1、2.1 隨機變量及其分布一、隨機變量的概念二、離散型隨機變量三、連續型隨機變量四、隨機變量的分布函數隨機變量的概念 通過對隨機試驗的觀察和研究，可以發現有不少試驗結果是直接用數值形式表示的，如般子的點數、射擊命中次數、燈泡的壽命等;而另外有些試驗結果雖然沒有用數值表示,但也可將其與某確定的數字對應起來，如拋硬幣出現的“正面”或“反面”現象，可以分別計為“1和“0。在討論隨機試驗結果時，總可以用一個變量的取值來表示.這種用來表示隨機事件的變量，由于他的取值與某隨機事件對應，能否取到某值是隨機會而定的，我們稱之為隨機變量.隨機變量是研究隨機現象的一個重要工具，也是概率論的一個基本概念.隨機變量定義

2、2.1.1(隨機變量)：假如一個變量在數軸上的取值依賴于隨機現象的基本結果，則稱此變量為隨機變量，常用大寫字母X、Y、Z等表示,其取值用小寫x、y、z等表示.例1: 在擲一枚般子試驗中，試用隨機變量表示(1)“擲出點數恰好為1”;(2)“擲出點數為偶數”; (3)“擲出的點數不小于4”這些隨機事件.解：設X為擲出骰子的點數，易知X的一切可能取值為1, 2, 3, 4, 5和6(每次拋擲前不能預知究竟會出現幾點,故它取值具有隨機性),則X是一隨機變量.(1) X=1可表示“擲出點數恰好為1”的隨機事件.(2) X=2k, k=1,2,3可表示“擲出的點數為偶數”.(3) X4可表示“擲出的點數不

3、小于4.隨機變量舉例例2：試用隨機變量描述下列隨機事件:(l)拋硬幣恰好正而向上;(2)抽檢n (n2)個產品不合格品不超過2個;(3)某十字路口一分鐘內經過的車輛數目超過1輛;(4) 一臺電視機的使用壽命超過10000小時.解： (1)記硬幣正面朝上事件為X=1,正面朝下事件為X=0;則易知X為隨機變量;X=1即表示 “拋硬幣恰好正面向上”. (2)設抽檢出的不合格品數為Y，則Y的一切可取值為0,1,2, .,n，顯然Y是一個隨機變量;Y2即表示“不合格品不超過2個”事件. (3)設某十字路口一分鐘內經過的車輛數目為Z，則Z的一切可取值為: 1,2,.,n, .，顯然Z是一個隨機變量;Z 1

4、即表示“一分鐘內經過的車輛數目超過1輛”事件. (4)設一臺電視機的使用壽命為T小時，則T的一切可能取值為0,+)中的任意實數，顯然T是一個隨機變量; T 10000 即表示“該電視機的使用壽命超過10000小時”的隨機事件.5練習1(分析X、Y、Z、W等的取值情況)(1) 用X表示隨機抽驗的n件產品中不合格品的數，n個小學生中患近視眼癥的人數，n個企業中虧損企業的個數，定點投籃n次命中的次數，等等 (2) 用Y表示某工廠發生事故次數，新華商場某日售出的電視機臺數，一小時內通過某交通路口的汽車輛數,一小時內在某機場降落的飛機架次,等等 (3) 用Z表示自動機床連續無故障工作的時間，電視機顯象管

5、的壽命，某居民區的居民平均用水量等解：X、Y、Z都是隨機變量 (1) X可能取值是0,1,2,n (2) Y可能取值是0,1,2, (3) Z可能取值 0，+)內的任何一個實數6練習2從有2個一級品，3個二級品的產品中隨機取出3個產品，如果用X表示取出的產品中是一級品的數.求X的取值，并求相應的概率解：X可能取值是0,1,2. 用A1,A2表示2個一級品,B1, B2,B3表示3個二級品,從中取出3個產品的可能情況： B1B2B3 B1B2A1 B1B2A2 B1B3A1 B1B3A2 B2B3A1 B2B3A2 B1A1A2 B2A1A2 B3A1A2 即 X=0 = B1B2B3 X=1

6、= B1B2A1，B1B2A2，B1B3A1， B1B3A2，B2B3A1，B1B2A2 X=2 = B1A1A2，B2A1A2，B3A1A2 概率值：P(X=0)=1/10,P(X=1)= 6/10,P(X=2)=3/10。7隨機變量的分類按隨機變量的取值情況，可將其分為兩類:(1) 離散型隨機變量：只可能取有限個或無限可列個值。(2) 非離散型隨機變量：可能取任何實數，情況較復雜。而非離散型隨機變量中最常用的為連續型隨機變量（它的值域是一個或若干個區間）。今后我們主要研究離散型和連續型隨機變量。8離散型隨機變量的概率分布定義2.1.2：如果隨機變量X只能取有限個或可列個可能值,這些取值依次

7、記為x1, x2, xn ，且這些不同取值的概率是確定的,記pn=PX =xn (n=1,2,);則稱X為離散型隨機變量，而這組概率pn稱為隨機變量X的概率函數,又稱X的概率分布、分布律、分布列。 其中 X = x1, X = x2, , X = xn, 構成一完備事件組。因此概率函數具有如下性質:9概率分布表(分布列、分布律)為直觀起見，將隨機變量的可能取值及相應概率排列成概率分布表如下：Xx1x2xnPp1p2pn一般所說的離散型隨機變量的分布就是指它的概率函數或概率分布表.概率函數的兩個性質中的性質(2)經常在解題中構成解方程的一個條件.10例題與解答例1 一批產品的廢品率為5%, 從中

8、任意抽取一個進行檢驗, 用隨機變量X來描述廢品出現的情況. 并寫出X的分布.解 用X表示出現廢品的情況, 則它只能取0或1兩個值. “X=0”表示“產品為合格”, “ X=1 ”表示“產品為廢品”, 則概率分布表如下X01P0.950.05即PX =0=0.95, PX =1=0.05, 或可寫為： PX =k=0.05k0.951-k(k=0,1)11兩點分布兩點分布: 只有兩個可能取值的隨機變量X所服從的分布, 稱為兩點分布。其概率函數為： P(X=xk)=pk (k=1,2)。亦稱X服從兩點分布。 概率分布表為:Xx1x2Pp1p2xp1p2x1x2概率分布圖為：120-1分布0-1分布

9、: 只取0和1兩個值的隨機變量所服從的分布稱(參數為p的)為0-1分布. 其概率函數為： P(X =k)=pk(1-p)1-k (k=0,1) 概率分布表為:X01P1-pp概率分布圖為：x1-pp011服從0-1分布的隨機變量所描述的試驗稱伯努利試驗。(試驗結果兩狀態)13例題與解答例2 產品有一,二,三等品及廢品4種, 其一,二,三等品率和廢品率分別為60%, 10%, 20%, 10%, 任取一個產品檢驗其質量, 用隨機變量X 描述檢驗結果并畫出其概率函數圖.解 令“X=k與產品為k等品(k=1,2,3)相對應, “X=0與產品為廢品相對應. X是一個隨機變量, 它可以取0,1,2,3這

10、4個值. 依題意, P(X=0)=0.1P(X=1)=0.6 P(X=2)=0.1P(X=3)=0.2 則可列出概率分布表并畫出概率分布圖:14續上頁(概率分布表及概率分布圖)X0123P0.10.60.10.2x01230.11pX的分布律：X的概率分布圖：15例題與解答例3 用隨機變量描述擲一顆骰子的試驗情況解 令X表示擲一顆骰子出現的點數, 它可取1到6共6個自然數, 相應的概率都是1/6, 列成概率分布表和概率分布圖如下： (離散型均勻分布特例)X123456P1/61/61/61/61/61/661P0123456x16例題與解答例4 社會上定期發行某種獎券, 每券1元, 中獎率為p

11、, 某人每次購買1張獎券, 如果沒有中獎下次再繼續購買1張, 直到中獎為止. 求該人購買次數X的分布.解 “X =1”表示第一次購買的獎券中獎, 依題意： P(X =1)=p “X =2”表示購買兩次獎券, 但第一次未中獎, 其概率為1-p, 而第二次中獎, 其概率為p. 由于各期獎券中獎與否相互獨立, 所以：P(X =2)=(1-p)p;“X =i”表示購買i次, 前i-1次都未中獎, 而第i次中獎, 所以： P(X =i)=(1-p)i-1p 由此，得到X的概率函數為：P(X =i)=p(1-p)i-1(i=1,2,)17幾何分布上例中，隨機變量X的分布為 P(X =i)=p(1-p)i-

12、1(i=1,2,)這類分布稱幾何分布,此時也稱隨機變量服從幾何分布。這是因為：p(1-p)i-1恰是幾何級數18幾何分布描述的典型問題假定一個試驗成功的概率概率為p(0p5年、還是X5年零1分鐘、或是X5年？幾何中可以用點的“長度”、“面積”來度量線段長度、矩形面積嗎？不能！例：(打靶問題)假定靶板U上每一點被擊中的可能性相同，求打中區域A內的概率和打中點B的概率？ UA. B區域A是有無數點組成的，能否用點的概率來度量事件A的概率？不能！21連續型隨機變量與概率密度定義2.1.3：對于隨機變量X，若存在非負可積函數f(x)，(-x+)，使對任意實數a,b (ab)都有則稱X為連續型隨機變量，

13、 f(x)為X的概率密度函數，簡稱概率密度或分布密度。簡記為X f(x)，(-x+)。對連續型隨機變量而言，概率的幾何意義是分布密度函數曲線下方的面積 。22注意由連續型隨機變量定義可知：對任何實數c，PX=c=0.即：連續型隨機變量取任何一個數值的概率都為零。在討論連續型隨機變量X在某區間上取值情況時，因區間端點的概率值總是零，故對連續型隨機變量不必區分取值區間的開與閉。即: PaXb=PaXb=PaX b=PaXb概率為零的事件不一定是“不可能事件”。23概率密度函數的兩個性質連續型的概率非負性和概率完備性表現為（1）非負性 ：f(x) 0，(- x +)；（2）歸一性：x0f(x)24例

14、題與解答例6 若X有概率密度試求f(x)和PcX d,其中c,da,b。解 25均勻分布則稱X在a, b上服從均勻分布;記作 XU(a, b) 。aX2,PXa2+2|Xa2 (a任意實數)。解：由概率密度性質2，有28續上頁因為事件Xa2+2事件Xa2 ，所以PXa2+2，Xa2 = PXa2+2 。因此，29練習3設連續型隨機變量X的密度函數為f(x)=(1)確定系數k,(2)求概率P(X1),(3)求概率P(-11)=e1 P(-1X2) =+=1-e2 30分布函數定義 2.5：若X是任意一個隨機變量(可以是離散型的, 也可以是非離散型的), 對任何實數x,稱函數 F(x)=P(Xx)

15、, -x 是隨機變量X的分布函數。分布函數F(x)是在區間(- , x內的“累積概率”，不要與單點概率混淆。分布函數是概率論中重要研究工具,可用于描述包括離散型和連續型在內的一切類型隨機變量。 易知，對任意實數a, b (ab), PaX bPX bPX a F(b)F(a)即已知X的分布函數F(x), 就能知道X在任何一個區間上取值的概率, 從這個意義上說, 分布函數完整地描述了隨機變量的變化情況。31例1中的分布函數在例1中X的概率分布如下表所示:X01P0.950.05其分布函數為：32例3(擲骰子)的分布函數F(x)0123456x概率分布圖0123456x1F(x)分布函數圖330-

16、1分布的分布函數及圖x1-pp011概率分布圖x1-p011F(x)分布函數圖34均勻分布的分布函數圖均勻分布密度函數為0abxf(x)35均勻分布的分布函數圖(續)當xa時0abxf(x)x36均勻分布的分布函數圖(續)當axb時0abxf(x)x38均勻分布的分布函數圖(續)綜上所述, 最后得分布函數為0abxF(x)1注：連續型隨機變量的分布函數是連續的,圖形為連續曲線；離散型隨機變量分布函數的圖形一般為階梯曲線。39分布函數F(x)性質注：具有這樣四個性質的實函數，必是某個隨機變量的分布函數。 故該四個性質是分布函數的充分必要性質。40分布函數與概率函數(離散型)關系這是因為在一般的公

17、式中, 要考慮x1,x2,并非按從小到大的次序排列的可能性.若分布函數為F(x),則概率函數為 pk=P(X=xk)=F(xk)-F(xk-0) (k=1,2,3,)41分布函數與分布密度(連續型)關系對任意實數b，若X f(x)，(-x )，則PX=b0。于是若x是f(x)的連續點，則若X f(x)，(-x ) ，則42例題與解答例9：設X的分布函數為求f(x)。解：43例題與解答例10:設隨機變量X的概率密度為求1) X分布函數F(x),2)P0.5 X1.5)。解:1) 44續上頁所以，分布函數為：45續上頁2) P0.5 X1.5)=P0.5X1.5 =F(1.5)-F(0.5)=7/8 1/8 =6/8=3/446例題與解答例11：設隨機變量X只能取一個值c，即 PX=c=1 (此時，稱X服從“退化分布”) 求X的分布函數。解：由分布函數與概率函