1、 金融經(jīng)濟學(xué)套利定價理論（APT）本章主要內(nèi)容：單因子模型多因子模型套利機會套利定價理論（APT）APT與CAPM的區(qū)別和聯(lián)系A(chǔ)PT對資產(chǎn)組合的指導(dǎo)意義套利定價理論（APT）的提出：關(guān)于Markowitz的均值方差模型和Sharpe及Lintner的CAPM是一種理論上完美的模型。均值-方差分析給出了如何得到投資者的最優(yōu)投資組合，建立在其基礎(chǔ)上的CAPM，解釋了為什么不同的證券會有不同的回報率。但假設(shè)條件太多、太嚴(yán)格。要求知道：回報率均值向量回報率方差-協(xié)方差矩陣無風(fēng)險利率估計量和計算量隨著證券種類的增加以指數(shù)級增加Stephen Ross在1976年建立的套利定價理論（Arbitrage p

2、ricing theory，APT），從另一個角度探討了資產(chǎn)的定價問題。用多個因素來解釋風(fēng)險資產(chǎn)收益，并根據(jù)無套利原則，得到風(fēng)險資產(chǎn)均衡收益與多個因素之間存在（近似的）線性關(guān)系這一結(jié)論。該理論可以分為兩個部分：因素模型（factor models）；和無套利均衡（no arbitrage equilibrium）。大大簡化了CAPM的假設(shè)，并易于計算和實證。1. 單因子模型因子模型 （Factor model）定義：因子模型是一種假設(shè)證券的回報率只與不同的因子或者指標(biāo)的運動有關(guān)的經(jīng)濟模型。因子模型是APT的基礎(chǔ)，其目的是找出這些因素并確認(rèn)證券收益率對這些因素變動的敏感度。依據(jù)因子的數(shù)量，可以分

3、為單因子模型和多因子模型。單因子模型：證券的回報率生成過程只取決于唯一的因子。則可以建立以這個唯一因子變化為自變量，以證券回報率為因變量的單因子模型。例如，GDP的預(yù)期增長率是影響證券回報率的主要因素。寫成方程的形式，證券A的回報率與GDP預(yù)期增長率之間的關(guān)系可以表示如下： (1) 這里： =A在 t 時的回報率, =GDP在 t 時的預(yù)期增長率, =A在 t 時的回報率的特有部分, =A對GDP的預(yù)期增長率的敏感度, =有關(guān)GDP的零因子。因子模型回歸年份GDP增長率（%）股票A收益率（%）15.7 14.326.4 19.23 8.923.44 8.015.65 5.1 9.26 2.91

4、3.0 4%圖中，橫軸表示GDP的增長率，縱軸表示股票A的回報率。圖上的每一點表示：在給定的年份，股票A的回報率與GDP增長率。通過線性回歸，我們得到一條符合這些點的直線為：從這個例子可以看出，股票A在任何一期的回報率包含了三種成份：1.在任何一期都相同的部分a；2.依賴于GDP的預(yù)期增長率，每一期都不相同的部分 ；3.屬于特定一期的特殊部分et 。通過分析上面這個例子，可歸納出單因子模型的一般形式：對時間t 的任何證券i 有時間序列其中：ft是t時期公共因子的預(yù)測值；rit在時期t證券i的回報；eit在時期t證券i的特有回報ai零因子bi證券i對公共因子f的敏感度(sensitivity),

5、或因子載荷（factor loading）（2）為簡單計，只考慮在某個特定的時間的因子模型，從而省掉角標(biāo)t，從而（1）式變?yōu)椴⑶壹僭O(shè)（3）假設(shè)(1)：因子f具體取什么值對隨機項沒有影響，即因子f與隨機項是獨立的，這樣保證了因子f是回報率的唯一因素。假設(shè)(2)：一種證券的隨機項對其余任何證券的隨機項沒有影響，換言之，兩種證券之所以相關(guān)，是由于它們具有共同因子f所致。如果上述假設(shè)不成立，則單因子模型不準(zhǔn)確，應(yīng)該考慮增加因子或者其他措施。對于證券i，由（3）其回報率的均值（期望值）為 其回報率的方差因子風(fēng)險非因子風(fēng)險對于證券i和j而言，它們之間的協(xié)方差為（4）單因子模型的優(yōu)點單因子模型能夠大大簡化我

6、們在均值-方差分析中的估計量和計算量。假定需要分析n種股票，則均值方差模型：n個期望收益，n個方差， (n2-n)/2個協(xié)方差單因子模型：n個期望收益，n個bi，n個殘差 ，一個因子f方差 ，共3n1個估計值。若n50，前者為1325，后者為151。風(fēng)險的分散化分散化導(dǎo)致因子風(fēng)險的平均化分散化縮小非因子風(fēng)險假設(shè)殘差有界，即 且組合p高度分散化，即wi充分小，則對于資產(chǎn)i成立則有從而推論：CAPM模型為證券回報僅僅與市場因子回報有關(guān)的單因子模型：其中： =在給定的時間t，證券i 的回報率 =在同一時間區(qū)間，市場因子m的相對數(shù) =截距項 =證券i對因素m的敏感度 =隨機誤差項，單因素模型的簡化是有

7、成本的，它僅僅將資產(chǎn)的不確定性簡單地認(rèn)為僅僅與一個因子相關(guān)，如市場因素。實證證據(jù)發(fā)現(xiàn)在現(xiàn)實中存在市場因素以外的其他因素引起股票價格的共同移動。例如：GDP的增長率，利率水平，通貨膨脹，石油價格水平等。單因素模型難以把握公司對不同的宏觀經(jīng)濟因素的反應(yīng)。因此應(yīng)該考慮多因子模型，將比單因子模型更準(zhǔn)確。2. 多因子模型兩因子模型若只考慮一期的模型，則可以省略表示時間的下標(biāo)，從而兩因子模型方程為在兩因子模型下，對于證券i ，其回報率的均值 其回報率的方差對于證券i和j，其協(xié)方差為證券i對因子1的敏感度兩因子模型同樣具有單因子模型的重要優(yōu)點：有關(guān)資產(chǎn)組合有效邊界的估計和計算量大大減少（但比單因子增加），若

8、要計算均方有效邊界，需要n個期望收益，n個bi1， n個bi2， n個殘差，2個因子f方差，1個因子間的協(xié)方差，共4n3個估計值。分散化導(dǎo)致因子風(fēng)險的平均化。分散化縮小非因子風(fēng)險。多因子模型對于n種證券相關(guān)的m（mn)個因子，證券i的收益可以表示為3. 套利機會 定義：套利（Arbitrage）是同時持有一種或者多種資產(chǎn)的多頭或空頭，從而存在不承擔(dān)風(fēng)險的情況下鎖定一個高于無風(fēng)險利率的收益。不花錢就能掙到錢，即免費的午餐！兩種套利方法：當(dāng)前時刻凈支出為0，將來獲得正收益（收益凈現(xiàn)值為正）當(dāng)前時刻一系列能帶來正收益的投資，將來的凈支出為零（支出的凈現(xiàn)值為0）。套利不僅僅局限于同一種資產(chǎn)（組合），對

9、于整個資本市場，還應(yīng)該包括那些“相似”資產(chǎn)（組合）構(gòu)成的近似套利機會。無套利原則（Non-arbitrage principle)：根據(jù)一價定律（the law of one price），兩種具有相同風(fēng)險的資產(chǎn)（組合）不能以不同的期望收益率出售。套利行為將導(dǎo)致一個價格調(diào)整過程，最終使同一種資產(chǎn)的價格趨于相等，套利機會消失！任何一個均衡的市場，都不會存在這兩種套利機會。如果存在這樣的套利機會，人人都會利用，從而與市場均衡矛盾。所以我們假設(shè)市場上不存在任何套利機會。套利活動是證券市場有效的一個關(guān)鍵原因。每個投資者都會充分利用套利機會。只需要少數(shù)投資者的套利活動就能消除套利機會。APT的基本原理：

10、 由無套利原則，在因子模型下，具有相同因子敏感性的資產(chǎn)（組合）應(yīng)提供相同的期望收益率。4. 套利定價理論（APT）基本假設(shè)：市場是有效的、完全競爭的、無摩擦的（Perfectly competitive and frictionless capital markets）；投資者是不知足的：只要有套利機會就會不斷套利，直到無利可圖為止；因此，不必對投資者風(fēng)險偏好作假設(shè)。資產(chǎn)的回報可以用如下的因子模型表示；市場中的證券的種類遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于因子的數(shù)目。 這里， =證券 i 的隨機回報率， =證券 i 對第 j 個因子的敏感度， =均值為零的第 j 個因子， =證券 i 的隨機項。因子模型說明，所有具有等因

11、子敏感度的證券或證券組合，除去非因子風(fēng)險外，其行為是一致的。因此，所有具有等因子敏感度的證券或者證券組合的期望回報率是一樣的。 否則就存在第二類套利機會，投資者就會利用它們，直到消除這些套利機會為止。 這就是APT的實質(zhì)。構(gòu)建套利組合（Arbitrage portfolio）零投資：套利組合中對一種證券的購買所需要的資金可以由賣出別的證券來提供，即自融資（Self-financing）組合。無風(fēng)險：在因子模型條件下，因子波動導(dǎo)致風(fēng)險，因此，無風(fēng)險就是套利組合對任何因子的敏感度為0。正收益：套利組合的期望收益大于零。用數(shù)學(xué)表示就是（I）（II）（III）例子（單因子模型） ：假如市場上存在三種股

12、票，每個投資者都認(rèn)為它們滿足因子模型，且具有以下的期望回報率和敏感度： i 股票115%0.9股票221%3.0股票312%1.8假設(shè)某投資者計劃投資在每種股票上的財富為4000元，投資者現(xiàn)在總的投資財富為12000元。首先，我們看看這個證券市場是否存在套利證券組合。 顯然，一個套利證券組合 是下面三個方程的解：初始成本為零：對因子的敏感度為零： 期望回報率為正：滿足這三個條件的解有無窮多個。例如， =(0.1, 0.075, 0.175)就是一個套利證券組合。這時候，投資者如何調(diào)整自己的初始財富12000元？在上面的例子，因為(0.1,0.075,0.175)是一個套利證券組合，所以，每個投

13、資者都會利用它。從而，每個投資者都會購買證券1和2，而賣空證券3。由于每個投資者都采用這樣的策略，必將影響證券的價格，相應(yīng)地，也將影響證券的回報率。特別地，由于購買壓力的增加，證券1和2的價格將上升，而這又導(dǎo)致證券1和2的回報率下降。相反，由于銷售壓力的增加，證券3的價格將下降，這又使得證券3的回報率上升。這種價格和回報率的調(diào)整過程一直持續(xù)到所有的套利機會消失為止。此時，證券市場處于一個均衡狀態(tài)。在這時的證券市場里，不需要成本、沒有因子風(fēng)險的證券組合，其期望回報率必為零。無套利時，三種證券的期望回報率 和因子敏感度 滿足：對任意組合 ，如果則必有 （5） 根據(jù)Farkas引理，必存在常數(shù) 和

14、，使得下面的式子成立：刻畫均衡狀態(tài)的常數(shù)一組可能值為 =8%， =4%。這將導(dǎo)致證券1、2、3的均衡回報率為11.6%, 20.0%, 15.2%。下圖說明了套利定價關(guān)系(5)。在均衡時，所有的證券都落在套利定價線上。常數(shù) 的一個自然解釋是，它表示均衡時因子的風(fēng)險酬金。而 表示無風(fēng)險利率。一般情形：選擇證券組合 ，使其成本為0，回報率為：命題 ：假設(shè)n種資產(chǎn)其收益率由m個因子決定（mn），即其中，i=1,2,n ，j=1,2,m，則嚴(yán)格證明（無殘差項）證明：假設(shè)在資產(chǎn)i上投資wi，構(gòu)造零投資且無風(fēng)險的組合，即wi滿足下列條件零投資無風(fēng)險（7）（6）假定1、bj（j=1,2,m)線性無關(guān)。如果市

15、場有效，則不會有套利均衡，即零投資、無風(fēng)險的組合必然是無收益的，從而只要（6）和（7）成立，則蘊含：這等價于，只要對于任意的W，必然有又由于非零向量1,b1,b2,bm線性無關(guān)，則 必定落在由1,b1,b2,bm張成的向量空間Rm+1中，也就是存在一組不全為零的數(shù) 使得證畢。理解： 必須落在Rm+1空間中，才能必然成立 1和bj是該空間的一組基abC在向量空間中，如果向量a、b正交于c，蘊含著d正交與c，則d必須落在由a和b張成的二維空間上，d可以由a、b線性表示！0示意圖：向量空間證券市場無套利時，證券的期望回報率和因子敏感度滿足下列性質(zhì)：對任何向量 ，如果它既垂直于單位常向量，又垂直于每個

16、因子敏感度向量，則它一定垂直于期望回報率向量，由Farkas引理，期望回報率向量一定可以表示成單位常向量和因子敏感度向量的線性組合，即，存在 k+1個常數(shù)，使得 APT的意義若bij0，則上式退化為無風(fēng)險資產(chǎn)，則意味著若bij0，則期望回報 隨著 的增加而增大，所以 是因子 的風(fēng)險價格。自變量結(jié)論：當(dāng)所有證券關(guān)于因子的風(fēng)險價格相等時，則證券之間不存在套利。APT的意義若給定等投資額的證券h多頭和證券l空頭，則形成套利組合。投資者為獲利必定盡可能地購入證券h，從而使其價格上升，預(yù)期收益率下降，最終到達(dá)APT定價線。在均衡時，所有的證券都落在套利定價線上，只要證券偏離APT定價線就會有套利機會。A

17、PT定價線APT的另一種表達(dá)則稱該組合p為純因子組合(類似于CAPM的市場組合)在兩因子模型下，我們有即第1因子的風(fēng)險價格第2因子的風(fēng)險價格這樣可將APT的表達(dá)式可以改寫為在多因子模型下證券的期望收益率等于無風(fēng)險收益率，加上j個因素的風(fēng)險補償（風(fēng)險價格風(fēng)險因子載荷）；資產(chǎn)對風(fēng)險因子的敏感度（因子載荷）越大，則其應(yīng)得到的風(fēng)險補償越大。5. APT與CAPM的區(qū)別和聯(lián)系A(chǔ)PT與CAPM的一致性若只有一個風(fēng)險因子，且純因子組合是市場組合，則當(dāng)APT與CAPM均成立時有若純因子組合不是市場組合，則APT與CAPM不一定一致，CAPM僅僅是APT的特例。當(dāng)且僅當(dāng)純因子組合是市場組合時，CAPM與APT等

18、價。在CAPM中，市場組合居于不可或缺的地位（若無此，則其理論瓦解），但APT即使在沒有市場組合條件下仍成立。APT模型可以得到與CAPM類似的期望回報-b直線關(guān)系，但并不要求組合一定是市場組合，可以是任何風(fēng)險分散良好的組合CAPM與APT的區(qū)別注意二者并不一致由于市場組合在實際中是無法得到的，因此，在實際應(yīng)用中，只要指數(shù)基金等組合，其即可滿足APT。所以APT的適用性更強！CAPM屬于單一時期模型，但APT并不受到單一時期的限制。APT的推導(dǎo)以無套利為核心，CAPM則以均值方差模型為核心，隱含投資者風(fēng)險厭惡的假設(shè)，但APT無此假設(shè)。在CAPM中，證券的風(fēng)險只與市場組合的相關(guān)，它只給出了市場風(fēng)險大小，而沒有表明風(fēng)險來自何處。APT承認(rèn)有多種因素影響證券價格，從而擴大了資產(chǎn)