1、 第 12 章 多元函數微分學的應用 北京師范大學（珠海校區）1 空間曲線的切線和法平面方程2 曲面的切平面和法線方程 3 多元函數的極值1 空間曲線的切線和法平面方程問題思考. 如何求點P處的切線方程？曲線L在點P處的切線為點Q沿曲線L趨向點P時割線PQ的極限位置PT切線PT切點.問題思考. 如何求點P處的法平面方程？ 過曲線 L上點 P,且垂直于曲線在該點的切線 PT 的平面稱為曲線在點P的法平面.1、曲線方程為參數方程情形.其中對應.得切線PT方程.割線PQ的方程為上述方程之分母同除以令其方向向量通常稱為切向量.也是法平面的法向量,因此得 法平面方程 此處為零,則曲線在點P處無切線。 奇

2、點例1. 求曲線解點對應參數且有于是所求切線方程為例2. 求圓柱螺旋線在任意一點處及t=0處的切線方程.所求法平面方程為即螺旋線變成什么形狀？問題思考. 將圓柱面切開展平后螺旋線上任意一點處的切線方程為在 t0 = 0 時, 切線方程為解2、曲線方程為兩個柱面的交線的情形取x為參數,其參數方程為法平面方程為 切線方程為 .例3. 解該交線的參數方程為當時，其切向量為故處的切線方程為例4. 求兩個圓柱面線在點處的切線方程.的交法平面方程為即解該交線的參數方程為當時，于是所求切線方程為時，類似可得所求切線方程為3、曲線方程為一般式的情形, 且有當時, 在 內 可表示為曲線上一點處的切向量為 或.例

3、5. 求曲線在點處的切線方程和法平面方程.解則令于是切線方程為故切向量為法平面方程為.,即.2 曲面的切平面和法線方程 1、曲面的切平面和法線方程平面球面 相切？設曲面的方程為完全在曲面上的曲線 ,設其方程為為曲面上一點，過點 任意引一條對應點 , 且 不全為零. 在點 的切線方程為此平面稱為 在該點的切平面.結論： 上過點 M 的任何曲線在該點的切線都在同一平面上. 取曲面在點 的切平面方程為過點 M 且垂直于切平面的直線稱為在該點處的法線.例1. 求橢球面在點處的切平面和法線方程.法線方程為.解令則于是切平面方程為即法線方程為例2. 證明：曲面上,任意一點處的切平面在各坐標軸上的截距之和等

4、于a.證令, 則故曲面上任意一點處的切平面的法向量可取為于是，切平面方程為由于點在曲面上，故切平面方程可化為從而，切平面在各坐標軸上的截距之和為法線方程則曲面, 若曲面 的方程為切平面方程.求在點處的切平面和法線方程.例3. 解令，則，.故切平面方程為法線方程為，即.若曲面由參數方程給出：對應于曲面上的點隱 函 數再想一想,可否用不同于書中的方法做？ 由此找出 u, v 與 x , y 的關系代入產生求球面在對應于處的切平面方程和法線方程.例3. 故解故切平面方程為即法線方程為2、二元函數全微分的幾何意義若空間曲面方程形為曲面在其上一點M處的切平面方程為切平面上點的豎坐標的增量 函數 在點 的

5、全微分 二元函數全微分的幾何意義：函數 在 的全微分表示曲面 在點 處的切平面上的點的豎坐標的增量.3 多元函數的極值多元函數的極值 無約束極值 有約束極值1. 無約束極值定義1. 設在內有定義.若對總有函數的極大值點(極小值點). 函數的極大值和極小值統稱為函數的極值.則稱為函數的極大值(極小值).稱為例1.函數在點處取極大值.例2.函數在點處取極小值.若在點處取極值,則具有偏導數,且在定理 7. (取極值的必要條件) 必有說明： 可偏導函數的極值點一定是駐點 . 問題思考.駐點一定是極值點嗎？ 函數的駐點以及使函數的一階偏導數不存在 的點, 稱為函數的極值可疑點.函數的駐點.使函數零的點的

6、一階偏導數全為稱為時,具有極值定理2 (充分條件)的某鄰域內具有一階和二階連續偏導數, 且記 1) 當A0 時取極小值.2) 當3) 當時,沒有極值.時,不能確定,需另行討論.若函數則: 例3. 求的極值.解聯立方程組, 求駐點:解之得駐點又故點是極小點,極小值為點是極大點,極大值為點不是極值點.例4. 是否取得極值.討論函數及在點(0,0) 顯然 (0,0) 都是它們的駐點 ,在(0,0)點鄰域內的取值, 因此 z(0,0) 不是極值.正負0并且在 (0,0) 都有 可能為解因此為極小值.2. 函數的最大值和最小值上的最大值和最小值.如果為有界閉區域, 則函數必在上取到它的最大值和最小值.函

7、例5. 距離之平方和為最大及最小的點.解所求距離之平方和為區域：目標函數：最值問題：所討論的問題歸結為下面的優化問題:由方程組得到駐點且由一元函數求極值的方法, 得駐點：函數值：由一元函數求極值的方法, 得駐點：函數值：由一元函數求極值的方法, 得駐點：函數值：由一元函數求極值的方法, 得駐點：函數值：綜上所述 邊界上端點值：所求最值點為：內部取得, 函數在區域內可微且僅有唯一一個一個駐點, 則該駐點一定是最大值點或最小值點。 在通常遇到的實際問題中, 若根據問題本身的的最大值或最小值一定在區域性質知道函數實際判斷原則求內接于半徑為a的球且有最大體積的長方體.球面例6. 解選擇坐標系, 使球心

8、程為卦限中的頂點為位于坐標原點, 則球面方設所求長方體在第一則長方體的三個棱邊長是長方體體積為區域：目標函數：最值問題：原問題歸結為下面的優化問題:由解之得,應用題, 又僅有唯一一個駐點, 故該駐點即為極值點, 從而所求球內接長方體的邊長為3. 有約束極值 (條件極值)對自變量附加一定條件的極值問題就是有約束極值問題.定義2. 若有則稱為函數在約束條件下的極大值 (或極小值). 有約束極值 無約束極值 拉格朗日乘數法 變量替代法問題：求函數在下的極值.條件 拉格朗日乘數法若函數在點處取得極值,若 可確定隱函數于是原問題轉化為無約束極值問題：求函數的極值.則函數在處取極值.則首先應有對函數的無約

9、束極值,極值點必滿足：引入.問題: 求函數在條件下的極值.稱輔助函數為該極值問題的拉格朗日函數,稱為拉格朗日乘數. 轉化為拉格朗日函數的無約束極值問題求函數構造拉格朗日函數 拉格朗日乘數法可推廣到多個自變量和多個約束 條件的情形. 例如,在下列條件下的極值.之間的最短距離.求旋轉拋物面與平面例7. 解的距離為到平面設為拋物面上任一點，P 則問題歸結為約束條件:目標函數:作拉氏函數.令解此方程組得唯一駐點,由實際意義最小值存在 ,故某廠要用鐵板做一個體積為2的有蓋長方例8. 才能使用料最省?問當長、寬、高各取怎樣的尺寸時, 體水箱，解設水箱底面邊長為x和y ,高為z , 于是水箱表面積為問題歸結為約束條件:目標函數:.作拉氏函數令解此方程組得唯一