1、天津工程師范學院計算物理課程設計研究報告（2009年12月）研究帶電粒子在均勻穩定電磁場中的運動情況（天津工程師范學院理學院物理0701班，天津 300222）摘 要 通過求解微分方程的方法分析了帶電粒子在均勻電磁場中的運動規律。帶電粒子在純電場、純磁場中運動時，其運動軌道分別是拋物線和螺旋線；當電磁場并存時，根據相對論基本原理，帶電粒子在均勻電磁場中運動時，其運動軌跡與電磁場的大小、方向有關，其運動可以看成是3個運動：z軸上的勻速加速直線運動、xy平面上的勻速圓周運動和一個沿x軸的勻速直線運動的合運動。而在某些特殊條件下，帶電粒子可能只參與3個運動中的12個運動，需要進行詳細的討論。并且運用

2、了matlab軟件進行圖形繪制，將幾種情況通過靜態和動態圖形進行立體性的展示，對于該課題的研究可充分理解、掌握。該課題研究旨在鞏固解決物理問題中所涉及到的數學物理方法以及學習matlab軟件的使用方法、語言編輯及顯示圖形的方法。關鍵詞 帶電粒子；均勻電場；均勻磁場；電磁場；運動軌跡一、引言：1、課題簡介：帶電粒子在均勻穩定電磁場中的運動情況是一個重要的研究課題，對于物理學和科學技術的許多領域都有重大意義。就應用而言，質譜儀、示波器、電子顯微鏡、電視顯像管、磁控管、粒子加速器等都與它有著密切的聯系。所以，帶電粒子在電磁場中的運動的分析研究是一個非常重要且前景非常大、非常好的課題。2、研究課題：研

3、究帶電粒子在均勻穩定電磁場中的運動：設帶電粒子的質量為m，帶電量為q，電磁場的電場強度為E，磁感應強度為B，分下列三種情況進行考慮：（1）電場強度和磁感應強度都不為零時；（2）電場強度為零，磁感應強度不為零時；（3）電場強度不為零，磁感應強度為零時。要求：（1）研究帶電粒子在均勻穩定電磁場中的運動情況，畫出粒子運動軌跡；（2）學習用指令axes在圖形窗口的不同位置設定坐標軸來畫多個圖形。3、課題觀點：對于帶電粒子在電磁場中的運動規律，一般教材都只對一些特殊情況進行了討論。例如在均勻電場中，帶電粒子作勻加速直線運動或類拋體運動；在均勻磁場中，帶電粒子作勻速直線運動、勻速圓周運動或等螺距的螺旋線運

4、動【1，2】而對于空間既有電場又有磁場的情況，一些文獻中也僅限于討論粒子在互相垂直的電場和磁場中的運動【3】。本文通過運用求解微分方程的方法研究分析了帶電粒子在均勻電磁場中的運動規律。二、用微分方程求解帶電粒子在電磁場中的運動方程：1、帶電粒子在均勻電磁場中的運動微分方程：如圖1所示，在三維直角坐標系Oxyz中，磁感應強度B=Bzk，電場強度為E=Eyj+Ezk。當t=0時，一質量為m，電量為q的帶電粒子從坐標原點O經過，速度為v0=vx0i+vy0j+vz0k。在不考慮重力作用情況下，帶電粒子在任意時刻t所受到的合外力為F=qE+qvB=qEyj+qEzk+q(vxi+vyj+vzk)Bzk

5、=qvyBzi+q(Ey-vxBz)j+qEzk根據牛頓第二運動定律，粒子的運動微分方程為 （1） （2） （3）初始條件為：x|t=0=0， y|t=0=0， z|t=0=0vx|t=0=vx0， vy|t=0=vy0， vz|t=0=vz02、求解微分方程： 根據式（1）得 （4）將式（4）兩邊對時間求一階倒數得 （5）將式（5）代入式（2）得 令，其特征方程為：，求得從而可知所以我們可將結果變為 的形式【6】這是一個二階常系數線性微分方程【3】，我們根據特征根法，可以解得 （6）積分可求得 （7）將式（6）代入式（1）得 （8） （9）將初始條件x|t=0=0，y|t=0=0，vx|t=

6、0=vx0，vy|t=0=vy0代入式（6）（9）得， ， ， （10） （11）根據式（3）和初始條件z|t=0=0，vz|t=0=vz0可得 （12）式（10）、（11）和（12）即為帶電粒子在均勻電磁場中的運動方程。三、分析帶電粒子在均勻磁場中的運動方程：1、當帶電粒子處于磁感應強度為B=Bzk的磁場中時，其速度為v0=vx0i+vy0j+vz0k。其所受洛侖茲力為F= qvB=-qvx Bzk +qvyBzj 初始條件為：x|t=0=0， y|t=0=0， z|t=0=0vx|t=0=vx0， vy|t=0=vy0， vz|t=0=vz02、求解微分方程：由特征根法： 積分得： 將初始

7、條件代入上述方程中，可得：四、分析帶電粒子在均勻電場中的運動方程：1、當帶電粒子處于電場強度為E=Eyj+Ezk的均勻電場中時，其所受的庫倫力為F= qEyj+qEzk 初始條件為：x|t=0=0， y|t=0=0， z|t=0=0vx|t=0=vx0， vy|t=0=vy0， vz|t=0=vz02、求解微分方程可得：五、問題討論：根據以上分析得到的結果，在一般情況下，帶電粒子在均勻電磁場中的運動可以看成是3個運動的合運動。其中在z軸上是一個勻加速直線運動；在xy平面上是一個勻速圓周運動和一個沿z軸的勻速直線運動。圖2中螺旋曲線是一般情況下帶電粒子的運動軌跡。在一些特殊條件下，帶電粒子可能只

8、參與以上3個運動中的12個運動，下面將分幾種不同的情況進行討論：（1）如果空間電場和磁場的方向互相平行(Ey=0)，且帶電粒子的xy平面上的分速度不為零，則粒子的運動可以看成是兩個運動的合成，即在z軸方向的勻加速直線運動和在xy平面上的勻速圓周運動。其運動軌跡如圖3所示。(2)如果空間電場和磁場的方向互相平行(Ey=0)，且帶電粒子在xy平面上的分速度為零，則粒子只有一個運動，即沿z軸方向的勻加速直線運動。(3)如果空間電場和磁場的方向互相垂直(Ez=0)，帶電粒子在z軸上的分速度不為零，則粒子的運動仍然是3個運動的合成。其中在z軸上的運動為一勻速直線運動；而在xy平面上還是一個勻速圓周運動和

9、一個沿z軸的勻速直線運動。其運動軌跡如圖4所示。(4)如果空間電場和磁場的方向互相垂直(Ez=0)，且帶電粒子在 軸上的分速度為零，則粒子的運動可以看成是兩個運動的合成，即在x軸方向的勻速直線運動和在xy平面上的勻速圓周運動。其運動軌跡如圖5所示。(5)如果空間電場和磁場的方向互相垂直(Ez=O)，帶電粒子在Y軸和z軸上的分速度為零，且在x軸上的分速度為，則粒子只有一個運動，即沿x軸方向的勻速直線運動。六、結論：通過本次課程設計，對帶電粒子在均勻電磁場中運動分析這一課題的研究過程中，我們發現這種運動分析并不像是我們曾經想象中或者學習過的解題方法那么簡單。在高等物理中，我們有時候需要考慮到相對論

10、與非相對論的情況。在研究過程中，我們發現在matlab軟件的使用上需要更加深入的學習，有一些語句仍然無法運用自如，對于指令axes圖形句柄運用還不夠嫻熟。在解題過程中，我們充分利用之前數學物理方法課程中所學習的本征方程求解的方法進行求解，將之前所學過的一些例如初始條件、本征根、微分方程等解法運用到此次課題研究當中，充分將之前所學過的理論知識運用到實踐中。最終我們將課題所要研究的結果用matlab軟件進行實現，如圖6。圖中的上圖為均勻電場和均勻磁場共同作用的時候帶電粒子的運動軌跡；下左圖為僅有均勻磁場作用時帶電粒子的運動軌跡；下右圖為僅有均勻電場作用時帶電粒子的運動軌跡。此次運用axes指令制圖

11、的學習過程中，我們對于matlab軟件中的很多功能也進行了系統的學習，從中受益匪淺。并且我們還很好的鞏固了曾經學習的一些物理學中需要運用到的數學解題方法及思路，扎實了理論基礎，同時也為我們今后的學習起到了很好的鋪墊作用。七、參考文獻：【1】馬文蔚，物理學（中冊）。北京：高等教育出版社，1993；【2】吳錫瓏，大學物理教程（第三冊）。北京：高等教育出版社，1999；【3】胡建新，大學物理帶電粒子在正交恒定電磁場中運動狀態的分析。2004；【4】劉衛國，MATLAB程序設計教程。北京：中國水利水電出版社，2005；【5】梁燦斌，秦光戎，梁竹健，電磁場。北京：高等教育出版社，2008；【6】吳崇試，

12、數學物理方法。北京：北京大學出版社，2007。附錄（具體程序）：用axes在同一坐標畫多個圖形：【4】%電場強度和磁場強度都不為0.m=1;Bz=1;q=1;Ey=1;Ez=1;vx=1;vy=1;vz=1;a=q*Bz/m;t=1:0.01:100;x=Ey/Bz*t+vy/a-vy/a*cos(a*t)+(vx-Ey/Bz)/a*sin(a*t);y=vy/a*sin(a*t)+(vx-Ey/Bz)/a*cos(a*t)-(vx-Ey/Bz)/a;z=vz*t+a*t.2/2;axes(Position,0.3,0.6,0.4,0.4);plot3(x,y,z,g);xlabel(X);y

13、label(Y);zlabel(Z);%磁場強度為0,電場強度不為0.m=1;q=1;Ey=1;Ez=1;vx=1;vy=1;vz=1;t=linspace(0,100,10000);x=vx*t;y=q*Ez/(2*m)*t.2+vy*t;z=vz*t;axes(Position,0.6,0.1,0.4,0.4);plot3(x,y,z);xlabel(X);ylabel(Y);zlabel(Z);%電場強度為0,磁場強度不為0.m=1;Bz=1;q=1;Ey=0;Ez=0;vx=1;vy=1;vz=1;a=q*Bz/m;t=1:0.01:100;x=Ey/Bz*t+vy/a-vy/a*co

14、s(a*t)+(vx-Ey/Bz)/a*sin(a*t);y=vy/a*sin(a*t)+(vx-Ey/Bz)/a*cos(a*t)-(vx-Ey/Bz)/a;z=vz*t+a*t.2/2;axes(Position,0.1,0.1,0.4,0.4);plot3(x,y,z,k);xlabel(X);ylabel(Y);zlabel(Z);電子在電磁場中的運動情況：m=input(enter m:); %鍵盤輸入質量。Bz=input(enter Bz:); %鍵盤輸入磁場。q=input(enter q:); %鍵盤輸入電量。Ey=input(enter Ey:); %鍵盤輸入電場在y方向的

15、分量。Ez=input(enter Ez:); %鍵盤輸入電場在z方向的分量。vx=input(enter vx:); %鍵盤輸入速度在x方向的分量。vy=input(enter vy:); %鍵盤輸入速度在y方向的分量。vz=input(enter vz:); %鍵盤輸入速度在z方向的分量。a=q*Bz/m; %加速度a.if Bz=0for t=1:0.1:50 x=Ey/Bz*t+vy/a-vy/a*cos(a*t)+(vx-Ey/Bz)/a*sin(a*t); y=vy/a*sin(a*t)+(vx-Ey/Bz)/a*cos(a*t)-(vx-Ey/Bz)/a; z=vz*t+a*t.2/2;xlabel(X); plot3(x,y,z,bo); ylabel(Y);zlabel(Z); paus