1、數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science1IIR濾波器設(shè)計(jì)方法有間接法和直接法濾波器設(shè)計(jì)方法有間接法和直接法。 間接法間接法是借助于模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行的。其設(shè)是借助于模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行的。其設(shè)計(jì)步驟是：計(jì)步驟是： 先設(shè)計(jì)過渡模擬濾波器得到系統(tǒng)函數(shù)先設(shè)計(jì)過渡模擬濾波器得到系統(tǒng)函數(shù)Ha (s)，然后將然后將Ha(s)按某種方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)按某種方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。 模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法已經(jīng)很成熟，不僅有完整的設(shè)模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法已經(jīng)很成熟，不僅有完整的設(shè)計(jì)公式，還有完善的圖表和曲線供查閱；計(jì)公式，還有完善的圖表和曲

2、線供查閱； 另外，還有一另外，還有一些典型的優(yōu)良濾波器類型可供我們使用。些典型的優(yōu)良濾波器類型可供我們使用。 直接法直接法直接在頻域或者時(shí)域中設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，由于直接在頻域或者時(shí)域中設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，由于要解聯(lián)立方程，設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)。要解聯(lián)立方程，設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)。第第7章章 無限脈沖響應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)無限脈沖響應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science7.1 模擬濾波器的設(shè)計(jì)模擬濾波器的設(shè)計(jì) 模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法已發(fā)展得相當(dāng)成熟，且模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法已發(fā)展得相當(dāng)成熟，且有多種典型的模擬濾波器供我們選擇，如有多種典型的

3、模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯濾波器巴特沃斯濾波器、切比雪夫?yàn)V波器切比雪夫?yàn)V波器、橢圓濾波器、貝塞爾濾波器橢圓濾波器、貝塞爾濾波器等。這些濾等。這些濾波器都有嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計(jì)人員波器都有嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計(jì)人員使用，而且所設(shè)計(jì)的系統(tǒng)函數(shù)都滿足電路實(shí)現(xiàn)條件。使用，而且所設(shè)計(jì)的系統(tǒng)函數(shù)都滿足電路實(shí)現(xiàn)條件。 數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science3典型的濾波器各有特點(diǎn)：典型的濾波器各有特點(diǎn)： 巴特沃斯濾波器巴特沃斯濾波器具有單調(diào)下降的幅頻特性；具有單調(diào)下降的幅頻特性； 切比雪夫?yàn)V波器切比雪夫?yàn)V波器的幅頻特性在通帶或者阻帶

4、有等波紋特性，的幅頻特性在通帶或者阻帶有等波紋特性，可以提高選擇性；可以提高選擇性； 貝塞爾濾波器貝塞爾濾波器通帶內(nèi)有較好的線性相位特性；通帶內(nèi)有較好的線性相位特性； 橢圓濾波器橢圓濾波器的選擇性相對前三種是最好的，但通帶和阻的選擇性相對前三種是最好的，但通帶和阻帶內(nèi)均呈現(xiàn)等波紋幅頻特性，相位特性的非線性也稍嚴(yán)重。帶內(nèi)均呈現(xiàn)等波紋幅頻特性，相位特性的非線性也稍嚴(yán)重。設(shè)計(jì)時(shí)，根據(jù)具體要求選擇濾波器的類型。設(shè)計(jì)時(shí)，根據(jù)具體要求選擇濾波器的類型。數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science4 設(shè)計(jì)濾波器，先設(shè)計(jì)低通濾波器，再通過頻率設(shè)計(jì)濾波器，先設(shè)計(jì)低通濾波器，再通過

5、頻率變換將低通濾波器轉(zhuǎn)換成希望類型的濾波器。變換將低通濾波器轉(zhuǎn)換成希望類型的濾波器。 先介紹低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)和逼近方法，然先介紹低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)和逼近方法，然后分別介紹巴特沃斯濾波器和切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)后分別介紹巴特沃斯濾波器和切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計(jì)方法。計(jì)方法。數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science7.1.1 模擬濾波器的描述方法模擬濾波器的描述方法 模擬濾波器的頻率響應(yīng)是根據(jù)非周期函數(shù)的傅里模擬濾波器的頻率響應(yīng)是根據(jù)非周期函數(shù)的傅里葉變換定義式葉變換定義式(3.84)得來的。實(shí)際模擬濾波器的頻率得來的。實(shí)際模擬濾波器的頻率響應(yīng)響應(yīng)其中其中h(t)

6、是實(shí)際模擬濾波器的單位脈沖響應(yīng)，是因果是實(shí)際模擬濾波器的單位脈沖響應(yīng)，是因果的。脈沖響應(yīng)的。脈沖響應(yīng)h(t)的拉普拉斯變換的定義是的拉普拉斯變換的定義是0)()()(dtethdtethHtjtj)( )()(LT)(jsdteththsHst(7.1)(7.4)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science 拉普拉斯變換的簡寫是拉普拉斯變換的簡寫是LT，s=+j表示帶實(shí)部表示帶實(shí)部的復(fù)數(shù)角頻率，稱復(fù)數(shù)頻率，簡稱復(fù)頻率，它不但能的復(fù)數(shù)角頻率，稱復(fù)數(shù)頻率，簡稱復(fù)頻率，它不但能簡化模擬角頻率的書寫，還能使一些不收斂的傅里葉簡化模擬角頻率的書寫，還能使一些不收斂的傅里葉

7、變換收斂。變換收斂。 濾波器輸出濾波器輸出y(t)的拉普拉斯變換的拉普拉斯變換Y(s)比輸入比輸入x(t)的的拉普拉斯變換拉普拉斯變換X(s)，得到的比例函數(shù)稱系統(tǒng)函數(shù)，即，得到的比例函數(shù)稱系統(tǒng)函數(shù)，即 模擬濾波器的模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)常用多項(xiàng)式的分式來表示，系統(tǒng)函數(shù)常用多項(xiàng)式的分式來表示，分母的最高冪分母的最高冪N表示濾波器的階。表示濾波器的階。)()()(sXsYsH(7.5)( )(01110111是正整數(shù)和NMcscscscdsdsdsdsHNNNNMMMM(7.6)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science 模擬濾波器的幅頻特性模擬濾波器的幅頻特性|

8、H(j)|也有用分貝的衰減也有用分貝的衰減函數(shù)函數(shù)A()來表示的，即來表示的，即如果如果|H(j)|max=1，則衰減函數(shù)將變?yōu)?，則衰減函數(shù)將變?yōu)?幅頻特性的平方幅頻特性的平方|H(j)|2叫做叫做幅度平方響應(yīng)幅度平方響應(yīng)，它也，它也是描述模擬濾波器的有效方法。因?yàn)?，利用系統(tǒng)頻譜是描述模擬濾波器的有效方法。因?yàn)?，利用系統(tǒng)頻譜H(j)的共軛特點(diǎn)，即的共軛特點(diǎn)，即)( | )(| )(|lg10)(22max分貝jHjHjA)( | )(|lg10)(2分貝jHjA) 1 . 7( )()(*可知利用定義jHjH(7.7)(7.8)(7.9)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnj

9、oy Science幅度平方響應(yīng)有這種關(guān)系，幅度平方響應(yīng)有這種關(guān)系， 這種關(guān)系讓設(shè)計(jì)模擬濾波器這種關(guān)系讓設(shè)計(jì)模擬濾波器的工作變?yōu)榻夥匠痰墓ぷ髯優(yōu)榻夥匠?。下面介紹兩種常用的模擬濾波器設(shè)計(jì)。下面介紹兩種常用的模擬濾波器設(shè)計(jì)。7.1.2 巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì) 模擬低通巴特沃斯濾波器的幅度平方響應(yīng)是模擬低通巴特沃斯濾波器的幅度平方響應(yīng)是它的幅度隨頻率的增大而變小。例如它的幅度隨頻率的增大而變小。例如H(j)在階在階N=1和和5時(shí)，它們時(shí)，它們的頻率響應(yīng)曲線的頻率響應(yīng)曲線為為jssHsHjHjHjH| )()()(*)(| )(|2)( )/(11| )(|c2c2是半功率點(diǎn)截止頻率

10、NjH(7.10)(7.11)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science 為了得到用復(fù)頻率為了得到用復(fù)頻率s表示的系統(tǒng)，讓我們將表示的系統(tǒng)，讓我們將s=j代入幅度平方響應(yīng)，就可以得到代入幅度平方響應(yīng)，就可以得到)( )()()()()(11| )()(| )(|212212c2c22c2c2是分母的根NNNNNNNjssssssssjjsjjssHsHjH圖圖7.2(7.12)( )()( )()()(1c121c前后兩半的極點(diǎn)共軛不影響幅頻特性省略NkkNkkNNNsssHjsssssssH數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Sci

11、ence10低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)步驟如下：低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)步驟如下： (1) 根據(jù)技術(shù)指標(biāo)根據(jù)技術(shù)指標(biāo)p、 p、s和和 s，求出濾波器的，求出濾波器的階數(shù)階數(shù)N。(2) 求出歸一化極點(diǎn)求出歸一化極點(diǎn)pk，得到歸一化低通原型系統(tǒng)，得到歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)函數(shù)Ga(p)。也可以根據(jù)階數(shù)。也可以根據(jù)階數(shù)N直接查表得到直接查表得到pk和和Ga(p)。(3) 將將Ga(p)去歸一化。將去歸一化。將p=s/c代入代入Ga(p)，得到，得到實(shí)際的濾波器系統(tǒng)函數(shù)實(shí)際的濾波器系統(tǒng)函數(shù) 這里這里c為為3 dB截止頻率，如果技術(shù)指標(biāo)沒有給出截止頻率，如果技術(shù)指標(biāo)沒有給出c，可以按照，可以按照(7.25

12、)式或式或(7.26)式求出式求出c| )()(asppGsH數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science11令令 ssppsp/10sp/10101101k則則N由下式表示：由下式表示： spsplglgkN 數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science12用上式求出的用上式求出的N可能有小數(shù)部分，應(yīng)取可能有小數(shù)部分，應(yīng)取大于或等大于或等于于N的最小整數(shù)。的最小整數(shù)。關(guān)于關(guān)于3 dB截止頻率截止頻率c，如果技術(shù)指，如果技術(shù)指標(biāo)中沒有給出，可以按照下式求出。標(biāo)中沒有給出，可以按照下式求出。N211 . 0pc) 110(pN211

13、 . 0sc) 110(s數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science13表表 巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù)巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù) 數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science14數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science 例題例題7.1 船舶通信需要一個(gè)模擬低通濾波器，其船舶通信需要一個(gè)模擬低通濾波器，其通帶截止頻率通帶截止頻率fp=5kHz，通帶衰減，通帶衰減Ap=2dB，阻帶截止，阻帶截止頻率頻率fs=12kHz，阻帶衰減，阻帶衰減As=20dB。請?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)能滿。請?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)能滿足這些技

14、術(shù)指標(biāo)的模擬低通巴特沃斯濾波器。足這些技術(shù)指標(biāo)的模擬低通巴特沃斯濾波器。 解解 設(shè)計(jì)濾波器的關(guān)鍵在階設(shè)計(jì)濾波器的關(guān)鍵在階N和和3dB截止頻率截止頻率c。下面分四步來設(shè)計(jì)模擬濾波器。下面分四步來設(shè)計(jì)模擬濾波器。（1）確定濾波器的階確定濾波器的階 根據(jù)衰減公式和巴特沃斯的幅度平方函數(shù)，得根據(jù)衰減公式和巴特沃斯的幅度平方函數(shù)，得)( dB )/(1lg10)(2cjAN為什么可省略數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science將技術(shù)指標(biāo)分別代入衰減函數(shù)，可得階將技術(shù)指標(biāo)分別代入衰減函數(shù)，可得階實(shí)際的階實(shí)際的階N是正整數(shù)，最好是大于理論值的最小整數(shù)。是正整數(shù)，最好是大于理

15、論值的最小整數(shù)。本題取本題取N=3。（2）確定濾波器的截止頻率確定濾波器的截止頻率 根據(jù)衰減函數(shù)，如果使用通帶指標(biāo)來計(jì)算根據(jù)衰減函數(shù)，如果使用通帶指標(biāo)來計(jì)算3dB截截止頻率，則止頻率，則93. 2)/lg(2)110/() 110lg(sp10/10/spAANHz)5468( (rad/s) 3435654682) 110(50002)( ) 110(c)32/(110/2)2/(110/pcpfNA它的阻帶衰減較好(7.23)(7.27)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science（3）確定濾波器的極點(diǎn)確定濾波器的極點(diǎn) 根據(jù)極點(diǎn)公式根據(jù)極點(diǎn)公式(7.14)和

16、階和階N=3，選擇位于，選擇位于s平面的平面的左半平面的極點(diǎn)，得系統(tǒng)的極點(diǎn)左半平面的極點(diǎn)，得系統(tǒng)的極點(diǎn)（4）確定濾波器的系統(tǒng)函數(shù)確定濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 根據(jù)巴特沃斯濾波器的系統(tǒng)函數(shù)式根據(jù)巴特沃斯濾波器的系統(tǒng)函數(shù)式(7.18)，得，得)34356( 1006. 41036. 21087. 61006. 4)( 22)30. 7( )()()(c139243133c2c2c333213c代入利用共軛特點(diǎn)利用極點(diǎn)sssssssssssssHc)( , ,1334c3c232c1的共軛是ssessesjj(7.30)(7.31)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science

17、18【例例】 已知通帶截止頻率已知通帶截止頻率fp=5 kHz，通帶最大衰減，通帶最大衰減 p=2 dB，阻帶截止頻率阻帶截止頻率fs=12 kHz，阻帶最小衰減，阻帶最小衰減 s=30 dB，按照以上，按照以上技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。解解 ： (1) 確定階數(shù)確定階數(shù)Nsp0.1sp0.110141.3223101ksspp22.42fflg41.32234.25lg2.4N spsplglgkN 取取N=5數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science19(2) 直接查表，由直接查表，由N=5直接查表得到：直接查表得到：

18、012233445a1)(bpbpbpbpbppGb0=1.0000，b1=3.2361，b2=5.2361，b3=5.2361，b4=3.2361分母因式分解形式為分母因式分解形式為) 1)(16180. 1)(16180. 0(1)(22appppppG數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science20(3) 為將為將Ga(p)去歸一化，先求去歸一化，先求3 dB截止頻率截止頻率c。得到：。得到： 將將p=s/c代入代入Ga(p)中中, 得到：得到： p10.12cp(101)2 5.2755 krad/sN 5c04c123c232c34c455ca)(bs

19、bsbsbsbssH數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science212. 用用MATLAB工具箱函數(shù)設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器工具箱函數(shù)設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器 MATLAB信號處理工具箱函數(shù)信號處理工具箱函數(shù)buttap, buttord和和butter是巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)函數(shù)。其是巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)函數(shù)。其5種調(diào)用格式如下。種調(diào)用格式如下。1） Z，P, K=buttap(N)該格式用于計(jì)算該格式用于計(jì)算N階巴特沃斯歸一化（階巴特沃斯歸一化（3 dB截止頻截止頻率率c=1）模擬低通原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)和增）模擬低通原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)和增益因子。返回長度為

20、益因子。返回長度為N的列向量的列向量Z和和P，分別給出，分別給出N個(gè)零個(gè)零點(diǎn)和極點(diǎn)的位置，點(diǎn)和極點(diǎn)的位置，K表示濾波器增益。得到的系統(tǒng)函數(shù)表示濾波器增益。得到的系統(tǒng)函數(shù)為如下形式為如下形式: a(pZ(1)(pZ(2)(pZ(N)G (p)K(pP(1)(pP(2)(pP(N)數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science22式中，式中，Z(k)和和P(k)分別為向量分別為向量Z和和P的第的第k個(gè)元素。個(gè)元素。 如果要從計(jì)算得到的零、極點(diǎn)得到系統(tǒng)函數(shù)的分子和如果要從計(jì)算得到的零、極點(diǎn)得到系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)向量分母多項(xiàng)式系數(shù)向量B和和A,可以調(diào)用結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換

21、函數(shù)可以調(diào)用結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換函數(shù)B, A=zp2tf(Z, P, K)。數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理Enjoy ScienceEnjoy Science232） N, wc= buttord(wp, ws, Rp, As)該格式用于計(jì)算巴特沃斯該格式用于計(jì)算巴特沃斯數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器的的階數(shù)階數(shù)N和和3 dB截截止頻率止頻率wc。調(diào)用參數(shù)。調(diào)用參數(shù)wp和和ws分別為數(shù)字濾波器的通帶邊界分別為數(shù)字濾波器的通帶邊界頻率和阻帶邊界頻率的歸一化值，要求頻率和阻帶邊界頻率的歸一化值，要求0wp1，0ws1, 1表示數(shù)字頻率表示數(shù)字頻率（對應(yīng)模擬頻率（對應(yīng)模擬頻率Fs/2，F(xiàn)s表示采樣頻率）。表示采樣頻率）。Rp和和As分別為通帶最大衰減和阻帶最小衰減（分別為通帶最大衰減和阻帶最小衰減（dB）。）。3） N, wc= buttord(wp, ws, Rp, As, s) 該格式用于計(jì)算巴特沃斯該格式用于計(jì)算巴特沃斯模擬濾波器模擬濾波器的階數(shù)的階數(shù)N和和3 dB截止頻率截止頻率wc。wp、ws和和wc是實(shí)際模擬角頻率（是實(shí)際模擬角頻率（rad/s）。）。其他參數(shù)與格式其他參數(shù)與格式2）相同。）相同。數(shù)字信