處由四個(gè)邊長相等的正多邊形密鋪而成，其中的三個(gè)分別為正三角形、正方形、正六邊形，則另外一個(gè)是（ ）（A）正三角形 （B）正方形（C）正五邊形 （D）正六邊形二、平行四邊形 1、平行四邊形的定義：兩組對邊

11、分別平行的四邊形叫做平行四邊形。2、平行四邊形的性質(zhì)（1）平行四邊形的對邊平行且相等。（2）平行四邊形相鄰的角互補(bǔ)，對角相等（3）平行四邊形的對角線互相平分。（4）平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點(diǎn)。相關(guān)結(jié)論：（1）若一直線過平行四邊形兩對角線的交點(diǎn)，則這條直線被一組對邊截下的線段的中點(diǎn)是對角線的交點(diǎn)，并且這條直線二等分此平行四邊形的面積。（2）夾在兩條平行線間的平行線段相等。3、平行四邊形的判定（1）定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形（2）定理1：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形（3）定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形（4）定理3：對角線互相平分的四邊形是

12、平行四邊形（5）定理4：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形4、兩條平行線的距離：兩條平行線中，一條直線上的任意一點(diǎn)到另一條直線的距離。平行線間的距離處處相等。5、平行四邊形的面積：S平行四邊形=底高=ah例20 如圖1，ABCD的周長是28cm，ABC的周長是22cm，則AC的長為（ ）（A）6cm （B）12cm （C）4cm （D）8cm例21 平行四邊形的兩鄰邊分別為3、4，那么其對角線必（ ）（A） 大于1（B） 小于7 （C） 大于1且小于7 （D） 小于7或大于1三、矩形 1、矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形。2、矩形的性質(zhì)（1）矩形的對邊平行且相等（2）矩形的四

13、個(gè)角都是直角（3）矩形的對角線相等且互相平分（4）矩形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點(diǎn)（對稱中心到矩形四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等）；對稱軸有兩條，是對邊中點(diǎn)連線所在的直線。3、矩形的判定（1）定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形（2）定理1：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形（3）定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形4、矩形的面積：S矩形=長寬=ab例22 如圖，在矩形ABCD中，F(xiàn)是BC邊上的一點(diǎn)，AF的延長線交DC的延長線于G，DEAG于E，且DEDC，根據(jù)上述條件，請你在圖中找出一對全等三角形，并說明你的結(jié)論。四、菱形 1、菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形2、菱形

14、的性質(zhì)（1）菱形的四條邊相等，對邊平行（2）菱形的鄰角互補(bǔ)，對角相等（3）菱形的對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角（4）菱形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點(diǎn)（對稱中心到菱形四條邊的距離相等）；對稱軸有兩條，是對角線所在的直線。3、菱形的判定（1）定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（2）定理1：四邊都相等的四邊形是菱形（3）定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形4、菱形的面積：S菱形=底高=兩條對角線乘積的一半例23 菱形的兩條對角線長分別為6cm、8cm，則它的面積為（ ）（A）6 （B）12 （C）24 （D）48例24 菱形的周長為20cm，兩鄰角

15、的比為1：2，則較長的對角線長為（） A4.5 cm B4 cmC5 cm D4 cm五、正方形 1、正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形。2、正方形的性質(zhì)（1）正方形四條邊都相等，對邊平行（2）正方形的四個(gè)角都是直角 （3）正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角（4）正方形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點(diǎn)；對稱軸有四條，是對角線所在的直線和對邊中點(diǎn)連線所在的直線。3、正方形的判定判定一個(gè)四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種：（1）先證它是矩形，再證它是菱形。 （2）先證它是菱形，再證它是矩形。4、正方形的

16、面積：設(shè)正方形邊長為a，對角線長為b ，S正方形=例25 如圖，正方形ABCD中，E、F分別是AB和AD上的點(diǎn)，已知CEBF，垂足為M，請找出和BE相等的線段，并說明你的結(jié)論。六、梯形 1、梯形的相關(guān)概念一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。梯形中平行的兩邊叫做梯形的底，通常把較短的底叫做上底，較長的底叫做下底。梯形中不平行的兩邊叫做梯形的腰。梯形的兩底間的距離叫做梯形的高。2、梯形的判定（1）定義：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形是梯形。（2）只有一組對邊平行且不相等的四邊形是梯形。3、一般地，梯形的分類如下： 一般梯形梯形 直角梯形 特殊梯形 等腰梯形4、直角梯形的定義：一

17、腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。5、等腰梯形的定義：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。6、等腰梯形的性質(zhì)（1）等腰梯形的兩腰相等，兩底平行。（2）等腰梯形同一底上的兩個(gè)角相等，同一腰上的兩個(gè)角互補(bǔ)。（3）等腰梯形的對角線相等。（4）等腰梯形是軸對稱圖形，它只有一條對稱軸，即兩底的垂直平分線。7、等腰梯形的判定（1）定義：兩腰相等的梯形是等腰梯形（2）定理：底角相等的梯形是等腰梯形（3）對角線相等的梯形是等腰梯形8、梯形的面積（1）如圖，（2）梯形中有關(guān)圖形的面積：；例26 下列語句中，正確的是（ ）（A）平行四邊形的對角線相等 （B）平行四邊形的對角線互相垂直平分（C）等腰梯形的對角線互相垂直 （D）

18、矩形的對角線互相平分且相等例27 在四邊形ABCD中，A、B、C、D的度數(shù)比為1223，則這個(gè)四邊形是（ ）（A）平行四邊形（B）等腰梯形（C）菱形（D）直角梯形例28 如圖2，等腰梯形ABCD中，ABCD，ACBC，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，且AD=AE，ECAD，則ABC等于（）（A）75 （B）70 （C）60 （D）30七、有關(guān)中點(diǎn)四邊形問題的知識(shí)點(diǎn)：（1）順次連接任意四邊形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形；（2）順次連接矩形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形；（3）順次連接菱形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形；（4）順次連接等腰梯形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形；（5）順次連接對角線相等的四邊形四邊中

19、點(diǎn)所得的四邊形是菱形；（6）順次連接對角線互相垂直的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形；（7）順次連接對角線互相垂直且相等的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是正方形；AEBFCGDH例29 已知：如圖，在矩形ABCD中，E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)。若AB2，AD4，則圖中陰影部分的面積為（ ）（A）3 （B）4 （C）6 （D）8八、中心對稱圖形 1、定義在平面內(nèi)，一個(gè)圖形繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180，如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形互相重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做它的對稱中心。2、性質(zhì)（1）成中心對稱的兩個(gè)圖形是全等圖形。（2）成中心對稱的兩個(gè)圖形，對稱點(diǎn)連線都經(jīng)過對稱中心，并且被

20、對稱中心平分。（3）成中心對稱的兩個(gè)圖形，對應(yīng)線段平行（或在同一直線上）且相等。3、判定：如果兩個(gè)圖形的對應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過某一點(diǎn)，并且被這一點(diǎn)平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這一點(diǎn)對稱。例30 下列圖形中，是中心對稱圖形而不是軸對稱圖形的是（）A平行四邊形 B矩形 C菱形D正方形九、四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形、直角梯形的關(guān)系圖：位置的確定一、在平面內(nèi)，確定物體的位置一般需要兩個(gè)數(shù)據(jù)。二、平面直角坐標(biāo)系及有關(guān)概念 1、平面直角坐標(biāo)系在平面內(nèi)，兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸，組成平面直角坐標(biāo)系。其中，水平的數(shù)軸叫做x軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數(shù)軸叫做y軸或縱軸，取向上為正方向；x軸和y

21、軸統(tǒng)稱坐標(biāo)軸。它們的公共原點(diǎn)O稱為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)；建立了直角坐標(biāo)系的平面，叫做坐標(biāo)平面。2、為了便于描述坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的位置，把坐標(biāo)平面被x軸和y軸分割而成的四個(gè)部分，分別叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。(注意：x軸和y軸上的點(diǎn)（坐標(biāo)軸上的點(diǎn)），不屬于任何一個(gè)象限。)3、點(diǎn)的坐標(biāo)的概念對于平面內(nèi)任意一點(diǎn)P,過點(diǎn)P分別x軸、y軸向作垂線，垂足在上x軸、y軸對應(yīng)的數(shù)a，b分別叫做點(diǎn)P的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，有序數(shù)對（a，b）叫做點(diǎn)P的坐標(biāo)。點(diǎn)的坐標(biāo)用（a，b）表示，其順序是橫坐標(biāo)在前，縱坐標(biāo)在后，中間有“，”分開，橫、縱坐標(biāo)的位置不能顛倒。平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)是有序?qū)崝?shù)對，當(dāng)時(shí)，（a，b）和（b，

22、a）是兩個(gè)不同點(diǎn)的坐標(biāo)。平面內(nèi)點(diǎn)的與有序?qū)崝?shù)對是一一對應(yīng)的。例31 點(diǎn)M在x軸的上側(cè)，距離x軸5個(gè)單位長度，距離y軸3個(gè)單位長度，則M點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）A. （5,3） B. （5,3）或（5,3） C. （3,5） D. （3,5）或（3,5）4、不同位置的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征 （1）各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征 點(diǎn)P(x,y)在第一象限點(diǎn)P(x,y)在第二象限點(diǎn)P(x,y)在第三象限點(diǎn)P(x,y)在第四象限（2）坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的特征 點(diǎn)P(x,y)在x軸上，x為任意實(shí)數(shù)點(diǎn)P(x,y)在y軸上，y為任意實(shí)數(shù)點(diǎn)P(x,y)既在x軸上，又在y軸上x，y同時(shí)為零，即點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，0）即原點(diǎn)（3）兩條坐標(biāo)軸夾角平分線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征點(diǎn)P(x,y)在第一、三象限夾角平分線（直線y=x）上x與y相等點(diǎn)P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上x與y互為相反