1、試卷第 =page 2 2頁，共 =sectionpages 4 4頁第 Page * MergeFormat 18 頁 共 NUMPAGES * MergeFormat 18 頁2020-2021學年四川省涼山彝族自治州西昌市高二下學期期中數學（理）試題一、單選題1給出下列命題：（1）概率為1的事件為必然事件；（2）因為拋擲一枚質地均勻硬幣正面向上概率為，所以拋擲相同硬幣10次一定有5次正面向上；（3）事件A與事件B中至少有一個發生的概率一定比A與B中恰有一個發生的概率大；（4）將空間中所有單位向量起點都平移到同一點O，則這些單位向量終點位于半徑為1的球面上其中假命題的個數是（）A4個B3個

2、C2個D1個【答案】B【分析】對四個說法一一判斷：對于（1）：幾何概型中，舉一個反例：在0和5之間隨機取一個實數,這個數不等于3.5概率是1，否定結論；對于（2）：利用概率的意義直接判斷；對于（3）：舉反例事件A,B互斥，否定結論；對于（4）：利用單位向量的定義及球的定義即可判斷.【詳解】對于（1）：幾何概型中，這種說法不成立.舉一個反例：在0和5之間隨機取一個實數,這個數不等于3.5概率是1,但不是必然事件.在這里,把無限接近1視為1,把無限接近0視為0.但1不等于必然,0不等于不可能.故（1）錯誤；對于（2）：拋擲一枚質地均勻硬幣正面向上概率為，概率的意義為：“拋擲一枚質地均勻硬幣正面向上

3、的可能性為，不能肯定的說拋擲相同硬幣10次一定有5次正面向上.故（2）錯誤；對于（3）：若事件A,B互斥，則事件A與事件B中至少有一個發生的概率和A與B中恰有一個發生的概率相同.故（3）錯誤；對于（4）：將空間中所有單位向量起點都平移到同一點O，則這些單位向量終點位于半徑為1的球面上故（4）正確.故選：B2一個不透明袋子中裝有大小和質地完全相同的2個紅球和2個白球，從袋中不放回地依次隨機摸出2個球則下列事件中互斥而不對立的是（）A“第一次摸到紅球”與“第二次摸到紅球”B“至少摸到一次紅球”與“至少摸到一次白球”C“兩次都摸到紅球”與“兩次都摸到白球”D“兩次都摸到紅球”與“至少摸到一次白球”【

4、答案】C【分析】根據互斥事件和對立事件的定義判斷【詳解】A. “第一次摸到紅球”與“第二次摸到紅球”可以同時發生，不是互斥事件；B. “至少摸到一次紅球”與“至少摸到一次白球”可以同時發生（兩球一紅一白時）不是互斥事件；C. “兩次都摸到紅球”與“兩次都摸到白球”，不可以同時發生，但可以同時不發生，互斥但不對立；D. “兩次都摸到紅球”與“至少摸到一次白球”不可以同時發生，但一定有一個會發生，對立事件故選：C3對于任意空間向量，下列說法正確的是（）A若且，則BC若，且，則D【答案】B【分析】根據空間向量共線的定義判斷A，由數量積的運算律判斷BCD【詳解】若，則由且，不能得出，A錯；由數量積對向

5、量加法的分配律知B正確；若，則，當時就成立，不一定有，C錯；是與平行的向量，是與平行的向量，它們一般不相等，D錯故選：B4已知，則滿足概率是（）ABCD【答案】A【分析】先由求出的范圍，再根據幾何概型的概率公式求解即可【詳解】因為，所以，解得或，因為，所以或，所以滿足概率為，故選：A5設直線m，n方向向量分別記作，表示兩個平面，若，則“”是“”（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既非充分也不必要條件【答案】B【分析】根據充分條件和必要條件的定義結合線面垂直的判定可得結論【詳解】當，時，直線與平面平行，所以當時，不成立，當時，因為，所以，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B6已知

6、平面ABCD外任意一點O滿足，則取值是（）ABCD【答案】A【分析】利用向量共面定理列方程直接求得.【詳解】由向量共面定理可知：，解得：.故選：A7如圖在三棱錐PABC中，點G是ABC的重心，點E為線段PA中點，設，則（）ABCD【答案】A【分析】由空間向量的線性運算求解【詳解】G是ABC的重心，則，所以，所以，故選：A8不定項選擇題是高中物理選擇題中必考題型之一，正確答案為A、B、C、D四個選項中的一個或多個，假設某考生對A、B、C、D選項正確與否完全不知道，則該考生猜對答案概率是（）ABCD【答案】C【分析】由列舉法結合古典概型概率公式求解即可.【詳解】所有的情況如下：，共15種，則該考生

7、猜對答案概率是.故選：C9已知，求的值是（）ABC1D1【答案】D【分析】在二項展開式中分別令和，可得展開式中奇數項系數和與偶數項系數和的和與差，然后由因式分解思想求值【詳解】在中，令得，令得，故選：D10在棱長為2的正方體內隨機取一點P，則點P到各頂點之距離均不小于1的概率是（）ABCD【答案】B【分析】先以正方體各頂點為球心，作半徑為1的球，可得球區域內的點存在到某個頂點的距離小于等于1，從而可求出點到正方體八個頂點的距離都不小于1的所在區域的體積，然后利用幾何概型的概率公式求解即可【詳解】由題意得，正方體的體積為，以正方體各頂點為球心，作半徑為1的球，則球區域內的點存在到某個頂點的距離小

8、于等于1，點到正方體八個頂點的距離都不小于1的所在區域為，所以點P到各頂點之距離均不小于1的概率是，故選：B112021年3月19日西昌市發布森林草原防滅火橙色預警，某校派遣3位行政領導和6位普通教師到安哈鎮3個不同執勤點執勤要求：每個執勤點需要1名行政領導帶領2名普通教師參與執勤，則共多少種不同的分配方案？（）A90B540C1620D3240【答案】B【分析】先分配領導，再分配教師，最后總計，即可得到答案.【詳解】利用兩個基本原理：先分配領導有：種；再分配教師有：種，所以一共有：種.故選：B12在區間內隨機取兩個實數x，y，則滿足條件的概率是（）ABCD【答案】D【分析】將化簡，作出其表示

9、的平面區域，再求出符合題意要求的區域面積，根據幾何概型的概率公式，求得答案.【詳解】即 ，作出不等式組表示的平面區域如圖示：圖中陰影部分為在區間內隨機取兩個實數x，y，則滿足條件的區域，面積為 ，正方形的面積為 ，故所求概率為： ，故選：D二、填空題13展開式中系數是_（用數字作答）【答案】56【分析】寫出二項展開式通項公式，確定所在項數，可得其系數【詳解】展開式通項公式為，令，所以所求系數為故答案為：14中國古代幾何中的勾股容圓，是闡述直角三角形中內切圓問題此類問題最早見于九章算術“勾股”章，該章第16題為：“今有勾八步，股十五步，間勾中容圓，徑幾何？”意思是“直角三角形的兩條直角邊分別為8

10、和15，則其內切圓直徑是多少？”若向上述直角三角形內隨機拋擲140顆米粒(大小忽略不計，取)，落在三角形內切圓內的米粒數大約是_【答案】63【分析】由題意畫出圖形，利用等面積法求出三角形內切圓的半徑，再由與面積相關的幾何概型即可計算【詳解】如圖，設，可得，設其內切圓的半徑為，則由等面積法，可得，解得，則其內切圓的直徑為6；現若向此三角形內隨機投一粒豆子，則豆子落在其內切圓內的概率是，則14063.故答案為：63.15如圖，在平行六面體中，ABAD2，點E是AB中點，則異面直線與DE所成角余弦值是_【答案】【分析】以為空間向量的一組基底，用基底表示向量，根據向量間的夾角公式計算即可求解.【詳解】

11、由題意，ABAD2，且, ，又,設異面直線與DE所成角為，則.故答案為：16用一個平面去截棱長為2的正方體所得截面形狀為正六邊形時，正方體各個頂點到平面的距離是_【答案】或【分析】先作出六邊形EFGHMN，再用等體積法分別求出各個頂點到面EFGHMN的距離.【詳解】如圖示，取正方體各邊中點E、F、G、H、M、N，依次連結，下面證明六邊形EFGHMN為正六邊形.由EF/AC,MH/A1C1,而AC/A1C1,可得EF/MH,且.同理可證：FG/MN,NE/GH,且.所以六邊形EFGHMN為正六邊形.設A到面EFGHMN的距離為d，則A到面EFN的距離為d，利用等體積法可得：,所以，解得：.即A到

12、面EFGHMN的距離為.同理可求：B、C、A1、C1、D1到面EFGHMN的距離均為.設D到面EFGHMN的距離為h，則D到面EFN的距離為h，利用等體積法可得：,所以，解得：.即D到面EFGHMN的距離為.同理可求：B1到面EFGHMN的距離均為.故答案為：或三、解答題17某校準備施行“禁止智能手機進校園”有關規定，為進一步了解同學們對此項規定的支持程度，學校在全校隨機抽取了130名同學進行調查，其中男生比女生多10人，表示反對規定的30人中有10人是女生(1)完成下列表格，并判斷是否有99%的把握認為“規定是否被支持與性別有關”；支持規定反對規定合計男生女生10合計30130(2)從被調查

13、的“反對規定”的同學中，采取分層抽樣方法抽取6名同學，再從這6名同學中任意抽取2名，求抽取的2人中有女生的概率參考公式：.0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8425.0246.6357.87910.828【答案】(1)表格見解析，沒有99%的把握認為“規定是否被支持與性別有關”(2)【分析】（1）根據已知數據得出列聯表，然后計算可得結論；（2）把所抽取的6人（4男2女）編號，用列舉法寫出任取2人的所有基本事件，得出2人中有女生的基本事件，計數后可計算出概率【詳解】(1)列聯表如下：支持規定反對規定合計男生502070女生501060合計1

14、0030130，所以沒有99%的把握認為“規定是否被支持與性別有關”；(2)因為反對規定的男生有20人，女生有10人，所以抽取6人中男生4人，可記為a，b，c，d，女生2人，記為A、B，則從6人中抽取2名同學有ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB共15個結果，其中有女生的有aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB，共9個結果，則抽取2人中有女生的概率為.18如圖，在正四棱錐PABCD中，側棱長為，底面邊長為2點E，F分別CD，BC中點求證：(1)PAEF；(2)平面PAB平面PCD【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】建

15、立如圖的空間直角坐標系，（1）由兩直線的方向向量的數量積為0證明線線垂直；（2）由兩平面的法向量的數量積為0可得證面面垂直【詳解】(1)連接AC，BD交于點O，連接PO，由正四棱錐性質OA，OB，OP兩兩互相垂直，以OA，OB，OP分別為x，y，z軸建系如圖易得，即PAEF；(2)設平面PAB，平面PCD法向量分別為，取，則，取，則，平面PAB平面PCD.19在森林草原防滅火工作中，包括甲，乙在內6名教師被分配到A，B，C，D，E五個不同的執勤點參與執勤，每個執勤點至少要有一名教師求：(1)甲、乙兩名教師同時在A執勤點執勤的概率；(2)甲、乙兩名教師不在同一執勤點執勤的概率【答案】(1)(2)

16、【分析】先利用排列組合求出基本事件，再利用古典概型的概率公式分別求（1），（2）的概率.【詳解】(1)記“甲、乙兩名教師同時在A路口執勤”為事件，“甲、乙兩名教師不在同一路口執勤”為事件6名教師分配到5個不同路口執勤共個基本事件.事件發生包含個基本事件，由古典概型；(2)事件發生包含個基本事件，由古典概型，.20如圖，在直三棱柱中，BAC90，點M，N，P，Q分別是AB，中點，點R是中點，證明：(1)PQ平面ABC；(2)求PR與平面所成角的余弦值【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由題意可得兩兩垂直，所以以為原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，則由空間向量證明即可，（2）求出

17、平面的法向量，利用空間向量求解即可【詳解】(1)由題意可得兩兩垂直，所以以為原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，因為，是的中點，所以，因為點N，P，Q分別是，中點，點R是中點，所以，.所以，平面ABC一個法向量為，所以，因為平面ABC，所以PQ平面ABC；(2)設平面法向量為，PR與平面線面角為，則，令，則，所以，.所以PR與平面所成角的余弦值為21已知關于x的方程，記“該方程有兩個不等的正實根”為事件A(1)設拋擲兩枚質地均勻的正方體骰子向上的點數分別為a、b，求事件A發生的概率；(2)對于隨機數x、y，且x、，若a2x1，求事件A發生的概率【答案】(1)(2)【分析】（1

18、）根據二次方程兩個正跟列式，找出所有的a、b組合即可；（2）將三個式子中的a、b全部轉化為 的取值范圍，并借助幾何概型，面積之比等于概率即可求解.【詳解】(1)關于x的一元二次方程有兩個不等的正實根，則有 ,拋擲兩枚質地均勻的正方體骰子向上的點數分別為a、b，則總的基本事件個數為36個，事件A有：b4，a3，4，5，6;b5，a3，4，5，6;b6，a4，5，6;以上共計共11個基本事件，.(2)對于兩個隨機數x、y，且x、，a2x1，所以事件A構成的區域如圖中的陰影部分區域如圖所示：陰影部分區域的面積為，因此，.22如圖，在平行四邊形ABCD中，BC2，四邊形ACEF為矩形，平面ACEF平面ABCD，AF1求證：(1)平面ABF平面CDE；(2)點P為線段EF上動點，且，是否存在實數，使得平面PBC與平面CDE所成銳二面角余弦值為，若存在求出實數的值，若不存在請說明理由【答案】(1)證明見解析(2)存在，【分析】（1）根據面面垂直的性質證明AF平面ABCD，利用勾股定理證得ABAC，以A為坐標原點，建系，利用向量法即可得證；（2）分別求出