1、會計學1中考中考(zhn ko)數學專題幾何探究問題數學專題幾何探究問題第一頁，共53頁。考情搜索幾何探究問題主要涉及利用三角形的性質進行相關的探索與證明、三角形和四邊形的綜合探索與證明以及幾何動態(dngti)問題等.這是中考對幾何推理與證明能力考查的必然體現,重在提高學生對圖形及性質的認識,訓練學生的推理能力,解題時應注意演繹推理與合情推理的結合.全國各地的中考數學試題都把幾何探究問題作為中考的壓軸題之一,安徽省中考也是如此,如2016年的第23題、2015年的第23題、第2014年的第23題、2013年的第23題等.預計2017年安徽中考中,這類問題仍是考查的重點之一,需重點復習. 第1

2、頁/共53頁第二頁，共53頁。考情搜索幾何探究問題是中考必考題型,考查知識全面,綜合性強,它把幾何知識與代數知識有機結合起來,滲透數形結合思想,重在考查分析問題的能力、邏輯思維推理能力.如折疊類型(lixng)、探究型、開放型、運動型、情境型等,背景鮮活,具有實用性和創造性,在考查考生計算能力的同時,考查考生的閱讀理解能力、動手操作能力、抽象思維能力、建模能力,力求引導考生將數學知識運用到實際生活中去.需要通過觀察、分析、比較、概括、推理、判斷等來確定所需求的結論、條件或方法,因而解題的策略是將其轉化為封閉性問題.常用的解題策略:1.找特征或模型:如中點、特殊角、折疊、相似結構、三線合一、三角

3、形面積等;2.找思路:借助問與問之間的聯系,尋找條件和思路;3.照搬:照搬前一問的方法和思路解決問題,如照搬字母、照搬輔助線、照搬全等、照搬相似等;4.找結構:尋找不變的結構,利用不變結構的特征解決問題.常見的不變結構及方法:有直角,作垂線,找全等或相似;有中點,作倍長,通過全等轉移邊和角;有平行,找相似,轉比例. 第2頁/共53頁第三頁，共53頁。考情搜索題型2題型1題型3題型1與全等三角形有關的探究典例1(2016山東泰安)(1)已知:ABC是等腰三角形,其底邊是BC,點D在線段AB上,E是直線BC上一點,且DEC=DCE,若A=60(如圖),求證:EB=AD;(2)若將(1)中的“點D在

4、線段AB上”改為“點D在線段AB的延長線上”,其他條件不變(如圖),(1)的結論是否成立,并說明理由;(3)若將(1)中的“若A=60”改為“若A=90”,其他條件不變,則 的值是多少?(直接(zhji)寫出結論,不要求寫解答過程) 第3頁/共53頁第四頁，共53頁。考情搜索題型2題型1題型3【解析】(1)作DFBC交AC于F,由已知得ABC和ADF均為等邊三角形,則AD=DF,利用AAS證明(zhngmng)DBE CFD,得EB=DF,從而EB=AD;(2)作DFBC交AC的延長線于點F,同(1)證出DBE CFD,得出EB=DF,即可得出結論;(3)作DFBC交AC于點F,同(1)得:D

5、BE CFD,得出EB=DF,證出ADF是等腰直角三角形,得出DF= AD,即可得出結果. 第4頁/共53頁第五頁，共53頁。考情搜索題型2題型1題型3【答案(d n)】 (1)作DFBC交AC于點F,如圖1所示.ADF=ABC,AFD=ACB,FDC=DCE,ABC是等腰三角形,A=60,ABC是等邊三角形,ABC=ACB=60,DBE=120,ADF=AFD=60=A,ADF是等邊三角形,DFC=120,AD=DF,DEC=DCE,FDC=DEC,ED=CD,DBE CFD(AAS),EB=DF,EB=AD. 第5頁/共53頁第六頁，共53頁。考情搜索題型2題型1題型3(2)EB=AD成立

6、.理由(lyu)如下:作DFBC交AC的延長線于點F,如圖2所示.由(1)得AD=DF,FDC=ECD,FDC=DEC,ED=CD,又DBE=DFC=60,DBE CFD(AAS),EB=DF,EB=AD. 第6頁/共53頁第七頁，共53頁。考情搜索題型2題型1題型3理由(lyu)如下:作DFBC交AC于點F,如圖3所示:同(1)得:DBE CFD(AAS),EB=DF,ABC是等腰直角三角形,DFBC,ADF是等腰直角三角形, 第7頁/共53頁第八頁，共53頁。考情搜索題型2題型1題型3題型2與相似三角形有關(yugun)的探究典例2(2016內蒙古包頭)如圖,已知一個直角三角形紙片ACB,

7、其中ACB=90,AC=4,BC=3,E,F分別是AC,AB邊上的點,連接EF.(1)如圖1,若將紙片ACB的一角沿EF折疊,折疊后點A落在AB邊上的點D處,且使S四邊形ECBF=3SEDF,求AE的長.(2)如圖2,若將紙片ACB的一角沿EF折疊,折疊后點A落在BC邊上的點M處,且使MFCA.試判斷四邊形AEMF的形狀,并證明你的結論;求EF的長. 第8頁/共53頁第九頁，共53頁。考情搜索題型2題型1題型3第9頁/共53頁第十頁，共53頁。考情搜索題型2題型1題型3第10頁/共53頁第十一頁，共53頁。考情搜索題型2題型1題型3【答案(d n)】 (1)如圖1,ACB的一角沿EF折疊,折疊

8、后點A落在AB邊上的點D處,EFAB,AEF DEF,SAEF SDEF,S四邊形ECBF=3SEDF,SABC=4SAEF,在RtABC中,ACB=90,AC=4,BC=3, 第11頁/共53頁第十二頁，共53頁。考情搜索題型2題型1題型3(2)四邊形AEMF為菱形.理由如下(rxi):如圖2,ACB的一角沿EF折疊,折疊后點A落在AB邊上的點M處,AE=EM,AF=MF,AFE=MFE,MFAC,AEF=MFE,AEF=AFE,AE=AF,AE=EM=MF=AF,四邊形AEMF為菱形.連接AM交EF于點O,如圖2,設AE=x,則EM=x,CE=4-x,四邊形AEMF為菱形,EMAB,CME

9、CBA, 第12頁/共53頁第十三頁，共53頁。考情搜索題型2題型1題型3(3)如圖3,作FHBC于點H,ECFH,NCENHF,設FH=4x,NH=7x,則CH=7x-1,BH=3-(7x-1)=4-7x,FHAC,BFHBAC, 第13頁/共53頁第十四頁，共53頁。考情搜索題型2題型1題型3第14頁/共53頁第十五頁，共53頁。考情搜索題型2題型1題型3題型3與全等和相似三角形有關的探究典例3(2016湖北黃石)在ABC中,AB=AC,BAC=2DAE=2.(1)如圖1,若點D關于直線(zhxin)AE的對稱點為F,求證:ADFABC.(2)如圖2,在(1)的條件下,若=45,求證:DE

10、2=BD2+CE2.(3)如圖3,若=45,點E在BC的延長線上,則等式DE2=BD2+CE2還能成立嗎?請說明理由. 第15頁/共53頁第十六頁，共53頁。考情搜索題型2題型1題型3【解析(ji x)】本題考查軸對稱的性質、相似三角形的判定與性質、同角的余角相等、全等三角形的判定與性質及勾股定理.(1)根據軸對稱的性質可得DAE=FAE,AD=AF,再得出BAC=DAF,然后根據兩邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相似得以證明;(2)根據軸對稱的性質可得EF=DE,AD=AF,再求出BAD=CAF,然后利用邊角邊證明ABD和ACF全等,根據全等三角形性質可得CF=BD,ACF=ABD,然后求出

11、ECF=90,最后利用勾股定理證明即可;(3)作點D關于AE的對稱點F,連接AF,EF,CF,根據軸對稱的性質可得EF=DE,AF=AD,再根據同角的余角相等求出BAD=CAF,再結合(2)即可. 第16頁/共53頁第十七頁，共53頁。考情搜索題型2題型1題型3【答案】 (1)D,F關于(guny)直線AE對稱,DE=EF,DAE=FAE=,DAF=2=BAC,又AB=AC,AD=AF,ADFABC.(2)DAF=2=BAC,DAF-DAC=BAC-DAC,即BAD=CAF,又AB=AC,AD=AF,BAD CAF,BD=CF,且ACF=ABD=45,即ECF=90,在ECF中,結合已證明的得

12、DE2=BD2+CE2. 第17頁/共53頁第十八頁，共53頁。考情搜索題型2題型1題型3(3)解法(ji f)1:將CAE順時針旋轉90得BAF,連接DF,如圖2所示.BF=CE,AF=AE,ACE=135=ABF,ABC=45,FBD=90,即DF2=BF2+BD2,由旋轉的性質,BAF=CAE,BAF+FAC=CAE+FAC=2,DAF=FAE-DAE=2-=,AF=AE,又AD為公共邊,DAF DAE,即DF=DE.將代入式,得DE2=BD2+CE2. 第18頁/共53頁第十九頁，共53頁。考情搜索題型2題型1題型3解法2:作點D關于(guny)直線AE的對稱點F,連接AF,EF,CF

13、,如圖3所示.AD=AF,DE=EF,DAE=FAE=,DAF=2=BAC,即DAF-DAC=BAC-DAC,BAD=CAF.又AB=AC,AD=AF.BAD CAF,BD=CF,且ACF=ABD=45,DCF=DCA+ACF=90,CFCE,EF2=FC2+CE2,將代入得DE2=BD2+CE2. 第19頁/共53頁第二十頁，共53頁。考情搜索213456781.(1)問題(wnt)發現如圖1,ABC和ADE均為等邊三角形,點D在BC的延長線上,連接CE,請填空:ACE的度數為; 線段AC,CD,CE之間的數量關系為. (2)拓展探究如圖2,ABC和ADE均為等腰直角三角形,BAC=DAE=

14、90,點D在邊BC的延長線上,連接CE,請判斷ACE的度數及線段AC,CD,CE之間的數量關系,并說明理由.(3)問題(wnt)解決如圖3,在RtABC中,AC=3,BC=5,ACB=90,若點P滿足PA=PB,APB=90,請直接寫出線段PC的長度. 第20頁/共53頁第二十一頁，共53頁。考情搜索21345678解:(1)ABC為等邊三角形,AB=AC=BC,BAC=60,ADE為等邊三角形,AD=AE,DAE=60,BAC+DAC=DAE+DAC,即BAD=CAE,ABDACE(SAS),ACE=B=60.ABDACE,BD=CE,BC=BD-CD=CE-CD,AC=CE-CD. 第21

15、頁/共53頁第二十二頁，共53頁。考情搜索21345678(2)ABC和ADE均為等腰直角三角形,AB=AC,BAD=CAE,AD=AE,ACEABD(SAS),ACE=B=45,BD=CE,即BC+CD=CE,BC=CE-CD, 第22頁/共53頁第二十三頁，共53頁。考情搜索21345678第23頁/共53頁第二十四頁，共53頁。考情搜索21345678第24頁/共53頁第二十五頁，共53頁。考情搜索21345678如圖(2),點C,P在AB的異側時,過點A作ADPC于點D,ACB=APB=90,A,B,P,C四點共圓,ACD=ABC=45,APD=ABC, 第25頁/共53頁第二十六頁，

16、共53頁。考情搜索213456782.如圖1,在平行四邊形ABCD中,AEBC于點E,E恰為BC的中點,tan B=2.(1)求證(qizhng):AD=AE;(2)如圖2,點P在線段BE上,作EFDP于點F,連接AF,求證(qizhng):DF-EF= AF. 第26頁/共53頁第二十七頁，共53頁。考情搜索21345678解:(1)如圖1,AEBC,AEB=90,tan B=2, =2,AE=2BE,E為BC的中點(zhn din),BC=2BE,AE=BC.四邊形ABCD是平行四邊形,AD=BC,AD=AE.(2)如圖,作AMAF,交DP于點M,則MAF=90.四邊形ABCD是平行四邊形

17、,ADBC,AEBC,AEAD,DAE=MAF=90,DAM=FAE=90-MAE.AEBC,EFDP,AEP=EFP=90, 第27頁/共53頁第二十八頁，共53頁。考情搜索21345678AEF+PEF=90,PEF+FPE=90,AEF=FPE,ADBC,ADM=FPE,ADM=AEF,在ADM和AEF中,AM=AF,DM=EF,DF-EF=MF. 第28頁/共53頁第二十九頁，共53頁。考情搜索213456783.(2016武漢)在ABC中,P為AB上一點(y din).(1)如圖1,若ACP=B,求證:AC2=APAB.(2)若M為CP的中點,AC=2.如圖2,若PBM=ACP,AB

18、=3,求BP的長;如圖3,若ABC=45,A=BMP=60,直接寫出BP的長. 第29頁/共53頁第三十頁，共53頁。考情搜索21345678(2)如圖,取AP中點(zhn din)G,連接MG.設AG=x,則PG=x,BG=3-x. 第30頁/共53頁第三十一頁，共53頁。考情搜索21345678第31頁/共53頁第三十二頁，共53頁。考情搜索213456784.(2016北京)在等邊ABC中,(1)如圖1,P,Q是BC邊上的兩點,AP=AQ,BAP=20,求AQB的度數;(2)點P,Q是BC邊上的兩個動點(不與點B,C重合),點P在點Q的左側,且AP=AQ,點Q關于直線AC的對稱點為M,連

19、接AM,PM.依題意將圖2補全;小茹通過觀察、實驗提出猜想:在點P,Q運動的過程中,始終有PA=PM.小茹把這個猜想與同學們進行交流,通過討論,形成(xngchng)了證明該猜想的幾種想法:想法1:要證明PA=PM,只需證APM是等邊三角形;想法2:在BA上取一點N,使得BN=BP,要證明PA=PM,只需證ANP PCM;想法3:將線段BP繞點B順時針旋轉60,得到線段BK,要證PA=PM,只需證PA=CK,PM=CK請你參考上面的想法,幫助小茹證明PA=PM(一種方法即可). 第32頁/共53頁第三十三頁，共53頁。考情搜索21345678解:(1)AP=AQ,APQ=AQP,APB=AQC

20、,ABC是等邊三角形,B=C=60,BAP=CAQ=20,AQB=APQ=BAP+B=80. 第33頁/共53頁第三十四頁，共53頁。考情搜索21345678(2)如圖所示.如圖,AP=AQ,APQ=AQP,APB=AQC,ABC是等邊三角形,B=C=60,BAP=CAQ,點Q關于(guny)直線AC的對稱點為M,AQ=AM,QAC=MAC,MAC=BAP,BAP+PAC=MAC+CAP=60,PAM=60,AP=AQ,AP=AM,APM是等邊三角形,PA=PM. 第34頁/共53頁第三十五頁，共53頁。考情搜索213456785.(2016貴陽)(1)閱讀理解:如圖,在ABC中,若AB=10

21、,AC=6,求BC邊上的中線AD的取值范圍.解決此問題可以用如下方法:延長AD到點E使DE=AD,再連接BE(或將ACD繞著點D逆時針旋轉180得到EBD),把AB,AC,2AD集中在ABE中,利用(lyng)三角形三邊的關系即可判斷中線AD的取值范圍是; (2)問題解決:如圖,在ABC中,D是BC邊上的中點,DEDF于點D,DE交AB于點E,DF交AC于點F,連接EF,求證:BE+CFEF;(3)問題拓展:如圖,在四邊形ABCD中,B+D=180,CB=CD,BCD=140,以C為頂點作一個70角,角的兩邊分別交AB,AD于E,F兩點,連接EF,探索線段BE,DF,EF之間的數量關系,并加以

22、證明. 第35頁/共53頁第三十六頁，共53頁。考情搜索21345678解:(1)延長AD至E,使DE=AD,連接BE,如圖所示:AD是BC邊上(bin shn)的中線,BD=CD,BDE CDA(SAS),BE=AC=6,在ABE中,由三角形的三邊關系得:AB-BEAEAB+BE,10-6AE10+6,即4AE16,2ADEM,BE+CFEF. 第37頁/共53頁第三十八頁，共53頁。考情搜索21345678(3)BE+DF=EF.理由如下(rxi):延長AB至點N,使BN=DF,連接CN,如圖所示:ABC+D=180,NBC+ABC=180,NBC=D,NBC FDC(SAS),CN=CF

23、,NCB=FCD,BCD=140,ECF=70,BCE+FCD=70,ECN=70=ECF, 第38頁/共53頁第三十九頁，共53頁。考情搜索21345678NCE FCE(SAS),EN=EF,BE+BN=EN,BE+DF=EF. 第39頁/共53頁第四十頁，共53頁。考情搜索213456786.(2016福建莆田)若正方形有兩個相鄰頂點在三角形的同一條邊上,其余兩個頂點分別在三角形的另兩條邊上,則正方形稱為三角形該邊上的內接正方形,ABC中,設BC=a,AC=b,AB=c,各邊上的高分別記為ha,hb,hc,各邊上的內接正方形的邊長分別記為xa,xb,xc(1)模擬探究:如圖,正方形EFG

24、H為ABC的BC邊上的內接正方形,(3)拓展延伸:若ABC為銳角三角形,bc,請判斷xb與xc的大小(dxio),并說明理由. 第40頁/共53頁第四十一頁，共53頁。考情搜索21345678解:(1)正方形EFGH中,EHFG,AEHABC,ADBC, 第41頁/共53頁第四十二頁，共53頁。考情搜索21345678第42頁/共53頁第四十三頁，共53頁。考情搜索213456787.如圖,ABC中,ADBC,DEAC于E,AFBE于H,交DE于F,(1)求證(qizhng):ADFBCE;(2)若AB=AC,求證(qizhng):DF=EF;(3)在(2)的條件下,若EAF=30,直接寫出cos EBC的值. 第43頁/共53頁第四十四頁，共53頁。考情搜索21345678解:(1)如圖,ADBC,ADC=90,即1+EDC=90,DEAC,DEC=90,EDC+C=90,1=C,AHBE,SAH+ASH=90,又2+BSD=90,BSD=ASH,SAH=2,ADFBCE. 第44頁/共53頁第四十五頁，共53頁。考情搜索21345678(2)如圖2,DCE=ACD,RtCDERtCAD, 第45頁/共53頁第四十六頁，共53頁。考情搜索21345678