1、calculus17.4 定積分基本積分方法301sinsinxxdx例：求32sinsinsinsinsincosxxxxxx解：由于被積函數（1）一、直接積分法cossin ,02cossin ,2xxxxxxcalculus232023322202sinsincossincossin224(sin )(sin )333xxdxxxdxxxdxxx0所以calculus3二、 定積分的換元積分法1( ) , ( ),( )( )( )(2)( )( ), ( )( ) ( ) ( )baf xa bxttttttaaabf x dxftt dt定理 ：設函數在上連續，令如果滿足下面條件：(

2、1)x=在區間 ，上是單值函數，并且有連續的導數當 在區間 ，上變化時，x=的值在區間 ，b上變化,且則calculus41201x dx解：解：作代換作代換sin , 0,2xtt 則它是單值函數，有連續則它是單值函數，有連續導數，且當導數，且當0t 時時0,x 當當2t時時1,x 故有故有22201020211 sinsincostdttdxtdx201 cos22tdt20sin2244ttcalculus51.這里的換元法實際上相當于不定積分的第二換元法，這里的換元法實際上相當于不定積分的第二換元法，常用的有根式帶環、三角代換、倒代換；常用的有根式帶環、三角代換、倒代換；說明：說明：2

3、.換元必換限，即在左變量代換后，積分上下限要做相應的改換元必換限，即在左變量代換后，積分上下限要做相應的改變變 ，然后直接求出結果，不必回帶，這是與不定積分的不同，然后直接求出結果，不必回帶，這是與不定積分的不同之處。之處。calculus6例例1 計算 42022dxxx解解 設,sin2tx 2ttdtdxcos2當0 x時,0t;當2x時,于是, 42022dxxxtdtttcos2sin44)sin2(2202dtt202)2(sin4dtt20)4cos1 (2204412 )tsint ( calculus7例例2計算.12240dxxx. 3, 4txtdttt312221312

4、)3(21dtt322解解 設,12tx,212tx,tdtdx ; 1, 0tx.12240dxxx31333121)tt( calculus8注意注意換元公式也可逆過來使用換元公式也可逆過來使用.即即 ( ) ( )( ) baftt dtf x dx這就是湊微分法。這就是湊微分法。calculus9例例3計算408421xdxx解：解：由于由于22(84)(441)(21 ,)xdxdxxdx令令21,ux則則原式原式=33342311114104433duu duuucalculus10證證 aadx)x(f 0adx)x(f例例3 證明若,)(aaCxf)( ,0)( ,)(2)(0

5、 xfxfdxxfdxxfaaa為偶函數偶函數為奇函數為奇函數則有結論結論 aadx)x(fdx)x(f00 adx)x(f0tx 0adt)t(f adt)t(f0 adx)x(f)x(f0 aadx)x(fdx)x(f00 aadx)x(f(1) 若 為偶函數偶函數, 則)(xf.dx)x( fdx)x( faaa 02),x( f)x( f)x( f2 (2) 若 為奇函數奇函數, 則)(xf.dx)x( faa0 ,)x( f)x( f0 例如例如,2245sin xdxx. 0calculus112020;)(cos)(sin)1(dxxfdxxf00,)(sin2)(sin)2(d

6、xxfdxxxf例例4 若 ,1 ,0)(Cxf證明證明并計算 .cos1sin02dxxxx. 0,2;2, 0txtx證證 (1) 設,2tx,dtdx20)(sindxxf20)(cosdttfdttf022sin20.)(cosdxxf. 0,;, 0txtx0(sin )xfx dx0)(sin)(dttft,dtdx0d)sin()(ttft00)(sin)(sindtttfdttf(2) 設, tx00(sin )(s.in )xfx dxxfdx00)(sin2)(sindxxfdxxxfcalculus120)sarctan(co2x02cos1sindxxxx.cos1si

7、n202dxxx02cos1)(cos2xxd.4200)(sin2)(sindxxfdxxxfcalculus132002xdxxdxnnsinsin例例5 證明證明證明證明0 xdxnsin202xdxnsin20 xdxnsin2xdxnsin2xdxnsintx02dttn)(sin20tdtnsin20 xdxnsin0 xdxnsin結論結論calculus14例例6設 函數0,1- ,cos11, 0 ,)(2xxxxexfx計算 .)2(41dxxf. 2, 4; 1, 1txtx41)2(dxxf202dttet012 )t(tan.212121tan4e解解 設,2tx,d

8、tdx 21)( dttf01cos1tdt0122cos2tdt)(212022tdet20221)e(t calculus15練習：練習：P75 1.(2) (9)324400440042400(2)tan(sec1)tantantantan11tanln |cos|(1 ln2)22xdxxxdxxdxxdxxx22333400233201(9)11(1)3252199xx dxx d xxcalculus16P75 2. (5)22223222221101111(1)221x xxudxdxd uxxucalculus17周期函數的定積分：周期函數的定積分：設設( )f x是周期為是周

9、期為T的函數，即的函數，即()( ),f xTf xxR 則對任意的則對任意的,R有有0( )( )TTf x dxf x dx證明：證明：( )( )( )TTTTf x dxf x dxf x dx0()TfTdxdufux0()Tf x dxf u du00()( )(TTf x df x dxf x dxxTcalculus18P100 第第13題：題：00( ) ( )( ) ( )( ) ( )aaaaf x g x dxf x g x dxf x g x dxarctanarctan?xxee22arctanarctan011xxxxxxeeeeee0arctan4e00() (

10、) ()( ) ( )aafu gu duf x g x dx00( ( )() ( )( ) ( )aaf xfx g x dxAf x g x dxcalculus19三、分部積分法三、分部積分法bbbaaaudvuvvdu)(),(xvxu設函數設函數在在,ba上有連續導數，則上有連續導數，則定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式定理定理2bbbaaauv dxuvu vdx與不定積分的分部積分公式對比：與不定積分的分部積分公式對比：udvuvvducalculus20分部積分公式的證明：分部積分公式的證明：( )( )( ) ( )( )( ),xxxaaau t dv tu t v

11、 tv t du txR 問題：問題：設設( )( ),fxg xxR 且對某個實數且對某個實數( )( ),f ag aa滿足滿足是否有是否有( )( ),?f xg xxR ( )( )( )( )0( )( )fxg xf xg xf xg xC又因為又因為( )( ),f ag a所以所以0C calculus21例例1 計算.arctan10 xdx10arctan xx. 2ln2141021dxxx4102)1ln(21x例例2 計算.ln1exdxx解解exdxx1ln211ln()2exd xexx12ln21edxxx1212122e ex1241412ecalculus2

12、2解解 令 , tx 102dttet102( )ttd e 101022dtetett . 22210tee. 1, 1; 0, 0txtx,2tx ,2tdtdx10dxex例例4. 計算.10dxex例例3. 計算20sinxdxex20) sin(xex2e20sinxxde20cosxde20cosxdxex20) sin(xex20) cos(xex20sinxdxex12e20sinxdxex20sinxdxex21212ecalculus23例例5. 已知已知sin( ),xtf xdtt求求0( ).f x dx解：解：0000( )( )( )sin( )0 (0)f x

13、dxxf xxfx dxxffxdxx例例6. 求定積分：求定積分：244sin.1xxdxe解：解：令令xu 則則222444444244sinsinsin()11sin11xuuxxuudxduxdxdeeeeucalculus24所以所以22444424244444sinsin211sin111 cos224i12s nxxxxxdxdxeexdxxdxxdxe例例5. 已知已知20cos,(2)xdxAx求求20sin cos.1xxdxx22000sin cos1sin21sin12122xxxudxdxduxxucalculus2520001(cos )1 cos1cos22222

14、(2)1112(2)42duuuduuuuA 例例6. 設設20sin,nnIxdx試證：試證：21.nnnIIn1201222200sincoscos sin(1)cossinnnnnxdxxxnxdxI 22220(1)1 sinsin(1)nnnnxdxnIIcalculus26例例7. 設設( )fx試證：試證：2(2 )2 ( )( )(0) ( ).FaF afaff a連續，連續，0( )( )(2),xF xf t fat dt證明：證明：200(2 ) 2 ( )( ) (2)2( ) (2)aaF aF af t fa t dtf t fa t dt20( ) (2)( )

15、 (2)aaaf t fa t dtf t fa t dt202(2) ( )( ) ()(2)2aaaaafa t f t dtf t fa t dtf t fa t在第二項中作代換在第二項中作代換2,uat則得到則得到calculus27200( ) (2 )( )( )(0) (2 )( ) (2)(2) ()aaf u faf tF aF af affa t dfautd u2( )(0) (2 )faffaP76 第第5題：題：000000( )sin( )sin( )cos( )cos( )sin( )(0)( )sinfxxdxfxxfxxdxf xxf xxdxfff xxdx

16、 calculus28利用定積分來求極限：利用定積分來求極限：例例8.求極限求極限lim(1)(2)()nnnnn nn nn nn解：解：考察函數考察函數1( )f xx在區間在區間1,2上的定積分，將區間作上的定積分，將區間作等間隔的分割，劃分成等間隔的分割，劃分成n個長度為個長度為1n的小區間，令的小區間，令1,0,1,2, ,iixinn 同時取同時取11,iiiixxx則則1012111lim( )li)m1(nniiniixf x dxfinnlim(1)(2)()nnnnn nn nn nncalculus29所以所以21lim(1)(2)2(1ln)nnnnn nn nndxnnx練習：練習：12limnnn n111121limlimniinninxnnnnnn,1,2,iiiixinnn1023xdxcalculus30例例9. 已知已知11sin,nniiSnn求極限求極限limnnS解：由于解：由于11siin ,nsnnniiiiiSxnn其中其中,0,1,2