1、非齊次線性方程組解的性質(zhì)一、非齊次線性方程組解的性質(zhì)第1頁/共32頁.0,1)( 2121的解的解為對應的齊次方程為對應的齊次方程則則的解的解都是都是及及設設 AxxbAxxx 證明 . 021 bbA . 021 Axx滿滿足足方方程程即即 bAbA 21, 第2頁/共32頁證明 AAA ,0bb .的解的解是方程是方程所以所以bAxx 證畢.,0,2)( 的解的解仍是方程仍是方程則則的解的解是方程是方程的解的解是方程是方程設設bAxxAxxbAxx 第3頁/共32頁.11 rnrnkkx其中 為對應齊次線性方程組的通解， 為非齊次線性方程組的任意一個特解.rnrnkk 11 非齊次線性方程

2、組的通解非齊次線性方程組Ax=b的通解為第4頁/共32頁與方程組 有解等價的命題bAx ;, 21線線性性表表示示能能由由向向量量組組向向量量nb ;,2121等價等價與向量組與向量組向量組向量組bnn .,2121的秩相等的秩相等與矩陣與矩陣矩陣矩陣bBAnn 線性方程組 有解bAx 第5頁/共32頁線性方程組的解法（1）應用克萊姆法則特點：只適用于系數(shù)行列式不等于零的情形，計算量大，容易出錯，但有重要的理論價值，可用來證明很多命題第6頁/共32頁（2）利用初等變換特點：適用于方程組有唯一解、無解以及有無窮多解的各種情形，全部運算在一個矩陣（數(shù)表）中進行，計算簡單，易于編程實現(xiàn)，是有效的計算

3、方法第7頁/共32頁例1 求解方程組 .2132, 13, 0432143214321xxxxxxxxxxxx解:施行初等行變換施行初等行變換對增廣矩陣對增廣矩陣B 2132111311101111B,00000212100211011 第8頁/共32頁并有并有故方程組有解故方程組有解可見可見, 2)()( BRAR .212,2143421xxxxx , 042 xx取取,2131 xx則則即得方程組的一個解即得方程組的一個解.021021 取取中中組組在對應的齊次線性方程在對應的齊次線性方程,2,43421 xxxxx 第9頁/共32頁,100142 及及xx,210131 及及則則xx程

4、組的基礎解系程組的基礎解系即得對應的齊次線性方即得對應的齊次線性方,1201,001121 第10頁/共32頁于是所求通解為于是所求通解為).,( ,0210211201001121214321Rccccxxxx 第11頁/共32頁 .123438,23622, 2323, 75432154325432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解 12134382362120231213711111B例2 求下述方程組的解第12頁/共32頁 0000000000002362120711111 .,知知方方程程組組有有解解由由BRAR , 3, 2 rnAR又又第13頁/共32頁所以方程

5、組有無窮多解.且原方程組等價于方程組 236227543254321xxxxxxxxx第14頁/共32頁求基礎解系.100,010,001543 xxx 令第15頁/共32頁依次得.32,10,212121 xx 236227543254321xxxxxxxxx代入代入第16頁/共32頁.10032,01010,0012121321 求特解.223,29, 021543 xxxxx得得令令故得基礎解系第17頁/共32頁.0002232910032000100012121321 kkkx.,321為為任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中kkk所以方程組的通解為第18頁/共32頁 00000000000023

6、62120711111另一種解法 12134382362120231213711111B第19頁/共32頁 00000000000022331211029202101則原方程組等價于方程組第20頁/共32頁 223321292215432531xxxxxxx 5544335432531223322922xxxxxxxxxxxxx所以方程組的通解為第21頁/共32頁.0002232910032010100012121321 kkkx.,321為任意常數(shù)為任意常數(shù)其中其中kkk第22頁/共32頁齊次線性方程組基礎解系的求法 000010011111rn ,rrrn ,bbbbA二、小結(jié)（1）對系數(shù)

7、矩陣 進行初等變換，將其化為最簡形A第23頁/共32頁 nrn ,rrrrnrn ,rxbxbxxbxbxAx11111110由于（2）得出 ，同時也可知方程組的一個基礎解系含有 個線性無關的解向量 rAR rn 第24頁/共32頁令.,xxxnrr 10001000121,bb,bb,bbxxrn ,rrn ,rrr 12121111得得第25頁/共32頁,bbr 0011111 ,bbr 0102122 .bb,rn ,rrn ,rn 1001 故為齊次線性方程組的一個基礎解系.第26頁/共32頁有解有解0 Ax 個解向量個解向量此時基礎解系中含有此時基礎解系中含有ARn nBRAR nB

8、RAR.有無窮多解有無窮多解bAx BRAR .無解無解bAx .有唯一解有唯一解bAx 線性方程組解的情況nAR)(第27頁/共32頁 滿滿足足的的三三個個解解向向量量方方程程組組如如果果非非齊齊次次線線性性且且矩矩陣陣是是設設321,. 1,3 bAxARmA ,32121 ,11032 10113 .的通解的通解求求bAx 思考題第28頁/共32頁, 1)(,3 ARmA矩陣矩陣是是解解 思考題解答.2130 無關的解向量無關的解向量個線性個線性的基礎解系中含有的基礎解系中含有 Ax則則令令,133221cba 第29頁/共32頁,21231)(211 bca ,23230)(213 acb ,25210)(212 cba 第30頁