1、光學(xué)透鏡的變換光學(xué)透鏡的變換透鏡是光學(xué)系統(tǒng)的最基本的元件，具有成象和光學(xué)傅里葉變換的透鏡是光學(xué)系統(tǒng)的最基本的元件，具有成象和光學(xué)傅里葉變換的基本功能，本章將首先討論透鏡的成像和光學(xué)傅里葉變換性質(zhì)基本功能，本章將首先討論透鏡的成像和光學(xué)傅里葉變換性質(zhì) 透鏡可以用來實現(xiàn)透過物體的光場分布的透鏡可以用來實現(xiàn)透過物體的光場分布的夫瑯和費衍射夫瑯和費衍射，而透鏡，而透鏡之所以可以實現(xiàn)傅里葉變換的原因是它具有位相變換的作用之所以可以實現(xiàn)傅里葉變換的原因是它具有位相變換的作用 無像差的正薄透鏡對點光源無像差的正薄透鏡對點光源的成像過程是點物成點像，從波面變的成像過程是點物成點像，從波面變換的觀點看，透鏡將一

2、個發(fā)散球面波變換成一個會聚球面波換的觀點看，透鏡將一個發(fā)散球面波變換成一個會聚球面波發(fā)散球面波發(fā)散球面波和和會聚球面波會聚球面波在透鏡平面上都具有球面波的二次位相在透鏡平面上都具有球面波的二次位相因子，因此因子，因此透鏡透鏡的功能就是改變二次位相因子的大小，實際上也的功能就是改變二次位相因子的大小，實際上也就是具有附加的二次位相因子就是具有附加的二次位相因子透鏡的位相變換作用透鏡的位相變換作用 透鏡的位相變換作用透鏡的位相變換作用示意圖示意圖 透鏡的復(fù)振幅透過率定義為透鏡的復(fù)振幅透過率定義為 和和 分別是分別是 和和 平面上的光場復(fù)振幅分布。平面上的光場復(fù)振幅分布。 傍軸近似下單色點光源的發(fā)散

3、球面波在平面上造成的光場分布為傍軸近似下單色點光源的發(fā)散球面波在平面上造成的光場分布為 球面波經(jīng)透鏡變換后向點會聚，在平面上造成的復(fù)振幅分布為球面波經(jīng)透鏡變換后向點會聚，在平面上造成的復(fù)振幅分布為透鏡的復(fù)振幅透過率或相位變換因子為透鏡的復(fù)振幅透過率或相位變換因子為 ),(),(),(11yxUyxUyxt),(yxU),(yxUPP)(2exp)exp(),(221yxpkjjkpAyxUyxqkjexpjkqexpAyxU,)11)(2exp),(),(),(2211qpyxkjyxUyxUyxt透鏡的復(fù)振幅透過率透鏡的復(fù)振幅透過率即位相變換作用即位相變換作用 由透鏡成像的高斯公式可知由透鏡

4、成像的高斯公式可知 透鏡的相位變換因子可表為透鏡的相位變換因子可表為 如果考慮透鏡孔徑的有限大小，用表示孔徑函數(shù)（或稱光瞳函如果考慮透鏡孔徑的有限大小，用表示孔徑函數(shù)（或稱光瞳函數(shù)），其定義為數(shù)），其定義為于是透鏡的相位變換因子可寫做于是透鏡的相位變換因子可寫做fpq111)(2exp),(22yxfkjyxt其他透鏡孔徑內(nèi), 0, 1),(yxP)(2exp),(),(22yxfkjyxPyxt透鏡的透鏡的二次二次位相位相因子因子 透鏡的傅里葉變換性質(zhì)透鏡的傅里葉變換性質(zhì) l 透鏡除了具有成像性質(zhì)外，還能作傅里葉變換，正因如此，傅里透鏡除了具有成像性質(zhì)外，還能作傅里葉變換，正因如此，傅里葉分

5、析方法在光學(xué)中得到廣泛而成功的應(yīng)用。葉分析方法在光學(xué)中得到廣泛而成功的應(yīng)用。l 單位振幅平面波垂直照明衍射屏，在透鏡的后焦面（無窮遠(yuǎn)照明單位振幅平面波垂直照明衍射屏，在透鏡的后焦面（無窮遠(yuǎn)照明光源的共軛面）上觀察光源的共軛面）上觀察的的夫瑯和費衍射，恰好是衍射屏透過率函夫瑯和費衍射，恰好是衍射屏透過率函數(shù)的傅里葉變換數(shù)的傅里葉變換l 另外，在會聚光照明下的菲涅耳衍射，通過會聚中心的觀察屏上另外，在會聚光照明下的菲涅耳衍射，通過會聚中心的觀察屏上的菲涅耳衍射場分布，也是衍射屏透過率函數(shù)的傅里葉變換，的菲涅耳衍射場分布，也是衍射屏透過率函數(shù)的傅里葉變換，因因此此可在照明光源的共軛面上觀察屏函數(shù)的夫

6、瑯和費衍射圖樣。可在照明光源的共軛面上觀察屏函數(shù)的夫瑯和費衍射圖樣。下面進(jìn)行下面進(jìn)行具體具體討論討論 物在透鏡之前物在透鏡之前的變換的變換 由于是薄透鏡，平面由于是薄透鏡，平面 、 和和 重合重合在一起在一起要變換的透明片置于透鏡前方，其復(fù)振幅透過率為要變換的透明片置于透鏡前方，其復(fù)振幅透過率為在傍軸近似下，由單色點光源發(fā)出的球面波在物的前表面上造成的在傍軸近似下，由單色點光源發(fā)出的球面波在物的前表面上造成的場分布為場分布為 透過物體，從輸入面上出射的光場為透過物體，從輸入面上出射的光場為從輸入平面出射的光場菲涅耳衍射到透鏡平面，復(fù)振輻分布為從輸入平面出射的光場菲涅耳衍射到透鏡平面，復(fù)振輻分布

7、為 PP),(yx),(yxt)(2exp020200dpyxjkA)(2exp),(02020000dpyxjkyxtA00020200202000002)()(exp)(2exp),(),(0dydxdyyxxjkdpyxjkyxtdjAyxU物在透鏡之前物在透鏡之前的變換的變換性質(zhì)性質(zhì)證明（證明（1 1）物在透鏡之前物在透鏡之前的變換的變換性質(zhì)性質(zhì)證明（證明（2 2）通過透鏡后的場分布為通過透鏡后的場分布為 式中式中 為光瞳函數(shù)。再一次經(jīng)過為光瞳函數(shù)。再一次經(jīng)過菲涅耳衍射，菲涅耳衍射，在輸出面上，即在輸出面上，即光源的共軛面上的光場分布為光源的共軛面上的光場分布為 經(jīng)過大量的代數(shù)運算和化

8、簡可得，經(jīng)過大量的代數(shù)運算和化簡可得，輸入平面位于透鏡前，計算光源輸入平面位于透鏡前，計算光源共軛面上場分布的一般公式共軛面上場分布的一般公式為為yxP,)2exp(),(),(),(22fyxjkyxPyxUyxUydxdqyyxxjkfyxjkyxUqjyxUp)()(exp)exp(),(),(0000000000220)()(exp),()( 2)(exp),(dydxfddfqyyxxfjkyxtfddfqyxdfjkcyxU兩個特殊位置兩個特殊位置的討論的討論 照明光源和觀察平面的位置始終保持共軛關(guān)系，因此觀察平面位照明光源和觀察平面的位置始終保持共軛關(guān)系，因此觀察平面位置置由照明

9、由照明光源位置決定（當(dāng)照明光源位于光軸上無窮遠(yuǎn)，即平面波垂直照明時，這光源位置決定（當(dāng)照明光源位于光軸上無窮遠(yuǎn)，即平面波垂直照明時，這時觀察平面位于透鏡后焦面上）時觀察平面位于透鏡后焦面上） 輸入平面位于透鏡前焦面，輸入平面位于透鏡前焦面，由于由于 ，衍射物體的復(fù)振幅透過率與衍衍射物體的復(fù)振幅透過率與衍射場的復(fù)振幅分布存在準(zhǔn)確的傅里葉變換關(guān)系，射場的復(fù)振幅分布存在準(zhǔn)確的傅里葉變換關(guān)系，而且而且只要照明光源和觀察只要照明光源和觀察平面滿足共軛關(guān)系，與照明光源的具體位置無關(guān)。也就是說，不管照明光平面滿足共軛關(guān)系，與照明光源的具體位置無關(guān)。也就是說，不管照明光源位于何處，均不影響觀察面上空間頻率與位

10、置坐標(biāo)的關(guān)系源位于何處，均不影響觀察面上空間頻率與位置坐標(biāo)的關(guān)系 輸入面緊貼透鏡，這時輸入面緊貼透鏡，這時 ，衍射物體的復(fù)振幅透過率與觀察面上的場，衍射物體的復(fù)振幅透過率與觀察面上的場分布，不是準(zhǔn)確的傅里葉變換關(guān)系，有一個二次相位因子。觀察面上的頻分布，不是準(zhǔn)確的傅里葉變換關(guān)系，有一個二次相位因子。觀察面上的頻譜的空間尺度上能按一定的比例縮放譜的空間尺度上能按一定的比例縮放 000000)exp(),(),(dydxfyyxxjkyxtcyxUfd00d00000022)exp(),()2exp(),(dydxqyyxxjkyxtqyxjkcyxU物在透鏡之后的變換物在透鏡之后的變換 入射到透

11、鏡前表面的場為入射到透鏡前表面的場為 從透鏡出射的場為從透鏡出射的場為 從透鏡的后表面出射的場到達(dá)物的前表面造成的場分布為從透鏡的后表面出射的場到達(dá)物的前表面造成的場分布為 通過物體后的出射光場為通過物體后的出射光場為 )2exp(220pyxjkA)2exp()2exp(22220fyxjkpyxjkApydxddyyxxjkfyxjkpyxjkdjAyxU2)()(exp)2exp(2exp),(02020222200000),(),(),(00000000yxUyxtyxU物在透鏡之物在透鏡之后的變換后的變換性質(zhì)性質(zhì)證明（證明（1 1）這個光場傳輸?shù)接^察平面上造成的場分布為這個光場傳輸?shù)?/p>

12、觀察平面上造成的場分布為 經(jīng)過一系列的代數(shù)演算得到：經(jīng)過一系列的代數(shù)演算得到：可以看出，不管衍射物體位于何種位置，只要觀察面是照明光源可以看出，不管衍射物體位于何種位置，只要觀察面是照明光源的共軛面，則物面（輸入面）和觀察面（輸出面）之間的關(guān)系都的共軛面，則物面（輸入面）和觀察面（輸出面）之間的關(guān)系都是傅里葉變換關(guān)系，即觀察面上的衍射場都是夫瑯和費型。是傅里葉變換關(guān)系，即觀察面上的衍射場都是夫瑯和費型。 00020200000000)(2)()(exp),(),()(1),(dydxdqyyxxjkyxUyxtdqjyxU dydxdqyyxxjkexpyxtdqyxjkexpcyxU,物在透

13、鏡之物在透鏡之后的變換后的變換性質(zhì)性質(zhì)證明（證明（2 2）透鏡的孔徑效應(yīng)透鏡的孔徑效應(yīng) 輸入面緊貼透鏡的情況比較簡單，可直接利用輸入面緊貼透鏡的情況比較簡單，可直接利用透鏡孔徑作為變換透鏡孔徑作為變換積分域積分域進(jìn)行計算。進(jìn)行計算。對于物在透鏡后方，物面上被照明的區(qū)域是透鏡的孔徑沿會聚光對于物在透鏡后方，物面上被照明的區(qū)域是透鏡的孔徑沿會聚光錐在物面上的投影。透鏡孔徑的衍射效應(yīng)可以用在物面上孔徑投錐在物面上的投影。透鏡孔徑的衍射效應(yīng)可以用在物面上孔徑投影的衍射效應(yīng)做等效替代。被積函數(shù)增加一個因子：影的衍射效應(yīng)做等效替代。被積函數(shù)增加一個因子： 物在透鏡前時，用幾何光學(xué)近似，也就是考慮物面與透鏡

14、之間的物在透鏡前時，用幾何光學(xué)近似，也就是考慮物面與透鏡之間的距離相對于透徑直徑而言不是很大的情況。這時光波從物到透鏡距離相對于透徑直徑而言不是很大的情況。這時光波從物到透鏡之間的傳播可看做直線傳播，并忽略透鏡的孔徑衍射。這樣的條之間的傳播可看做直線傳播，并忽略透鏡的孔徑衍射。這樣的條件，在實用的絕大多數(shù)問題中都是能得到滿足的。于是有件，在實用的絕大多數(shù)問題中都是能得到滿足的。于是有 ydqqxdqqP,yfdyxfdxPyxtfyxdfjkexpcyxU,dydxfyyxxjkexp課堂練習(xí)課堂練習(xí)采用下圖所示的光路對某一維物體作空間頻譜分析，它所包含的采用下圖所示的光路對某一維物體作空間頻譜分析，它所包含的最低空間頻率為最低空間頻率為2020周周/mm/mm，最高空間頻率為，最高空間頻率為200200周周/