1、數學分析數學分析213 設設D為平面區域為平面區域, , 如果如果D內任一閉曲線所內任一閉曲線所圍成的部分都屬于圍成的部分都屬于D, , 則稱則稱D為平面單連通區為平面單連通區域域, , 否則稱為復連通區域否則稱為復連通區域. .復連通區域復連通區域單連通區域單連通區域DD第1頁/共43頁 設空間區域設空間區域G, , 如果如果G內任一閉曲面所圍成內任一閉曲面所圍成的區域全屬于的區域全屬于G, , 則稱則稱G是空間二維單連通域是空間二維單連通域; ; 如果如果G內任一閉曲線總可以張一片完全屬于內任一閉曲線總可以張一片完全屬于G的曲面的曲面, , 則稱則稱G為空間一維單連通區域為空間一維單連通區

2、域. .GGG一維單連通一維單連通二維單連通二維單連通一維單連通一維單連通二維不連通二維不連通一維不連通一維不連通二維單連通二維單連通第2頁/共43頁 設閉區域設閉區域D由分段光滑的曲線由分段光滑的曲線L圍圍成成, ,函數函數),(),(yxQyxP及及在在D上具有一階連上具有一階連續偏導數續偏導數, , 則有則有 LDQdyPdxdxdyyPxQ)( (1) (1)其中其中L是是D的取正向的邊界曲線的取正向的邊界曲線, ,公式公式(1)(1)叫做叫做格林公式格林公式. .定理定理1 1第3頁/共43頁連成連成與與由由21LLL組成組成與與由由21LLL邊界曲線邊界曲線L L的正向的正向: 當

3、觀察者沿邊界行走時當觀察者沿邊界行走時,區區域域D總在他的左邊總在他的左邊.2LD1L2L1LD第4頁/共43頁),()(),(21bxaxyxyxD 證明證明(1)(1)若區域若區域D既是既是 X型型又是又是 Y型型,即平行于即平行于坐標軸的直線和坐標軸的直線和L至至多交于兩點多交于兩點.),()(),(21dycyxyyxD yxoabDcd)(1xy )(2xy ABCE)(2yx )(1yx 第5頁/共43頁dxxQdydxdyxQyydcD )()(21 dcdcdyyyQdyyyQ),(),(12 CAECBEdyyxQdyyxQ),(),( EACCBEdyyxQdyyxQ),(

4、),( LdyyxQ),(同理可證同理可證 LDdxyxPdxdyyP),(yxod)(2yx DcCE)(1yx 第6頁/共43頁 若若區區域域D由由按按段段光光滑滑的的閉閉曲曲線線圍圍成成. .如如圖圖, ,證明證明(2)(2)L1L2L3LD1D2D3D兩式相加得兩式相加得 LDQdyPdxdxdyyPxQ)(將將D分成三個既是分成三個既是 X型又是型又是 Y型的區域型的區域1D, ,2D, ,3D. . 321)()(DDDDdxdyyPxQdxdyyPxQ第7頁/共43頁 321)()()(DDDdxdyyPxQdxdyyPxQdxdyyPxQ 321LLLQdyPdxQdyPdxQ

5、dyPdx LQdyPdx1D2D3DL1L2L3L),(32, 1來說為正方向來說為正方向對對DLLL第8頁/共43頁GD3L2LFCE1LAB證明證明(3)(3) 若區域不止由一條閉曲若區域不止由一條閉曲線所圍成線所圍成. .添加直線段添加直線段ABAB, ,CECE. .則則D的邊界曲線由的邊界曲線由ABAB, ,2L, ,BA,BA,AFC,CEAFC,CE, , 3L, , ECEC及及CGACGA構成構成. .由由(2)知知 DdxdyyPxQ)( CEAFCBALAB2 CGAECLQdyPdx)(3第9頁/共43頁 LQdyPdx 231)(LLLQdyPdx),(32, 1來

6、說為正方向來說為正方向對對DLLL便于記憶形式便于記憶形式: LDQdyPdxdxdyQPyx.格格林林公公式式的的實實質質: : 溝溝通通了了沿沿閉閉曲曲線線的的積積分分與與二二重重積積分分之之間間的的聯聯系系.第10頁/共43頁xyoL例例 1 1 計算計算 ABxdy,其中曲其中曲線線AB是半徑為是半徑為r的圓在的圓在第一象限部分第一象限部分.解解 引引入入輔輔助助曲曲線線L,1. 1. 簡化曲線積分簡化曲線積分ABDBOABOAL 應應用用格格林林公公式式, xQP , 0 有有第11頁/共43頁 LDxdydxdy, BOABOAxdyxdyxdy, 0, 0 BOOAxdyxdy由

7、于由于.412rdxdyxdyDAB 第12頁/共43頁例例 2 2 計計算算 Dydxdye2,其其中中D是是以以)1 , 0(),1 , 1(),0 , 0(BAO為為頂頂點點的的三三角角形形閉閉區區域域.解解 令令2, 0yxeQP ,2. 2. 簡化二重積簡化二重積分分xyoAB11D則則 2yeyPxQ ,第13頁/共43頁應應用用格格林林公公式式, ,有有 BOABOAyDydyxedxdye22 1022dxxedyxexOAy).1(211 e第14頁/共43頁例例3 3 計算計算 Lyxydxxdy22, ,其中其中L為一條無重點為一條無重點, ,分段光滑且不經過原點的連續閉

8、曲線分段光滑且不經過原點的連續閉曲線, ,L的方的方向為逆時針方向向為逆時針方向. .則則當當022 yx時時, , 有有yPyxxyxQ 22222)(.記記L所所圍圍成成的的閉閉區區域域為為D,解解令令2222,yxxQyxyP ,第15頁/共43頁L( (1 1) ) 當當D )0, 0(時時, ,(2) 當當D )0 , 0(時時,1DrlxyoLD由由格格林林公公式式知知 Lyxydxxdy022作作位位于于D內內圓圓周周 222:ryxl ,記記1D由由L和和l所所圍圍成成,應應用用格格林林公公式式,得得yxo第16頁/共43頁 lLyxydxxdyyxydxxdy2222xyor

9、1DlL02222 lLyxydxxdyyxydxxdy(其其 中中l的的 方方 向向取取逆逆時時針針方方向向).2 (注意格林公式的條件注意格林公式的條件) drrr22222sincos 20第17頁/共43頁格林公式格林公式: LDQdyPdxdxdyyPxQ)(取取,xQyP 得得 LDydxxdydxdy2閉閉區區域域D的的面面積積 LydxxdyA21.取取, 0 xQP 得得 LxdyA取取, 0, QyP 得得 LydxA3. 3. 計算平面面積計算平面面積第18頁/共43頁曲線曲線AMO由函數由函數, 0,axxaxy 表示表示,例例 4 4 計計算算拋拋物物線線)0()(2

10、 aaxyx與與x軸軸所所圍圍成成的的面面積積. .解解ONA為為直直線線0 y. LydxxdyA21 AMOONAydxxdyydxxdy2121)0 ,(aANM第19頁/共43頁 AMOydxxdy21dxxaxdxaxaxa)()12(210 .61420adxxaa )0 ,(aANM第20頁/共43頁其中其中L是曲線是曲線| |x|+|+|y|=1|=1圍成的區域圍成的區域D的正向邊界。的正向邊界。11- -1- -1LDyxO 例例1 1 計算積分計算積分 Lxxyyxyyd)1cose(d)sine(解解 Dxycose(yxyxdd)1cose 222 A Lxxyyxyy

11、d)1cose(d)sine(格林公式的應用格林公式的應用第21頁/共43頁求星形線求星形線tytxL33sin,cos ：所界圖形的面積。所界圖形的面積。解解 DyxAdd Lyxd 2064dcoscos12ttt 2024dsincos3t tt8322143652214312 yxODL11- -1- -1重要意義：重要意義： 1.1.它建立了它建立了二重積分二重積分與與曲線積分曲線積分的一種等式關系的一種等式關系2.2.它揭示了函數在區域它揭示了函數在區域內部內部與與邊界邊界之間的內在聯系之間的內在聯系4.4.它的應用范圍可以突破右手系的限制，使它的它的應用范圍可以突破右手系的限制，

12、使它的應用應用 3.3.從它出發，可以導出數學物理中的從它出發，可以導出數學物理中的許多重要公式許多重要公式更加廣泛更加廣泛，而這只需要改變邊界的正向定義即可。，而這只需要改變邊界的正向定義即可。 DyxyPxQdd第22頁/共43頁 1LQdyPdx則稱曲線積分則稱曲線積分 LQdyPdx 2LQdyPdx如果對于區域如果對于區域 G 內任意指定的兩點內任意指定的兩點 A、B 以及以及 G 內內從點從點 A 到點到點 B 的任意兩條曲線的任意兩條曲線 L1，L2 有有 否則與路徑有關否則與路徑有關. . GyxoBA1L2L在在 G 內內與路徑無關與路徑無關, , 1LQdyPdx 2LQd

13、yPdx. 0 LQdyPdx)(21LLL 第23頁/共43頁( )( , )( , )0LiDLP x y dxQ x y dy沿 內任一按段光滑封閉曲線 ，有( )( , )( , ),;LiiDLP x y dxQ x y dyL對 內任一按段光滑曲線 ，曲線積分與路線無關 只與 的起點及終點有關xQyP第24頁/共43頁ARBQdyPdxASBQdyPdxARBQdyPdxBSAQdyPdxARBSAQdyPdx=0所以 ARBQdyPdx=ASBQdyPdx第25頁/共43頁,ABu x yPdxQdy第26頁/共43頁,ACABu xx yu x yPdxQdyPdxQdyBCP

14、dxQdy,BCuu xx yu x yPdxQdy ,xxxPdxQdyP xx yx xuyxxPxuxx,limlim00yxP,= = 第27頁/共43頁,.uQ x yy同理可證因此.duPdxQdy,.P x yu x yQ x yu x yxy所以因此22,.PuQuyx yxy x 22.uux yy x 第28頁/共43頁.PQyx.D于是，在于是，在 內內.PQyx應用格林公式，有應用格林公式，有 dyPxQdyyxQdxyxPDC )(),(),(. 0 LdyyxQdxyxP),(),(與路徑無關與路徑無關.第29頁/共43頁, xQyP 若若 ),(),(1100yx

15、ByxAQdyPdxdyyxQdxyxPyyxx),(),(101010 ),(01yxC ),(11yxB ),(00yxA dxyxPdyyxQxxyy),(),(101010 或或xyoL LQdyPdx 則則CBAC ),(10yxDADDB與路徑無關與路徑無關第30頁/共43頁例例 5 5 驗證驗證 Lyydyyxedxxe)2()(. .與路徑無關，與路徑無關， 并求之。其中并求之。其中 L 為過三點為過三點)0, 0(o，)1, 0(A，)2, 1(B 的圓周，由的圓周，由)0, 0(o到到)2, 1(B的曲線弧的曲線弧. . 解解因此，積分與路徑無關。因此，積分與路徑無關。.2

16、),( ,),( yxeyxQxeyxPyy 設設則則 P，Q 在全平面上有在全平面上有連續的一階偏導數，且連續的一階偏導數，且,yeyP .yexQ . xQyP 即即oxy112全平面是單連通域。全平面是單連通域。第31頁/共43頁oxy112取一簡單路徑：取一簡單路徑：L1 + L2.1L2L. 10: , 0 :1 xyL. 20: , 1 :2 yxL Lyydyyxedxxe)2()( 21)2()()2()(LyyLyydyyxedxxedyyxedxxe 20100)21()(dyyedxxey.272 e因此，積分與路徑無關。因此，積分與路徑無關。,yeyP .yexQ .

17、xQyP 即即全平面是單連通域。全平面是單連通域。第32頁/共43頁例例 6 6 計算計算 Ldyyxdxxyx)()2(422. . 其中其中 L 為由點為由點)0, 0(o到點到點)1, 1(B的曲線弧的曲線弧2sinxy . . 解解因此，積分與路徑無關。因此，積分與路徑無關。. xQyP 即即oxy11.),( ,2),( 422yxyxQxyxyxP 設設則則 P，Q 在全平面上有連續的在全平面上有連續的一階偏導數，且一階偏導數，且,2xyP .2xxQ 全平面是單連通域。全平面是單連通域。第33頁/共43頁oxy11 1010422)1()02(dyydxxx .1523 因此，積

18、分與路徑無關。因此，積分與路徑無關。. xQyP 即即,2xyP .2xxQ 全平面是單連通域。全平面是單連通域。取一簡單路徑：取一簡單路徑：L1 + L2. 10: , 0 :1 xyL. 10: , 1 :2 yxL1L2L Ldyyxdxxyx)()2(422 21)()2()()2(422422LLdyyxdxxyxdyyxdxxyx第34頁/共43頁xyo) ,(yxB ),(00yxA GdyyxQdxyxPyxuyyxx),(),(),(000 dxyxPdyyxQyxuxxyy),(),(),( 000 或或CBAC DBAD 設開區域設開區域G是一個單連通域是一個單連通域,

19、, 函數函數),(yxP ),(yxQ 在在G內具有一階連續偏導數內具有一階連續偏導數, , 則則QdyPdx 在在G內為內為 某一函數某一函數),(yxu的全微分的充要條件是等式的全微分的充要條件是等式 xQyP 在在G內恒成立內恒成立. . ),(0yxC ),(0yxD第35頁/共43頁解解,2)(2xyxyyyP .2)(2xyyxxxQ ,),(2xyyxP .),(2yxyxQ 例例7 驗證：在驗證：在 xoy 面內，面內，ydyxdxxy22 是某個函數是某個函數u (x, y) 的全微分，并求出一個這樣的函數。的全微分，并求出一個這樣的函數。這里這里且且在整個在整個 xoy 面內恒成立。面內恒成立。xQyP 即，即，因此，在因此，在 xoy 面內，面內，ydyxdxxy22 是某個函數是某個函數u (x, y) 的全微分。的全微分。dyyxdxxyxuyx 0),(0202 . 0 , 0 00 yx取取.222yx 第36頁/共43頁積積分分與與路路徑徑無無關關xQyP ，解解,2)(2xyxyyyP ),()(xyxyxxQ ,