1、第二章 量子力學原理()波函數和 Schrdinger 方程2.1 波函數及其統計解釋 2.2 態疊加原理 2.3 Schrdinger方程2.4 定態2.5 一維定態問題假設一 微觀體系的運動狀態由相應的 歸一化波函數描述 假設二 微觀體系的運動狀態波函數隨時間 的變化規律遵從薛定諤方程假設三 力學量由相應的線性厄密算符表示假設四 力學量算符之間有確定的對易關 系,稱為量子條件.基本量子條件假設五 全同的多粒子體系的波函數對于任 意一對粒子交換而言具有對稱性 玻色子；費米子量子力學的五條假設2.1 波函數及其統計解釋2.1-1 波函數2.1-2 波函數的統計解釋2.1-3 波函數的歸一化2.

2、1-4 粒子動量取值的幾率分布2.1-5 坐標和動量的期望值2.1-6 量子態；量子力學的第一條假設例：動量為 ,能量 的自由粒子，此為自由粒子(單色平面波)的波函數2.1-1 波函數量子力學用坐標 和時間 的復函數 來描述粒子的波動狀態,稱 為波函數其波矢為 ；角頻率為伴隨著單色平面波動. 描述單色平面波的函數為不再是常量,粒子的狀態用較復雜的波描寫，一般記為：2.1-2 波函數的統計解釋如果粒子處于一個力場中運動，粒子動量和能量電子源感光屏PPOQQO電子一個一個的通過小孔，但只要時間足夠長，底片上增加呈現出衍射花紋。單個電子就具有波動性。 長時間單個電子衍射實驗衍射圖樣反映是波的強度電子

3、數目的分布波動性看粒子性看波函數的統計解釋 正比于該點附近感光點的數目， 正比于該點附近出現的電子數目， 正比于電子出現在該點附近的幾率感光片上, 某一 點附近衍射圖樣的強度粒子的運動狀態用波函數 來描述，時刻 時波在空間一點 的強度 正比于該時刻粒子在該點 出現的幾率 表示(正比于)在 點處，體積元 中找到粒子的幾率Born 1926年提出了波函數的統計解釋 (1)描寫粒子的波可以認為是幾率波.粒子本身是 完整的,但運動沒有軌道,任一時刻粒子在空間各點都有出現的幾率;(2)波函數本身沒有物理意義,波的強度 有物理意義: 表示粒子在t時刻在空間各點出現的幾率分布.（1）歸一化條件在任意時刻在全

4、空間找到粒子的幾率應為1，即要求波函數滿足歸一化條件：若波函數不滿足歸一化條件,則將波函數乘以歸一化常數 ,波函數的歸一化解出2.1-3 波函數歸一化歸一化的波函數為:使得即 和 描述同一狀態歸一化的波函數為:則或若 波函數乘上一個常數N后，所描寫的粒子狀態不變，因為物理上有意義的是相對幾率分布歸一化后，在 時刻， 點， 體積元內粒子出現的幾率是（2）幾率和幾率密度在 時刻， 點附近單位體積元 內粒子出現的幾率密度幾率密度歸一化波函數三維空間注意：這樣歸一化后的平面波其模的平方仍不表示幾率密度，依然只是表示平面波所描寫的狀態在空間各點找到粒子的幾率相同。(3)平面波歸一化一維空間傅立葉變換2.

5、1-4 粒子動量取值的幾率分布逆變換一一對應,同一量子態的不同描述方式若 已歸一化，則 也是歸一化的和t時刻粒子出現在 附近 體積元內的幾率t時刻粒子出現在 附近 體積元內的幾率物理意義:動量取值的幾率分布2.1-5 坐標和動量的期望值（1）坐標期望值設 是歸一化波函數， 是粒子出現在x處dx線段元內的幾率，則坐標的期望值為：三維情況一維情況 是粒子動量在 點取值的幾率，動量 的期望值為：這里一維情況（2）動量期望值1.2.這里三維情況：（3）坐標算符動量算符的x分量一維情況三維情況（4）力學量算符 勢能，動能，哈密頓函數的算符表示例： 動能的期望值(一維情況)式中把該力學量對應的算符夾在 和

6、 之間,對全空間積分，即（5）任一力學量的期望值哈密頓函數（6）角動量算符三個分量期望值2.1-6 量子態；量子力學的第一條假設量子態：微觀體系的運動狀態。用波函數描述。量子力學的第一條假設微觀體系的運動狀態由相應的波函數完全地描述。波函數歸一化后，給出粒子在這個運動狀態下，在任一時刻坐標、動量以及其它所有力學量取值的幾率分布，用它們來統計性地完全確定這個運動狀態。S2開：狀態 強度分布|2|22.2 態疊加原理電子雙縫干涉示意圖S1開：狀態強度分布|1|21,2同時開：狀態, 強度分布|2PS1S2電子源感光屏一個電子有 和 兩種可能的狀態,則處于這兩種狀態的疊加而成的態實驗表明而是若 是微

7、觀體系的一系列可能的狀態，則這些態的線性疊加 也是體系的一個可能狀態。 處于 態的微觀體系，處于 態， 態.， . 等諸狀態各有一定的可能性。量子力學的態疊加原理2.3 Schrdinger 方程2.3-1 方程的引出； 量子力學的第二條假設2.3-2 幾率守恒和幾率流密度2.3-3 波函數的標準條件2.3-1 方程的引出； 量子力學的第二條假設類比經典情況量子情況1t=t0 時刻，已知初態是 ，所以波函數 所滿足的方程是 對時間的一階導數。2 滿足態疊加原理，故 若 和 是方程的解，那末, 也應是 該方程的解。這就要求方程應是線性的。3方程含普朗克常數4對時間一階微商的波動方程含虛數i5方程

8、不能包含狀態參量，如 , 等 故所以方程合理地寫成:能量量綱線性算符；能量量綱(1)自由粒子滿足的方程自由粒子波函數:將對坐標二次微商，有：上式對時間微商，得：同理有：？ No對自由粒子有 ，則上式右邊為零(1)-(2)式相加，有故和前面公式比較得如果能量關系式 寫成如下方程形式:作算符替換（見4式）即給出(3)式啟發：給出Schrdinger方程若粒子處于勢場 中運動，(2) 勢場 中的運動粒子作用波函數上其能量-動量關系為然后作算符替換 對于任一個非相對論性微觀體系，不論它是單粒子 體系還是多粒子體系，也不論它有無對應的經典體系，設它的哈密頓量為 ，則該體系的任一運動狀態的波函數 都滿足如

9、下所示的Schrdinger方程（3）量子力學第二條假設其中 對一個粒子而言，在全空間找到它的幾率總和應不隨時間改變，即幾率密度分布2.3-2 幾率守恒與幾率流密度（1）幾率流密度矢量總幾率守恒將 式得：考慮 Schrdinger 方程及共軛方程：對幾率密度分布對時間取微分注意:(7)令幾率流密度矢量（2）幾率密度分布隨時間演化方程粒子在空間某處出現的幾率不會憑空地增加或減少，必定通過幾率流的方式與空間其它位置進行幾率的相互傳遞。粒子幾率守恒的微分表達式(7)式可寫成粒子幾率守恒的積分表示式單位時間內通過 V 的封閉表面S流入區域內的幾率閉區域 V上找到粒子的總幾率在單位時間內的增量SV（3）

10、幾率守恒的積分表達式在空間閉區域V中將上式積分，則有令 V 趨于，積分對全空間進行。考慮粒子在有限空間內運動，波函數在無窮遠處為零，則公式右邊面積分趨于零于是或說明:粒子在全空間出現的總幾率是守恒的。有限空間內運動，波函數為平方可積的滿足三個條件有限性、單值性、連續性波函數對空間坐標的一階微商連續2.3-3 波函數的標準條件束縛態:粒子受勢場束縛，波函數在空間無窮遠處值為零自由態:2.4 定態 Schrdinger 方程2.4-1 定態與定態薛定諤方程2.4-2 非定態由若干定態疊加而成若 與時間無關,故 與時間無關令2.4-1 定態和定態 Schrdinger 方程得分離變量法兩邊同除得上式

11、可化為兩個方程:于是E具有能量量綱，實數有此時體系能量有確定的值，這種狀態稱為定態，波函數 和 稱為定態波函數。定態和定態波函數定態薛定諤方程空間波函數 和能量E可由該方程和邊界條件得出能量本征值方程哈密頓算符下一步工作：給出所有容許的定態對于束縛定態: E不能任意取值,因為方程解需滿足有限、單值、連續三個條件每個能量(本征值)稱為能級，其解為對應的定態波函數(本征函數)能譜本征值譜；本征函數組若一個能級對應多個定態,則稱為該能級簡并定態的性質1.粒子在空間幾率密度分布與時間無關簡并度：一個能量E對應有d個獨立無關的波函數，稱為該能級d度簡并。2. 幾率流密度矢量與時間無關3.粒子動量的幾率密度分布與時間無關4. 任何不顯含t的力學量期望值與t無關2.4-2 非定態由若干定態疊加而成當 與時間無關,可以處于兩類狀態: 定態,非定態非定態：由若干個不同能量的定態疊加而成滿足代入有利用因為不同的 獨立無關，故體系的任意定態波函數線性疊加(疊加系數與時間無關)，描述這個體系的一個非定態。求體系t0時刻的非定態波