1、7.1 離散系統的基本概念7.2 采樣過程和采樣定理7.3 信號恢復與信號保持7.4 Z變換理論7.5 線性離散系統的脈沖傳遞函數7.6 線性離散系統的穩定性與穩態誤差7.7 動態響應與閉環零極點分布的關系第七章 線性離散系統7.1 離散系統的基本概念1.定義：當控制系統存在定義在離散時間上的信號時，稱為離散系統。2.特點：數字校正比模擬校正效果好，控制規律靈活易于改變有效一直噪聲，抗干擾能力強一臺計算機可分時控制若干系統，設備利用率高7.1 離散系統的基本概念3.采樣開關的工作方式等周期采樣多階采樣多速采樣隨機采樣7.2 采樣過程和采樣定理一、采樣過程 采樣過程相當于一個脈沖調制過程。7.2

2、 采樣過程和采樣定理二、采樣定理 如果采樣器的輸入信號e(t)具有有限帶寬，其最后頻率為m ,則只要采樣周期T滿足： 信號e(t)就可以完整地從采樣信號e*(t)中恢復過來。 即采樣頻率7.2 采樣過程和采樣定理三、采樣周期的選擇1.經驗數據7.2 采樣過程和采樣定理三、采樣周期的選擇2.計算公式： 頻域： 時域：7.3 信號恢復與信號保持一、理想的信號恢復：將e*(t)送入理想濾波器中二、零階保持器：采用恒值外推規律。7.3 信號恢復與信號保持二、零階保持器7.3 信號恢復與信號保持三、一階保持器：線性外推7.3 信號恢復與信號保持三、一階保持器7.4 Z變換理論一、 Z變換的定義 連續函數

3、f(t)的拉氏變換： f(t)的采樣信號為： 其拉氏變換： 令 得：二、 Z變換的求法1、級數求和法：逐項進行Z變換2、部分分式法：和拉氏變換對應3、留數計算法：1、級數求和法設連續函數為 ，對應離散函數 :逐項拉氏變換:即： 這就是離散時間函數 進行 變換的級數表達式。2、部分分式法設連續函數為 ，對應拉氏變換為 。若是有理公式，且無重極點，則可將 寫成部分分式之和： 式中： 為 的極點數目； 為 的極點； 為常系數。只要求出 及 ，就可以按下式求出 所對應的 變換式 ，即綜上所述，已知 求 時，既可以按下面的虛線箭頭的步驟求取 ，又可以按實線箭頭的步驟求取 。 采樣z變換拉氏變換部分分式3

4、、留數計算法設連續函數 的拉氏變換式 及其全部極點 為已知，則可用留數計算法求其 變換。式中 為 在 時的 留數。當 具有一階極點 時，其留數 為當 具有 階重復極點 時，相應的留數為三、 Z變換的性質1.線性定理2.平移定理3.初值定理4.終值定理5.復數位移定理6.卷積定理1、線性定理設線性函數為則有上式表明， 變換是一種線性變換，其變換過程滿足齊次性與均勻性。2、平移定理 平移定理又叫做實數位移定理。其含義是指整個采樣序列在時間軸上左右平移若干個采樣周期，其中向左平移稱為超前，向右平移稱為滯后。平移定理如下所述。 如果函數 是可拉氏變換的，其 變換為 ，則有以及式中 為正整數3、初值定理

5、設函數 的 變換為 ，并且 存在，則有4、終值定理設函數 的 變換為 ，函數序列 為有限值 ，并且極限 存在，則函數序列的終值為：5、復數位移定理如果函數 是可拉氏變換的，對應的 變換為 ，則有 6、卷積和定理設存在式中， 為正整數當 為負數時， 則卷積和定理可以表示為式中四、 Z反變換在離散系統中應用 變換，是為了把 的超越方程或者描述離散系統的差分方程轉換為 的代數方程，然后寫出離散系統的脈沖傳遞函數，再用 反變換法求出離散系統的時間響應。 所謂 反變換，是已知 變換表達式 ，求相應離散序列 的過程。記為進行 變換時，信號序列仍是單邊的，即當 時,四、 Z反變換1.冪級數展開法2.部分分式

6、法3.留數計算法1、冪級數展開法按 變換定義將象函數 展開成 的無窮冪級數設函數 是 的有理函數，可表示為 的多項式之比利用長除法，所得商按 的升冪排列1、冪級數展開法如果所得到的無窮冪級數是收斂的，則按 變換定義可知，上式中的系數 就是采樣脈沖序列 的脈沖強度 。因此，根據上式可以直接寫出 的脈沖序列表達式 2、部分分式法 部分分式法又稱查表法，其基本思想是根據已知的 ,通過查 變換表找出相應的 ,或者 ；采用部分分式法可以求出離散函數的閉合形式，其方法與求拉普拉斯反變換的部分分式法相似。稍有不同的是，由于 在分子中通常含有 ，因此先將 除以 ，然后再展開為部分分式，最后將所得結果的每一項都

7、乘以 ，即得 的部分分式展開式。3、留數計算法由 變換的定義用 同乘上式兩端得由復變函數理論可知3、留數計算法 積分曲線 可以是包含 全部極點的任何封閉曲線， 表示函數 在極點 處的留數 對于一階極點 的留數為 對于 階重復極點 的留數為7.5 線性離散系統的脈沖傳遞函數一、脈沖傳遞函數的定義二、開環系統的脈沖傳遞函數三、閉環系統的脈沖傳遞函數一、脈沖傳遞函數的定義脈沖傳遞函數的定義 在零初始條件下，線性系統（或環節）輸出脈沖序列的 變換與輸入脈沖的 變換之比，稱為系統（或環節）的脈沖傳遞函數（或 傳遞函數），即 由上式可以求得采樣系統的離散輸出信號一、脈沖傳遞函數的定義 然而對大多數實際系統

8、來說，其輸出往往是連續信號 ，而不是采樣信號 。此時可以在系統輸出端虛設一個理想采樣開關，如圖中虛線所示，它與輸入采樣開關同步工作，并具有相同的采樣周期。7-10 兩種采樣系統框圖一、脈沖傳遞函數的定義 如果系統的實際輸出 比較平滑，且采樣頻率較高，則可用 近似描述 。必須指出，虛設的采樣開關實際上是不存在的，它只是表明了脈沖傳遞函數所能描述的，只是輸出連續函數 在采樣時刻上的離散值 。一、脈沖傳遞函數的定義 由線性連續系統的理論可知，當線性部分的輸入信號為單位脈沖信號 時，其輸出信號稱為單位脈沖響應以 表示。當輸入信號為如下的脈沖序列時根據疊加原理，輸出信號為一系列脈沖響應之和，即在 時刻，

9、輸出的脈沖值為一、脈沖傳遞函數的定義 系統的單位脈沖響應是從 時才開始出現的信號，當 時， 。因此，當 時，上式中的 上式中求和的上限可以擴展為 ，于是可得 根據卷積定理，可得上式的 變換為 由此可見，系統的脈沖傳遞函數即為系統的單位脈沖響應 經過采樣后的離散信號 的 變換，可表示為第七章 線性離散系統7.5.2 開環系統的脈沖傳遞函數 當開環離散系統由幾個環節串聯組成時，其脈沖傳遞函數的求法與連續系統的情況不完全相同。即使兩個開環離散系統的組成完全相同，但由于采樣開關的數目和位置不同，求出的開環脈沖傳遞函數也會截然不同。 因此對于開環系統的脈沖傳遞函數，應注意以下兩種不同的情況。第七章 線性

10、離散系統1、串聯環節之間有采樣開關 設開環離散系統如圖 所示，在兩個串聯連續環節 和 之間，有理想采樣開關隔離。根據脈沖傳遞函數定義，可得于是有因此，開環系統脈沖傳遞函數 （7-26） 上式表明，有理想開關隔開的兩個連續環節串聯的脈沖傳遞函數，等于這兩個環節各自的脈沖傳遞函數之積。第七章 線性離散系統2、串聯環節之間無采樣開關 設開環離散系統如圖 所示，在兩個串聯連續環節 和 之間，沒有理想采樣開關。顯然，系統連續信號的拉氏變換為式中， 為輸入采樣信號的拉氏變換，即把輸出 離散化，并根據采樣拉氏變換的性質第七章 線性離散系統 為采樣函數的拉氏變換。則有 （7-27） 式中一般來說對式 取 變換

11、，得到式中 定義為 和 乘積的 變換。第七章 線性離散系統 于是開環系統的脈沖傳遞函數為 （7-28） 上式表明，沒有理想采樣開關隔開的兩個線性環節串聯時的脈沖傳遞函數，等于這兩個環節傳遞函數乘積后的相應 變換。 對比式 和 可知， 變換不串聯性。第七章 線性離散系統7.5.3 閉環系統的脈沖傳遞函數 在連續系統中，閉環傳遞函數與相應的開環傳遞函數之間有著確定的關系，所以可以用一種典型的結構圖來描述一個閉環系統。 在離散系統中，由于采樣開關在系統中所設置的位置不同，結構形式就不一樣，所以沒有惟一的典型結構圖因而系統的閉環脈沖傳遞函數就沒有一般的計算公式，只能根據系統的具體結構來求取。第七章 線

12、性離散系統 一般地，閉環脈沖傳遞函數是閉環離散控制系統輸出信號的 變換與輸入信號的 變換之比，即第七章 線性離散系統7.6 線性離散系統的穩定性與穩態誤差7.6.1 離散系統的穩定條件 為了把連續系統在 平面上分析穩定性的結果移植到在平面上分析離散系統的穩定性，需先研究 平面與 平面的映射關系。 變量 到變量 的變換，即 （7-29）因為將上式代入式 得式中第七章 線性離散系統次要帶主要帶次要帶圖7-13 S平面、Z平面與W平面的映射關系第七章 線性離散系統7.6.2 離散系統的穩定性判據 連續系統的勞思穩定判據，是通過系統特征方程的系數及其符號來判別系統的穩定性的。但是，在離散系統中需要判斷

13、系統特征方程的根是否都在 平面上的單位圓內。因此，連續系統中的勞思判據不能直接套用，必須引入另一種 域到 域的線性變換，使 平面上單位圓，映射成 平面上的左半平面，這種新的坐標變換，稱為雙線性變換或 變換。第七章 線性離散系統 根據復變函數的雙線性變換方法，設則 （7-31）上式中 和 均為復變量。可以用下式表示 將以上兩式代入式 ，可得第七章 線性離散系統 對于 平面上的虛軸，實部 ，即 這就是 平面上以坐標原點為圓心的單位圓的方程。單位圓內 ，對應于 平面 負數的虛軸左半部單位圓外對應于 平面上實部 為正數的右半部。 平面上的單位圓和 平面上虛軸的映射圖形如7-13所示。 綜上所述，把 代

14、入閉環采樣系統的特征方程，進行 變換之后，即可應用勞思穩定判據。第七章 線性離散系統7.6.3 線性離散系統的穩定誤差 計算方法有兩種：一種方法是應用 變換終值定理來計算，所得到的穩定誤差是 那一點的穩定誤差值，它是一個數值，即穩態誤差的終值，故也稱為終值誤差；另一種方法是應用誤差脈沖傳遞函數獲得動態誤差系數，進而得到穩態誤差，它從 開始計時，誤差變量對于時間 的函數，它代表在 的穩態情況下，穩態誤差的變化過程，其中也包括不隨時間變化的恒值過程。第七章 線性離散系統 設離散控制系統結構如圖7-15所示，其中 為連續部分傳遞函數。圖7-15 單位反饋離散系統第七章 線性離散系統 由圖7-15系統

15、的結構可得，系統在輸入作用下的誤差脈沖傳遞函數為所以設系統穩定，即 的全部極點都在 平面的單位圓內。應用 變換的終值定理。可得終值誤差 （7-32） 中有 個 的極點的系統稱之為 型系統，即當 等于0、1、2時，對應的系統分別稱為0型、 型、 型系統。 也成為無差度。第七章 線性離散系統 圖7-15所示的不同型別的離散系統在三種典型輸入信號作用下的穩態誤差如下：1、單位階躍輸入時的穩態誤差 當系統輸入是單位階躍函數 時，其 變換函數所以，有式 知，穩態誤差為上式代表離散系統在采樣瞬間的終值位置誤差。式中 稱為靜態位置誤差系數。第七章 線性離散系統2、單位斜坡輸入時的穩態誤差 當系統輸入是單位斜

16、坡函數 時，其 變換函數所以系統穩態誤差為上式也是離散系統在采樣瞬間的終值位置誤差，可以仿照連續系統，稱之為速度誤差。式中 稱為靜態速度誤差系數。第七章 線性離散系統3、單位加速度輸入時的穩態誤差 當系統輸入為單位加速度函數 時，其 變換函數 ，因而穩態誤差為 當然，上式也是系統的終值位置誤差，并成為加速度誤差。其中 稱之為靜態加速度誤差系數第七章 線性離散系統 不同型別單位反饋離散系統的穩態誤差，如下表系統型別位置誤差速度誤差加速度誤差0型I型II型III型表7-4 單位反饋離散系統的穩態誤差第七章 線性離散系統7.7 動態響應與閉環零、極點分布的關系 設線性離散系統的閉環脈沖傳遞函數為式中

17、， 表示 的零點， 表示 的極點， 是常系數， 和 分別表示 的分子多項式和分母多項式。假定 無重極點。 第七章 線性離散系統 當輸入信號是階躍信號，即 時，離散系統輸出信號的 變換為將 展開成部分分式，得到式中上式中等號右端第一項的 反變換是 的穩態分量，第二項的 反變換為 的瞬態分量。第七章 線性離散系統 根據 在單位圓內的位置，可以確定 的動態響應形式，下面分幾種情況進行討論。1、正實軸上的閉環單極點 在這種情況下，顯然有 ，其對應的暫態分量 為一指數函數。（1）當 時，閉環極點在 平面上單位圓外的正實軸上，上述指數函數為發散型函數；而其相應的動態響應 是按指數規律發散的脈沖序列。 第七

18、章 線性離散系統（2）當 時，閉環極點在 平面上的單位圓周上，上述指數函數成為一恒值函數；而其相應的動態響應 為一等幅脈沖序列。（3）當 時，閉環極點位于 平面上單位圓內的正實軸上，上述指數函數為衰減型函數；而其相應的動態響應 是按指數規律衰減的脈沖序列，且 越接近原點，衰減越快。第七章 線性離散系統2、負實軸上的閉環單極點 在這種情況下，顯然有 。（1）當 時，極點 分布在單位圓外的負實軸上，上述指數函數將振蕩發散，系統不穩定；而相應的動態響應 是振蕩發散的脈沖序列。（2）當 時，極點 分布在單位圓內的負實軸上，上述指數函數將振蕩收斂，相應的動態響應 是振蕩收斂的脈沖序列系統穩定。（3）當 時，極點 位