1、 PAGE13 / NUMPAGES13 統計學三大分布與正態分布的關系1X柏林 41060045 理實1002班摘要：本文首先將介紹分布，分布，分布和正態分布的定義及基本性質，然后用理論說明分布，分布，分布與正態分布的關系，并且利用數學軟件MATLAB來驗證之.1.三大分布函數21.1分布分布是一種連續型隨機變量的概率分布。這個分布是由別奈梅(Benayme)、赫爾默特(Helmert)、皮爾遜分別于1858年、1876年、1900年所發現，它是由正態分布派生出來的，主要用于列聯表檢驗。定義：若隨機變量相互獨立，且都來自正態總體，則稱統計量為服從自由度為的分布，記為.分布的概率密度函數為其中

2、伽瑪函數，分布的密度函數圖形是一個只取非負值的偏態分布，如下圖.卡方分布具有如下基本性質：性質1：；性質2：若，相互獨立，則；性質3：；性質4：設，對給定的實數稱滿足條件:的點為分布的水平的上側分位數. 簡稱為上側分位數. 對不同的與n, 分位數的值已經編制成表供查用.分布的上分位數1.2分布分布也稱為學生分布，是由英國統計學家戈賽特在1908年“student”的筆名首次發表的，這個分布在數理統計中也占有重要的位置.定義：設，相互獨立，則稱統計量服從自由度為的分布，記為.分布的密度函數為分布的密度函數圖分布具有如下一些性質：性質1：是偶函數，；性質2：設，對給定的實數稱滿足條件；的點為分布的

3、水平的上側分位數. 由密度函數的對稱性，可得類似地，我們可以給出t分布的雙側分位數顯然有對不同的與，分布的雙側分位數可從附表查得.分布的上分位數1.3分布分布是隨機變量的另一種重要的小樣本分布，應用也相當廣泛. 它可用來檢驗兩個總體的方差是否相等，多個總體的均值是否相等. 分布還是方差分析和正交設計的理論基礎. 定義：設，相互獨立，令則稱統計量服從為第一自由度為，第二自由度為的分布.分布的密度函數圖分布具有如下一些性質：性質1：若；性質2：若，則；性質3：設，對給定的實數稱滿足條件；的點為分布的水平的上側分位數. 分布的上分位數分布的上側分位數的可自附表查得.性質4：此式常常用來求分布表中沒有

4、列出的某些上側分位數.1.4正態分布正態分布是數理統計中的一種重要的理論分布，是許多統計方法的理論基礎. 高斯（Gauss）在研究誤差理論時首先用正態分布來刻畫誤差的分布，所以正態分布又稱為高斯分布. 正態分布有兩個參數，和，決定了正態分布的位置和形態. 為了應用方便，常將一般的正態變量X通過u變換轉化成標準正態變量u，以使原來各種形態的正態分布都轉換為=0，=1的標準正態分布.正態分布的密度函數和分布函數若連續型隨機變量具有概率密度為其中為常數，則稱服從參數為的正態分布，記為.正態分布的密度函數圖特征1：正態曲線（normal curve）在橫軸上方均數處最高；特征2：正態分布以均數為中心，

5、左右對稱；特征3：正態分布有兩個參數，即均數和標準差. 是位置參數，固定不變時，越大，曲線沿橫軸越向右移動；反之，越小，則曲線沿橫軸越向左移動. 是形狀參數，當固定不變時，越大，曲線越平闊；越小，曲線越尖峭. 通常用表示均數為，方差為的正態分布. 用表示標準正態分布. 特征4：正態曲線下面積的分布有一定規律。實際工作中，常需要了解正態曲線下橫軸上某一區間的面積占總面積的百分數，以便估計該區間的例數占總例數的百分數（頻數分布）或觀察值落在該區間的概率. 正態曲線下一定區間的面積可以通過標準正態分布函數表求得。對于正態或近似正態分布的資料，已知均數和標準差，就可對其頻數分布作出概約估計. 2. 三

6、大分布與正態分布的密度函數比較32.1分布收斂于正態分布設，則對任意x，有.證明：因為分布的所以由獨立同分布中心極限定理得因為且所以因為所以=令，利用Stirling公式：則上式=所以分布的極限分布為正態分布.下面用MATLAB來驗證上面結論，首先定義分布函數和相應的正態分布，再依次增大，比較兩者關系：4從上面三個圖形可以看出，越大，分布密度函數與正態分布度函數越接近，這就和所證結論相符合.2.2t分布收斂于標準正態分布若服從自由度為的t分布，（1）證法1：由于自由度為n的t分布的概率密度函數為因此（1）式等價于（2）先利用Stirling公式：證明事實上，利用函數的性質當時當時亦可推出同樣的

7、結果。另外，由特殊極限公式可得綜合上訴，即證明（2）式所以，分布的極限分布是正態分布.下面用MATLAB來驗證上面結論，首先定義分布函數和相應的正態分布，再依次增大，比較兩者關系:從上面三個圖形可以看出，越大，分布密度函數與正態分布度函數越接近，這就和所證結論相符合.2.3分布收斂于標準正態分布若服從為第一自由度為，第二自由度為的分布，則.證明：所以因為所以由中心極限定理，當時所以分布的極限分布是正態分布.下面用MATLAB來驗證上面結論，首先定義分布函數和相應的正態分布，再依次增大，比較兩者關系:從上面三個圖形可以看出，越大，分布密度函數與正態分布度函數越接近，這就和所證結論相符合.在實際應

8、用中我們往往在取得總體的樣本后，通常是借助樣本的統計量對未知的總體分布進行推斷，為此須進一步確定相應的統計量所服從的分布，正態分布、分布、分布、分布是統計學最基本的四種分布，而分布、分布和分布又都收斂于正態分布，可見正態分布在統計學中的地位. 實際上，證明分布、分布和分布收斂于正態分布的方法很多，本質上都是應用了大數定理和中心極限定理.既然三大抽樣分布都收斂于正態分布，則當樣本容量很大時，就可以用正態分布來近似三大抽樣分布. 本文主要還利用了計算機軟件來驗證數學上的理論證明，在現代數學學習中，我們是離不開計算機的，因此我們也應多學習一些軟件的使用. 參考文獻：1XX學士學位論文.統計學三大分布與正態分布的差異. 某大學