1、 前五章講述了概率論的最基本的內(nèi)容,概括起來(lái)主要是隨機(jī)變量的概率分布。那里通常我們假定概率分布是已知的。但是，在實(shí)際中，隨機(jī)變量的分布往往是未知的，或者有未知的成分。解決的辦法：對(duì)隨機(jī)變量進(jìn)行多次觀察。 例如：某地區(qū)一個(gè)月內(nèi)交通事故的發(fā)生次數(shù)服從泊松分布 ，希望了解月平均事故次數(shù) ，以便采取應(yīng)對(duì)策略。數(shù)理統(tǒng)計(jì)引言 從理論上講，只要對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行足夠多次的觀察，隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性就一定能夠清楚地呈現(xiàn)出來(lái)。 但是，客觀上只允許我們對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行次數(shù)不多的觀察或試驗(yàn)，也就是說(shuō)：我們獲得的只能是局部的或有限的觀察資料。 統(tǒng)計(jì)學(xué)的任務(wù)就是研究怎樣有效地收集、整理和分析所獲得的有限資料，并對(duì)所研究的問(wèn)題盡可

2、能地給出精確而可靠的推斷。 現(xiàn)實(shí)世界中存在著形形色色的隨機(jī)數(shù)據(jù)，分析這些數(shù)據(jù)需要多種多樣的方法。因此，數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的方法和支持這些方法的相應(yīng)理論是相當(dāng)豐富的。我們主要介紹如下兩大類: 參數(shù)估計(jì): 根據(jù)數(shù)據(jù)，對(duì)分布中的未知參數(shù) 進(jìn)行估計(jì)； 假設(shè)檢驗(yàn): 根據(jù)數(shù)據(jù)，對(duì)分布的未知參數(shù)的 某種假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)。 參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)構(gòu)成了統(tǒng)計(jì)推斷的兩種基本形式，這兩種推斷滲透到了數(shù)理統(tǒng)計(jì)的每個(gè)分支。6.1 總體與樣本 在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，稱研究問(wèn)題所涉及對(duì)象的全體為總體，總體中的每個(gè)成員為個(gè)體。 例如: 研究某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品的廢品率，則這種產(chǎn)品的全體就是總體，而每件產(chǎn)品都是一個(gè)個(gè)體。6.1.1 總體、個(gè)體與樣本

3、實(shí)際上，我們真正關(guān)心的并不一定是總體或個(gè)體本身，而真正關(guān)心的是總體或個(gè)體的某項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)。 如：某電子產(chǎn)品的使用壽命，某天的最高氣溫，加工出來(lái)的某零件的長(zhǎng)度等數(shù)量指標(biāo)。因此，有時(shí)也將總體理解為那些研究對(duì)象的某項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)的全體。 為評(píng)價(jià)某種產(chǎn)品質(zhì)量的好壞，通常的做法是：從全部產(chǎn)品中隨機(jī)(任意)地抽取一些樣品進(jìn)行觀測(cè)(檢測(cè))，統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱這些樣品為一個(gè)樣本。 同樣，我們也將樣本的數(shù)量指標(biāo)稱為樣本。因此，今后當(dāng)我們說(shuō)到總體及樣本時(shí)，既指研究對(duì)象又指它們的某項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)。例1：研究某地區(qū) N 個(gè)農(nóng)戶的年收人。 在這里，總體既指這 N 個(gè)農(nóng)戶，又指我們所關(guān)心的 N個(gè)農(nóng)戶的數(shù)量指標(biāo)他們的年收入( N 個(gè)數(shù)字)。

4、 如果從這 N 個(gè)農(nóng)戶中隨機(jī)地抽出 n 個(gè)農(nóng)戶作為調(diào)查對(duì)象，那么，這 n 個(gè)農(nóng)戶以及他們的數(shù)量指標(biāo)年收入( n個(gè)數(shù)字)就是樣本。 注意：上例中的總體是直觀的，看得見(jiàn)、摸得著的。但是，客觀情況并非總是這樣。例2：用一把尺子測(cè)量一件物體的長(zhǎng)度。 假定 n 次測(cè)量值分別為X1,X2 ,Xn。顯然，在該問(wèn)題中，我們把測(cè)量值X1,X2 ,Xn看成樣本。但總體是什么呢? 事實(shí)上，這里沒(méi)有一個(gè)現(xiàn)實(shí)存在的個(gè)體的集合可以作為上述問(wèn)題的總體?？墒牵覀兛梢赃@樣考慮，既然 n 個(gè)測(cè)量值 X1,X2,Xn 是樣本，那么，總體就應(yīng)該理解為一切所有可能的測(cè)量值的全體。又如：為研究某種安眠藥的藥效，讓 n 個(gè)病人同時(shí)服用這

5、種藥，記錄服藥者各自服藥后的睡眠時(shí)間比未服藥時(shí)增加睡眠的小時(shí)數(shù) X1,X2,Xn，則這些數(shù)字就是樣本。 那么，什么是總體呢? 設(shè)想讓某個(gè)地區(qū)(或某國(guó)家，甚至全世界)所有患失眠癥的病人都服用此藥，則他們所增加睡眠的小時(shí)數(shù)之全體就是研究問(wèn)題的總體。 對(duì)一個(gè)總體，如果用X表示其數(shù)量指標(biāo)，那么，X的值對(duì)不同的個(gè)體就取不同的值。因此，如果我們隨機(jī)地抽取個(gè)體，則X的值也就隨著抽取個(gè)體的不同而不同。 所以，X是一個(gè)隨機(jī)變量! 既然總體是隨機(jī)變量X，自然就有其概率分布。我們把X的分布稱為總體分布。 總體的特性是由總體分布來(lái)刻畫(huà)的。因此，常把總體和總體分布視為同義語(yǔ)。.6.1.2 總體分布例 3 (例 l 續(xù))

6、：在例 l中，若農(nóng)戶年收入以萬(wàn)元計(jì)，假定 N戶的收入X只取以下各值: 0.5, 0.8, l.0, 1.2和1.5。取上述值的戶數(shù)分別n1, n2, n3, n4和n5 (n1+n2+n3+n4+n5=N)。則X為離散型分布，分布律為:例4 ( 例2續(xù) )：在例2中，假定物體真實(shí)長(zhǎng)度為(未知)。一般說(shuō)來(lái)，測(cè)量值X就是總體，取 附近值的概率要大一些，而離 越遠(yuǎn)的值被取到的概率就越小。 如果測(cè)量過(guò)程沒(méi)有系統(tǒng)性誤差，則X取大于 和小于 的概率也會(huì)相等。 在這種情況下，人們往往認(rèn)為X 服從均值為，方差為2 的正態(tài)分布。2反映了測(cè)量的精度。于是，總體X的分布為 N(,2)。 說(shuō)明：這里有一個(gè)問(wèn)題，即物體

7、長(zhǎng)度的測(cè)量值總是在其真值 的附近，它不可能取負(fù)值。 而正態(tài)分布取值在(-,)上。那么，怎么可以認(rèn)為測(cè)量值X服從正態(tài)分布呢? 回答這個(gè)問(wèn)題，有如下兩方面的理由。(1).在前面講過(guò)，對(duì)于XN(,2)， P-3X0，當(dāng)樣本大小 n 增大時(shí)，上面的概率也隨之增大；n 趨于無(wú)窮時(shí)，上式趨近于 1。任給c 0，總有例1：用機(jī)器向瓶子里灌裝液體洗滌劑，規(guī)定每瓶裝 毫升。但實(shí)際灌裝量總有一定波動(dòng)。假定灌裝量的方差 2=1，如果每箱裝這樣的洗滌劑 25 瓶。求這 25 瓶洗凈劑的平均灌裝量與標(biāo)定值 相差不超過(guò)0.3毫升的概率；又如果每箱裝50瓶時(shí)呢?解：記一箱中 25 瓶洗凈劑灌裝量為 X1,X2, X25 是來(lái)自均值為 , 方差為1的總體的隨機(jī)樣本。根據(jù)抽樣分布定理1，近似地有 當(dāng) n=50時(shí)，同樣可算出