1、一、靜定與超靜定問題一、靜定與超靜定問題(Statically determinate & indeterminate problem) 2-6 拉壓超靜定問題拉壓超靜定問題 (Statically indeterminate problem of axially loaded members) 1.1.靜定問題靜定問題 (Statically determinate problem) 桿件的軸力可以用靜力平衡條件求出桿件的軸力可以用靜力平衡條件求出,這種情況稱作靜定問題這種情況稱作靜定問題.2.2.超靜定問題超靜定問題(Statically indeterminate problem

2、) 只憑靜力平衡方程已不能解出全部未知力，這種情況稱做超只憑靜力平衡方程已不能解出全部未知力，這種情況稱做超靜定問題靜定問題.21.1.超靜定的次數超靜定的次數(Degrees of statically indeterminate problem ) 未知力數超過獨立平衡方程數的數目未知力數超過獨立平衡方程數的數目,稱作超靜定的次數稱作超靜定的次數.二、超靜定問題求解方法二、超靜定問題求解方法 (Solution methods for statically indeterminate problem） 2.2.求解超靜定問題的步驟求解超靜定問題的步驟(Procedure for solvi

3、ng a statically indeterminate)（1）確定靜不定次數；列靜力平衡方程）確定靜不定次數；列靜力平衡方程（2）根據變形協調條件列變形幾何方程）根據變形協調條件列變形幾何方程（3）將變形與力之間的關系（胡克定律）代入變形幾何方程得）將變形與力之間的關系（胡克定律）代入變形幾何方程得補充方程補充方程（4）聯立補充方程與靜力平衡方程求解）聯立補充方程與靜力平衡方程求解n = 未知力的個數未知力的個數 獨立平衡方程的數目獨立平衡方程的數目3 例題例題8 8 設設 1，2，3 三桿用絞鏈連結如圖所示，三桿用絞鏈連結如圖所示，l1 = l2 = l，A1 = A2 = A， E1

4、= E2 = E，3桿的長度桿的長度 l3 , ,橫截面積橫截面積 A3 , ,彈性模量彈性模量E3 。試求在沿鉛垂方向的外力試求在沿鉛垂方向的外力F作用下各桿的軸力作用下各桿的軸力. .CABDF1 12 23 3三、一般超靜定問題舉例三、一般超靜定問題舉例(Examples for general statically indeterminate problem) xyFAFN2FN3FN1 解：解： （1 1）列平衡）列平衡方程方程2 21 10 0NNFFFx 0coscos03N2N1N FFFFFy 這是一次超靜定問題這是一次超靜定問題4（2 2）變形幾何方程變形幾何方程 由于問題

5、在幾何由于問題在幾何,物理及物理及 受力方面都是對稱受力方面都是對稱,所以變形后所以變形后A點將沿點將沿鉛垂方向下移鉛垂方向下移.變形協調條件是變形后三桿仍絞結在一起變形協調條件是變形后三桿仍絞結在一起CABDF1 12 23 3xyFAFN2FN3FN1 CABD1 12 23 3A53 3l 變形幾何方程為變形幾何方程為A1 12 23 3CABDF1 12 23 3CABD1 12 23 3AA1 1l cos3 31 1ll 1 11 11 11 1EAlFlN 3 33 33 33 3AElFl cosN （3）補充方程）補充方程 2 23 33 33 31 1cosNNAEEAFF

6、 物理方程為物理方程為6（4）聯立平衡方程與補充方程求解）聯立平衡方程與補充方程求解CABDF1 12 23 33 3lA1 12 23 3A1 1l 2 23 33 32 21 12 21 1coscosNNAEAEFFF 2 21 1NNFF 0 03 32 21 1 FFFFNNNcoscos 2 23 33 33 31 1cosNNAEEAFF 2 23 33 33 32 21 1cosNAEEAFF 7鐵路貨車的緩沖彈簧鐵路貨車的緩沖彈簧例題例題9 9 車輛的緩沖彈簧常采用雙層圓柱螺旋彈簧車輛的緩沖彈簧常采用雙層圓柱螺旋彈簧. .若內彈簧的剛若內彈簧的剛度為度為k k1 1 , ,外

7、彈簧的剛度為外彈簧的剛度為 k k2 2 , ,總壓力為總壓力為F. F. 求內求內, , 外彈簧分擔的外彈簧分擔的壓力壓力. .F F解解: :設內設內, ,外彈簧分擔的壓力分別為外彈簧分擔的壓力分別為 F F1 1 , F , F2 2 , ,則則 12FFF在在F F1 1作用下作用下, ,內彈簧的壓縮量為內彈簧的壓縮量為22Fk在在F F2 2作用下作用下, ,外彈簧的壓縮量為外彈簧的壓縮量為11Fk1212FFkk兩彈簧的變形協調條件為兩彈簧的變形協調條件為得內得內, ,外彈簧分擔的壓力分別為外彈簧分擔的壓力分別為1112,k FFkk2212k FFkk例題例題9 9 圖示平行桿系

8、圖示平行桿系1、2、3 懸吊著剛性橫梁懸吊著剛性橫梁AB，在橫梁上作，在橫梁上作用著荷載用著荷載 F。各桿的截面積、長度、彈性模量均相同，分別為。各桿的截面積、長度、彈性模量均相同，分別為A，l，E. .試求三桿的軸力試求三桿的軸力 FN1, FN2, FN3. .ABCF3aal21ABCF3aal21FABC3aa21FN1FN2FN3Fx解：（解：（1） 平衡方程平衡方程 0 xF0 xF 0 0yF03N2N1N FFFF 0 0BM這是一次超靜定問題這是一次超靜定問題,且假設均為拉桿且假設均為拉桿.0 02 22 21 1 aFaFNN（2） 變形幾何方程變形幾何方程 物理方程物理方

9、程ABCF3aal21ABCl 3l 2l 1ABC3212 23 31 12 2 lll 1 11 11 11 1EAlFlN EAlFl3 33 3N EAlFl2 22 2N （3） 補充方程補充方程2 23 31 12 2NNNFFF ABCF3aal21ABCl 3l 2l 1ABC321（4）聯立平衡方程與補充方程求解）聯立平衡方程與補充方程求解N2N3N1FFF2 2 0 0 xF0 0 FFFFN3N2N102N2N1 aFaF6/53/6/N3N2N1FFFFFF 圖示桿系圖示桿系,若若3桿尺寸有微小誤差桿尺寸有微小誤差,則則在桿系裝配好后在桿系裝配好后,各桿將處于圖中位置各

10、桿將處于圖中位置,因因而產生軸力而產生軸力. 3桿的軸力為拉力桿的軸力為拉力,1. 2桿的軸桿的軸力為壓力力為壓力. 這種附加的內力就稱為裝配內這種附加的內力就稱為裝配內力力. 與之相對應的應力稱為與之相對應的應力稱為裝配應力裝配應力 (initial stresses) .A四、裝配應力四、裝配應力 (Initial stresses)(Statically indeterminate structure with a misfit)ABCD2 21 13 3l14AABCD2 21 13 3ll 3l 13 3l代表桿代表桿3的伸長的伸長1l代表桿代表桿1或桿或桿2的縮短的縮短代表裝配后代

11、表裝配后A點的位移點的位移（1） 變形幾何方程變形幾何方程3l 1cosl cos1 13 3ll（2） 物理方程物理方程3 33 33 31 11 11 1AElFlAElFlN3N1cos 15（3）補充方程）補充方程AABCD2 21 13 3ll 3l 1 2 21 11 13 33 3cosN1N3AElFAElF（4） 平衡方程平衡方程0coscos0sinsinN2N1N3N2N1 FFFFF FN3FN2FN1FN1， FN2， FN3（5）聯立平衡方程與補充方程求解）聯立平衡方程與補充方程求解162123312NNEAFFL cos cos3333212NEAFL cos c

12、os （拉）（拉）123AAAA（壓）（壓）當當 時時,17212331 2 cos cosEL3333212ELcos cos 30 0045o 210GPa, .2, EL13123MPa174MPa例如例如（壓）（壓）（壓）（壓）（拉）（拉）（拉）（拉）裝配應力裝配應力 雖然制造誤差很小雖然制造誤差很小, 但但裝配應力很大裝配應力很大, 和鋼材和鋼材Q235的屈服極限的屈服極限(約約235MPa)是一個量級。是一個量級。18 例題例題10 兩鑄件用兩根鋼桿兩鑄件用兩根鋼桿 1. 2 連接連接,其間距為其間距為 l =200mm. 現要現要將制造得過長了將制造得過長了 e = 0.11mm

13、的銅桿的銅桿 3 裝入鑄件之間裝入鑄件之間, 并保持三并保持三根桿的軸線平行且等間距根桿的軸線平行且等間距 a, 試計算各桿內的裝配應力試計算各桿內的裝配應力. 已知：鋼已知：鋼桿直徑桿直徑 d =10mm, 銅桿橫截面積為銅桿橫截面積為2030mm的矩形的矩形, 鋼的彈性模鋼的彈性模量量 E=210GPa, 銅的彈性模量銅的彈性模量E3=100GPa. 鑄件很厚鑄件很厚, 其變形可略其變形可略去不計去不計, 故可看作剛體故可看作剛體.ABC12aaB1A1C1l3C1Ce19（1）變形幾何方程為）變形幾何方程為l3C1eCl3ABC12B1C1A1l1l2=ell 3 31 1aax（3）補

14、充方程）補充方程（4）平衡方程）平衡方程EAlFl1 11 1N1 3 33 33 3AElFlN3 （2）物理方程）物理方程AElFeAElFN1N3 3 33 3CABFN3FN1FN20 0 N2N1N3FFFN2N1FF 聯立平衡方程與補充方程求解聯立平衡方程與補充方程求解,即可得裝配內力，進而求出即可得裝配內力，進而求出裝配應力裝配應力.五、溫度應力五、溫度應力 (Thermal stresses or temperature stresses)例題例題11 圖圖 示等直桿示等直桿 AB 的兩端分別與剛性支承連結的兩端分別與剛性支承連結.設兩支承設兩支承的距離（即桿長）為的距離（即桿

15、長）為 l, 桿的橫截面面積為桿的橫截面面積為 A,材料的彈性模量材料的彈性模量為為 E, 線膨脹系數為線膨脹系數為 .試求溫度升高試求溫度升高 T 時桿內的溫度應力時桿內的溫度應力. 溫度變化將引起物體的膨脹或收縮溫度變化將引起物體的膨脹或收縮. 靜定結構可以自由變形靜定結構可以自由變形,不會引起構件的內力不會引起構件的內力,但在超靜定結構中變形將受到部分或但在超靜定結構中變形將受到部分或全部約束全部約束,溫度變化時往往就要引起內力溫度變化時往往就要引起內力,與之相對應的應力與之相對應的應力稱為稱為熱應力熱應力 (thermal stresses)或或溫度應力溫度應力 (temperature stresses).ABl解解: 這是一次超靜定問題這是一次超靜定問題 變形相容條件是變形相容條件是桿的總長度不變桿的總