1、5.1.4用樣本估計總體1.理解用樣本的數字特征估計總體的數字特征的方法.2.能用樣本的分布估計總體的分布.3.會應用相關知識解決實際統計問題.1 |用樣本的數字特征估計總體的數字特征利用隨機抽樣得到樣本,從樣本數據得到的平均數和標準差(通常也稱為樣本均值和樣本標準差)并不是總體真正的平均數和標準差,而只是對總體的一個估計,但這種估計是合理的,特別是當樣本容量很大時,它們確實反映了總體的信息.2 |用樣本的分布估計總體的分布當樣本容量不斷增大時,樣本中落在每個區間內的樣本數的頻率會越來越穩定于總體在相應區間內取值的概率.也就是說,一般地,樣本容量越大,用樣本的頻率分布去估計總體的分布就越準確.

2、1.在容許一定誤差存在的前提下,可以用樣本的數字特征去估計總體的數字特征,這樣就能節省人力和物力等.()判斷正誤，正確的畫“ ” ，錯誤的畫“ ” 。2.有時候總體的數字特征不可能獲得,此時只能用樣本的數字特征去估計總體的數字特征.()3.一般來說,在估計總體的數字特征時,只需直接算出樣本對應的數字特征即可.()4.同數字特征的估計一樣,分布的估計一般也有誤差.()5.在記錄兩個人射擊環數的兩組數據中,方差大的表示射擊水平高.()1 |用樣本的數字特征估計總體的數字特征1.一般情況下,如果樣本的容量恰當,抽樣方法又合理的話,樣本的特征能夠反映總體的特征.在允許一定誤差存在的前提下,可以用樣本的

3、數字特征去估計總體的數字特征.2.用樣本估計總體是研究統計問題的一個基本思想方法,即用樣本平均數估計總體平均數,用樣本方差估計總體方差(方差和標準差是描述一個樣本或總體的波動大小的特征數,方差或標準差越小,表示這個樣本或總體的波動越小,即越穩定).一般地,樣本容量越大,這種估計就越準確.3.利用樣本估計總體的目的是通過對樣本平均數和方差的比較,能對總體進行全面的分析、比較,進而提出合理的建議和指導意見,對實際應用問題做出正確的反饋.1.平均數、中位數、眾數與頻率分布直方圖的關系:(1)眾數在樣本數據的頻率分布直方圖中,就是最高的小長方形中某個(些)點的橫坐標.(2)由于在樣本中,有50%的個體

4、小于或等于中位數,也有50%的個體大于或等于中位數,因此在頻率分布直方圖中,中位數左側和右側的小長方形的面積和應該相等,據此可以估計中位數的值.(3)平均數是頻率分布直方圖的“重心”,是直方圖的平衡點.用頻率分布直方圖估計平均數時,平均數的估計值等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積與小長方形底邊中點的橫坐標(組中值)之積的和.2.利用直方圖求得的眾數、中位數和平均數均為近似值,往往與由實際數據得出的不一致,但它們能粗略估計眾數、中位數和平均數.()某校為了解全校高中學生五一小長假參加實踐活動的情況,抽查了100名學生,統計他們假期參加實踐活動的時間,繪成的頻率分布直方圖如圖所示.(1)求這1

5、00名學生中參加實踐活動時間在610小時內的人數;(2)估計該校學生參加實踐活動時間的眾數、中位數和平均數.思路點撥:(1)先求數據不在610小時內的頻率,進而求出數據在610小時內的頻率,由頻數=樣本容量頻率計算.(2)在頻率分布直方圖中,眾數是最高矩形底邊中點的橫坐標;中位數左邊和右邊的小矩形的面積和相等;平均數等于組中值與對應頻率之積的和.解析(1)1001-(0.04+0.12+0.05)2=58,即這100名學生中參加實踐活動時間在610小時內的人數為58.(2)由頻率分布直方圖可以看出最高矩形底邊中點的橫坐標為7,故該校學生參加實踐活動時間的眾數的估計值為7小時;(0.04+0.1

6、2)2=0.32,(0.04+0.12+0.15)2=0.62,0.320.50.62,中位數t滿足6t8.由0.32+(t-6)0.15=0.5,得t=7.2,即該校學生參加實踐活動時間的中位數的估計值為7.2小時;由(0.04+0.12+0.15+a+0.05)2=1,解得a=0.14,該校學生參加實踐活動時間的平均數的估計值為0.0423+0.1225+0.1527+0.1429+0.05211=7.16(小時).2|用樣本的分布估計總體的分布為了了解中學生的身高情況,對某校同齡的50名男同學的身高進行了測量(單位:cm),結果如下:175168170176167181162173171

7、177171171174173174175177166163160166166163169174165175165170158174172166172167172175161173167170172165157172173166177169181問題1.以上數據可采用什么方法進行統計?提示:列樣本的頻率分布表,畫頻率分布直方圖.2.以上數據的極差是多少?如果要對數據分組,怎么分組較合理?提示:極差=181-157=24;分成七組或八組較合理,分組如表:分組頻數頻率156.5160.530.06160.5164.540.08164.5168.5120.24168.5172.5130.26172.

8、5176.5130.26176.5180.530.06180.5184.520.04合計501.003.如何在已有的頻率分布直方圖上畫出頻率分布折線圖?提示:在頻率分布直方圖上順次連接各個小矩形上面一邊的中點得頻率分布折線圖. 4.根據已有的樣本數據及統計分析估計該校同齡男同學的身高狀況.提示:估計該校同齡男同學的身高多數集中在164 cm到177 cm之間.1.如果樣本容量恰當,抽樣方法又合理,在允許有一定誤差的前提下,可以用樣本的分布去估計總體的分布.頻率分布是指一個樣本數據在各個小范圍內所占比例的大小.一般利用頻率分布表和頻率分布直方圖來直觀體現.2.如何用樣本分布估計總體分布一般是利用

9、樣本在某一范圍內的頻率近似地估計總體在該范圍內的頻率.所以,首先樣本抽取要合理科學,其次要正確繪制頻率分布表(或直方圖),或者要準確找出題目所給頻率分布表(或直方圖)中的相關信息,最后由樣本分布估計出總體分布情況.()為了了解學生的身體發育情況,某校對年滿16周歲的60名男生的身高進行測量,其結果如下:身高/m1.571.591.601.621.631.641.651.661.68人數213234276 身高/m1.691.701.711.721.731.741.751.761.77人數874321212(1)根據上表,估計在這所學校年滿16周歲的男生中,身高不低于1.65 m且不高于1.71

10、 m的男生所占的比例,及身高不低于1.63 m的男生所占的比例;(2)將測量數據分為5組,畫出樣本頻率分布直方圖和頻率分布折線圖;(3)根據(2)中的統計圖說明該校年滿16周歲的男生的身高在哪一范圍內的人數所占的比例最大.如果年滿16周歲的男生有1 200人,那么估計在這個身高范圍內的男生有多少人.思路點撥:(1)由表中數據直接計算所求問題;(2)根據極差確定組距,然后分組并計算每組的頻數和頻率,畫出頻率分布直方圖和頻率分布折線圖;(3)根據統計圖可知身高在1.69,1.73)范圍內的男生所占比例最大,用此范圍的頻率乘總數即可求得結果.解析(1)由題中表格可知,身高不低于1.65 m且不高于1.71 m的人數為2+7+6+8+7+4=34,在樣本中所占比例為100%56.7%;身高不低于1.63 m的人數為60-2-1-3-2=52,在樣本中所占比例為100%86.7%.因此可估計這所學校年滿16周歲的男生中,身高不低于1.65 m且不高于1.71 m的男生所占的比例為56.7%,身高不低于1.63 m的男生所占的比例為86.7%.(2)數據的極差為1.77-1.57=0.20,由此確定組距為0.04,頻率分布表如下:分組頻數頻率1.57,1.61)60.11.61,1.65)90.15