1、考試時間地點：12月20日 16周 星期五 上午10：00-11：40攀登樓 101（1-52），102（53-102）攀登樓 201（1-58），202（59-114）7/1/20221第一章 矢量分析小結 1.我們討論的電磁場是具有確定物理意義的矢量場，這些矢量場在一定的區域內具有一定的分布規律，它們都是空間坐標的連續函數。2.標量場 中，梯度的定義為 其中 為 變化最快的方向上的單位矢量。7/1/20222 3.矢量場 在閉合面S的通量定義為 它是一個標量；矢量場的散度也是一個標量，定義為 4.矢量場 在閉合路徑C的環流定義為 ，它是一個標量；矢量場的旋度是一個矢量，它定義為7/1/20

2、2235.矢量分析中重要的恒等式有高斯定理斯托克斯定理7/1/202246. 算符 矢量算符 在直角坐標內， 所以 是個矢量，而 是個標量， 是個矢量。因而矢量算符 符合矢量標積、矢積的乘法規則，在計算時，先按矢量乘法規則展開，再作微分運算。7.亥姆霍茲定理總結了矢量場的基本性質，分析矢量場總要從研究它的散度和旋度開始著手，散度方程和旋度方程組成了矢量場的基本微分方程。7/1/20225直角坐標系單位方向矢量：矢量函數：其位置矢量：空間任一點 P（x0,y0,z0):坐標變量:變量取值范圍：微分元：7/1/20226圓柱坐標系單位方向矢量：矢量函數：其位置矢量：空間任一點P(r0,0,z0)變

3、量取值范圍微分元7/1/20227柱面坐標與直角坐標的關系為如圖，三坐標面分別為圓柱面；半平面；平 面7/1/20228球面坐標系單位方向矢量：矢量函數：位置矢量：變量取值范圍:微分元：7/1/20229如圖，三坐標面分別為圓錐面；球 面；半平面球面坐標與直角坐標的關系為7/1/202210柱坐標7/1/202211球坐標7/1/202212 第二章 電磁場的基本規律 小結1.電荷分布形態分為四種形式： 點電荷、體分布電荷、面分布電荷、線分布電荷電荷體密度電荷面密度電荷線密度點電荷的電荷密度7/1/2022132.電流分布 體電流 流過任意曲面S 的電流為面電流通過薄導體層上任意有向曲線 的電

4、流為7/1/202214積分形式微分形式恒定電流的連續性方程3.電流連續性方程7/1/202215面密度為 的面分布電荷的電場強度線密度為 的線分布電荷的電場強度體密度為 的體分布電荷產生的電場強度 根據上述定義，真空中靜止點電荷q 激發的電場為4.電場強度7/1/2022165.靜電場的散度和旋度靜電場的散度（微分形式）靜電場的高斯定理（積分形式）靜電場的旋度（微分形式）靜電場的環路定理（積分形式）7/1/2022176.磁感應強度任意電流回路 C 產生的磁感應強度電流元 產生的磁感應強度體電流產生的磁感應強度面電流產生的磁感應強度7/1/2022187.恒定磁場的散度與旋度恒定場的散度（微

5、分形式）磁通連續性原理（積分形式）恒定磁場的旋度（微分形式）安培環路定理（積分形式）7/1/202219 極化強度與電場強度有關在線性、 各向同性的電介質中， 與電場強度成正比，即8.電介質的極化 電介質的電極化率 ( 1 ) 極化電荷體密度( 2 ) 極化電荷面密度定義：電位移矢量7/1/2022209. 靜電場在電介質中的基本方程,及介質的本構關系對于線性各向同性介質，小結：靜電場是有散無旋場，電介質中的基本方程為 （微分形式）， （積分形式） 7/1/20222110. 介質的磁化及磁化電流（1） 磁化電流體密度（2） 磁化電流面密度恒定磁場是有旋無散場，磁介質中的基本方程為 （積分形式

6、） （微分形式）11. 恒定磁場在磁介質中的基本方程,及介質的本構關系定義磁場強度 為：7/1/202222 磁化強度 和磁場強度 之間的關系由磁介質的物理性質決定，對于線性各向同性介質， 與 之間存在簡單的線性關系：磁介質中的本構關系式7/1/20222312.歐姆定律的微分形式。式中的比例系數 稱為媒質的電導率，單位是S/m（西/米）。13.法拉第電磁感應定律相應的微分形式為相應的微分形式為(1) 回路不變，磁場隨時間變化引起回路中磁通變化的幾種情況7/1/202224( 2 ) 導體回路在恒定磁場中運動( 3 ) 回路在時變磁場中運動微分形式14. 位移電流密度7/1/20222515.

7、 麥克斯韋方程組的積分形式（全電流定律）（法拉第電磁感應定律）（磁通連續性方程方程）（電介質中的高斯定律）（電流連續性方程）7/1/20222616. 麥克斯韋方程組的微分形式麥克斯韋第一方程，隨時間變化的電場也是產生磁場的源。麥克斯韋第二方程，表明隨時間變化的磁場也是產生電場的源（漩渦源）。麥克斯韋第三方程表明磁場是無通量源的場，磁感線總是閉合曲線麥克斯韋第四方程，表明電場是有通量源的場，電荷是產生電場的通量源。7/1/20222717. 媒質的本構關系 各向同性、線性媒質的本構關系為18. 電磁場的邊界條件 分界面上的電荷面密度 分界面上的電流面密度7/1/20222819.兩種理想介質分

8、界面上的邊界條件 在兩種理想介質分界面上，通常沒有電荷和電流分布，即JS0、S0，故 的法向分量連續 的法向分量連續 的切向分量連續 的切向分量連續7/1/20222920. 理想導體表面上的邊界條件 理想導體表面上的邊界條件 設媒質2為理想導體，則E2、D2、H2、B2均為零，故理想導體表面上的電荷密度等于 的法向分量理想導體表面上 的法向分量為0理想導體表面上 的切向分量為0理想導體表面上的電流密度等于 的切向分量7/1/202230Ex: 一段兩端封閉的圓形同軸導體，長度為l內導體半徑為a，外導體半徑為b。同軸導線的軸線與z軸重合，兩端面分別位于z=0和z=l處，如圖所示。設導體的電導率

9、為 = ，內外導體空間的媒質為空氣。若已知導體間的磁場強度為：求: (1) 導體間的電場強度 ； (2) 導體表面上的電流面密度 和電荷面密度 。xy解：（1）7/1/202231（2）z=0z=lxy7/1/202232（2）在內導體r=axy在外導體r=b7/1/202233一、 靜電場的基本方程和邊界條件第三章 靜態電磁場及其邊值問題的解 小結2. 邊界條件微分形式：本構關系：1. 基本方程積分形式：或或若分界面上不存在面電荷，即 ，則7/1/202234由1. 電位函數的定義二、電位函數 面電荷的電位： 點電荷的電位：線電荷的電位：3、電位積分表達式：體電荷的電位： 2、P、Q 兩點間

10、的電位差7/1/2022354、電位方程在均勻介質中，有標量泊松方程在無源區域，有拉普拉斯方程5. 靜電位的邊界條件 若介質分界面上無自由電荷，即導體表面上電位的邊界條件：常數，媒質2媒質17/1/202236 (1) 假定兩導體上分別帶電荷+q 和q ； 計算電容的方法一： (4) 求比值 ，即得出所求電容。 (3) 由 ，求出兩導體間的電位差； (2) 計算兩導體間的電場強度E； 計算電容的方法二： (1) 假定兩電極間的電位差為U ； (2) 計算兩電極間的電位分布 ； (3) 由 得到E ; (4) 由 得到 ; (5) 由 ，求出導體的電荷q ； (6) 求比值 ，即得出所求電容。7

11、/1/202237三、靜電場能量電荷系統的總能量為導體系統的能量為電場能量密度：電場的總能量：對于線性、各向同性介質，則有7/1/202238 不變四、靜電力q不變五、恒定電場分析1、 基本方程 恒定電場的基本方程為微分形式：積分形式： 恒定電場的基本場矢量是電流密度 和電場強度 線性各向同性導電媒質的本構關系7/1/2022392. 恒定電場的邊界條件即即場矢量的折射關系 電位的邊界條件 導電媒質分界面上的電荷面密度7/1/2022403.恒定電場與靜電場的比擬基本方程靜電場（ 區域） 本構關系位函數邊界條件恒定電場（電源外）對應物理量靜電場恒定電場7/1/202241(1) 假定兩電極間的

12、電流為I ； 計算兩電極間的電流密度 矢量J ； 由J = E 得到 E ; 由 ，求出兩導 體間的電位差；(5) 求比值 ，即得出 所求電導。 計算電導的方法一： 計算電導的方法二： (1) 假定兩電極間的電位差為U； (2) 計算兩電極間的電位分布 ； (3) 由 得到E ; (4) 由 J = E 得到J ; (5) 由 ，求出兩導體間 電流； (6) 求比值 ，即得出所 求電導。 計算電導的方法三：靜電比擬法：4、電導的計算方法7/1/202242微分形式:1. 基本方程2. 邊界條件本構關系：或若分界面上不存在面電流，即JS0，則積分形式:或六、恒定磁場7/1/2022433、恒定磁

13、場的矢量磁位庫侖規范引入： 磁矢位的微分方程在無源區：矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程 磁矢位的邊界條件7/1/2022444. 恒定磁場的標量磁位 但在無傳導電流（J0）的空間 中，則有標量磁位或磁標位 磁標位的微分方程在線性、各向同性的均勻媒質中 標量磁位的邊界條件和7/1/202245七、電感 1. 自感I為回路 C 中的電流， 為I所產生的磁場與回路 C 交鏈的磁鏈， 單匝線圈形成的回路的磁鏈定義為穿過該回路的磁通量 多匝線圈形成的導線回路的磁鏈定義為所有線圈的磁通總和 回路 C1 對回路 C2 的互感 3. 互感回路 C2 對回路 C1 的互感為M12 = M217/1/202246八、

14、 恒定磁場的能量電流為 I 的載流回路具有的磁場能量Wm對于兩個電流回路 C1 和回路C2 ，有磁場能量密度磁場能量密度：磁場的總能量：7/1/2022472、磁場力 不變不變九、 惟一性定理 在場域V 的邊界面S上給定 或 的值，則泊松方程或拉普拉斯方程在場域V 具有惟一解。（即滿足泊松方程和拉普拉斯方程及其邊界條件的解是唯一的。） 7/1/202248 十、鏡像法：必須保證原問題的方程不變，邊界條件不變像電荷必須位于所求解的場區域以外的空間中。像電荷的個數、位置及電荷量的大小以滿足所求解的場 區域 的邊界條件來確定。十一、 分離變量法解決求有邊界區域的場的解思路：套用通解，根據邊界條件來定

15、待定系數7/1/202249 對于非垂直相交的兩導體平面構成的邊界，若夾角為 , 則所有鏡像電荷數目為2n-1個。一般，只要 滿足 為偶數 ，就可以用鏡像法來求解，若不滿足，則鏡像電荷會出現在所求解的場域內，不能用鏡像法來求解。7/1/202250第四章 時變電磁場 小結一、電磁波動方程二、位函數洛倫茲條件達朗貝爾方程7/1/2022511、電磁能量密度：四、電磁場能量 表征電磁能量守恒關系的定理積分形式：2、坡印廷定理微分形式：7/1/202252 ( W/m2 ) 的方向 電磁能量傳輸的方向 的大小 通過垂直于能量傳輸方 向的單位面積的電磁功率3、坡印廷矢量（電磁能流密度矢量）復矢量五、時

16、諧電磁場1、復矢量7/1/2022532 、 復矢量的麥克斯韋方程3、導電媒質的等效介電常數c= j/7/1/2022544、電介質的復介電常數5、同時存在極化損耗和歐姆損耗的介質6、 磁介質的復磁導率復介電常數為7、亥姆霍茲方程 復矢量7/1/2022558、 平均能量密度和平均能流密度矢量 平均能流密度矢量平均電場能量密度平均磁場能量密度 在時諧電磁場中，二次式的時間平均值可以直接由復矢量計 算，有7/1/202256第五章 均勻平面波在無界空間中的傳播 小結一、 均勻平面波：等相位面上電場和磁場的方向、振幅都保持不變的平面波二、理想介質中的均勻平面波的傳播特點 電場、磁場與傳播方向之間相

17、互垂直，是橫電磁波（TEM 波）。 無衰減，電場與磁場的振幅不變。 波阻抗為實數，電場與磁場同相位。 電磁波的相速與頻率無關，無色散。 電場能量密度等于磁場能量密度，能量的傳輸速度等于相速。媒質的本征阻抗7/1/202257電磁場中的一些重要參數周期T ：時間相位變化 2的時間間隔，即角頻率 ：表示單位時間內的相位變化，單位為rad /s 頻率 f ：k 的大小等于空間距離2內所包含的波長數目，因此也稱為波數。波長 ：空間相位差為2 的兩個波陣面的間距，即相位常數 k ：表示波傳播單位距離的相位變化7/1/202258相速v：電磁波的等相位面在空間中的移動速度故得到均勻平面波的相速為相速只與媒

18、質參數有關，而與電磁波的頻率無關三、 沿任意方向傳播的均勻平面波沿 傳播方向的均勻平面波 7/1/202259 條件： 或四、 電磁波的極化 一般情況下，沿+z 方向傳播的均勻平面波 ，其中 電磁波的極化狀態取決于Ex 和Ey 的振幅之間和相位之間的關系，分為：線極化、圓極化、橢圓極化。1、線極化 特點：合成波電場的大小隨時間變化但其矢 端軌 跡與x 軸的夾角始終保持不變。 7/1/2022602、 圓極化波 條件： 特點：合成波電場的大小不隨時間改變，但方向卻隨時間變 化，電場的矢端在一個圓上并以角速度 旋轉。 右旋圓極化波：若yx/2，則電場矢端的旋轉方向 與電磁波傳播方向成右手螺旋關系，

19、稱為右旋圓極化波 左旋圓極化波：若yx/2，則電場矢端的旋轉方向 電磁波傳播方向成左手螺旋關系，稱為左旋圓極化波7/1/202261其它情況下，令3、 橢圓極化波 特點：合成波電場的大小和方向都隨時間改變，其端點在一個橢圓上旋轉。 線極化：0、 。 0，在1、3象限； ，在2、4象限。 橢圓極化：其它情況。0 ，左旋； 0，右旋 。 圓極化： /2，ExmEym 。 取“”，左旋圓極化；取“”，右旋圓極化。 電磁波的極化狀態取決于Ex 和 Ey 的振幅Exm、Eym 和相位差 yx 對于沿+ z 方向傳播的均勻平面波：7/1/202262五、導電媒質中的均勻平面波1、導電媒質中均勻平面波的傳播

20、特點： 電場強度 E 、磁場強度 H 與波的傳播方向相互垂直，是橫 電磁波（TEM波）； 媒質的本征阻抗為復數，電場與磁場不同相位，磁場滯后于 電場 角； 在波的傳播過程中，電場與磁場的振幅呈指數衰減； 波的傳播速度（相度）不僅與媒質參數有關，而且與頻率有 關（有色散）。 平均磁場能量密度大于平均電場能量密度。7/1/2022632、弱導電媒質中均勻平面波的特點 相位常數和非導電媒質中的相位常數大致相等； 衰減??； 電場和磁場之間存在較小的相位差。7/1/202264良導體：3、 良導體中的均勻平面波 良導體中的參數波長：相速：7/1/202265 趨膚深度（）：電磁波進入良導體后，其振幅下降

21、到表面處振幅的 1/e 時所傳播的距離。本征阻抗良導體中電磁波的磁場強度的相位滯后于電場強度45o。7/1/202266六、色散與群速 群速：載有信息的電磁波通常是由一個高頻載波和以載頻為中心 向兩側擴展的頻帶所構成的波包，波包包絡傳播的速度就 是群速。 無色散 正常色散 反常色散 群速vg：包絡波的恒定相位點推進速度 相速vp：載波的恒定相位點推進速度7/1/202267第六章 均勻平面波的反射與透射小結一、均勻平面波垂直入射1 對導電媒質分界面的垂直入射媒質1中的入射波：媒質1中的反射波：7/1/202268媒質1中的合成波：媒質2中的透射波：7/1/202269在分界面z = 0 上，電場強度和磁場強